MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Dixième cours ACT Cours 10

2 Rappel: Rente perpétuelle de début de période ACT Cours 10

3 Rappel: Rente perpétuelle de début de période
Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements ACT Cours 10

4 Rappel: Rente perpétuelle de début de période
Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements ACT Cours 10

5 Rappel: Rente perpétuelle de début de période
Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements Dernier paiement gonflé ACT Cours 10

6 Rappel: Rente perpétuelle de début de période
Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements Dernier paiement gonflé Dernier paiement réduit ACT Cours 10

7 Rappel: Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période
ACT Cours 10

8 Rappel: Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période
ACT Cours 10

9 Rappel: Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période
Nous avons aussi la formule ACT Cours 10

10 Rappel: est égale à la valeur actuelle d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons la valeur actuelle d’un paiement fait à t = n + k de ACT Cours 10

11 Rappel: est égale à la valeur accumulée à t = n + k d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons un paiement fait à t = n + k de ACT Cours 10

12 Rappel: L’équation dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons ACT Cours 10

13 Rappel: Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT Cours 10

14 Rappel: Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT Cours 10

15 Rappel: L’équation dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons ACT Cours 10

16 Rappel: Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT Cours 10

17 Rappel: Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT Cours 10

18 la méthode de Newton-Raphson.
Nous allons maintenant considérer la question de déterminer le taux d’intérêt si nous connaissons les paiements, le nombre de paiements et soit la valeur actuelle, soit la valeur accumulée. Nous avons déjà vu pour ce type de problème la méthode de bissection. Nous allons maintenant considérer la méthode de Newton-Raphson. ACT Cours 10

19 Comme nous avons vu au cinquième cours (méthode de bissection), cette question de déterminer le taux d’intérêt revient à déterminer les zéros d’une fonction f connue, c’est-à-dire les x tels que f(x) = 0. ACT Cours 10

20 Dans cette méthode, nous débutons avec une première valeur x0 et nous construisons récursivement une suite: x1, x2, …, xs, … . Si tout va bien cette suite convergera vers un zéro de f. ACT Cours 10

21 Géométriquement la suite est obtenue de la façon suivante:
ACT Cours 10

22 La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est la suivante
La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est la suivante. Pour s = 0, 1, 2, …, nous avons ACT Cours 10

23 Exemple 1 : Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur. ACT Cours 10

24 Exemple 1 : Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur. La dérivée de f(x) est ACT Cours 10

25 Exemple 1: (suite) Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante ACT Cours 10

26 Exemple 1: (suite) Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante Nous pouvons simplifier ceci et nous obtenons ACT Cours 10

27 Exemple 1: (suite) Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons ACT Cours 10

28 Exemple 1: (suite) Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons ACT Cours 10

29 Exemple 1: (suite) Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons ACT Cours 10

30 Exemple 1: (suite) s xs 3 1 2 4 5 ACT Cours 10

31 Remarque 1: La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x3 - 5x. ACT Cours 10

32 Remarque 1: (suite) La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x3 - 5x. La règle récursive est ACT Cours 10

33 Remarque 1: (suite) Si nous commençons avec la valeur x0 = 1,
alors nous obtenons x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, … et ainsi de suite. ACT Cours 10

34 Remarque 1: (suite) Si nous commençons avec la valeur x0 = 1,
alors nous obtenons x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, … et ainsi de suite. Cette suite ne converge pas! ACT Cours 10

35 Remarque 1: (suite) Graphiquement nous obtenons ACT Cours 10

36 Exemple 2 : Nous allons maintenant illustrer la méthode de Newton-Raphson pour résoudre l’exemple 4 du cinquième cours, c’est-à-dire le premier exemple utilisé pour illustrer la méthode de bissection. ACT Cours 10

37 Exemple 2 : (suite) Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT Cours 10

38 Exemple 2 : (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est 5000 (1 + i) (1 + i)7 | | 4000 (1 + i) (1 + i) (1 + i) ACT Cours 10

39 Exemple 2 : (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est 5000 (1 + i) (1 + i)7 | | 4000 (1 + i) (1 + i) (1 + i) Donc nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction ACT Cours 10

40 Exemple 2 : (suite) La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est Si comme point de départ pour la méthode, nous prenions x0 = 6%, alors nous obtenons le tableau ACT Cours 10

41 Exemple 2 : (suite) s xs 6% 1 5.232920189% 2 5.205343113% 3
6% 1 % 2 % 3 % 4 % 5 % 6 % ACT Cours 10

42 Considérons maintenant la question de déterminer le taux d’intérêt d’une transaction alors que nous connaissons la valeur actuelle d’une annuité simple constante de fin de période, le nombre de paiements et le montant des paiements de cette annuité. ACT Cours 10

43 Nous voulons résoudre l’équation
alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i. ACT Cours 10

44 Nous voulons résoudre l’équation
alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i. Ceci est équivalent à résoudre l’équation: ACT Cours 10

45 Nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction
ACT Cours 10

46 La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est alors
ACT Cours 10

47 Pour compléter la méthode de Newton-Raphson, il nous faut une valeur initiale i0 près de la valeur recherchée i. Une bonne approximation est obtenue en considérant comme valeur initiale ACT Cours 10

48 Exemple 3 : Dans un prêt de $, l’emprunteur s’engage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal d’intérêt i(4) de ce prêt. ACT Cours 10

49 Exemple 3 : Dans un prêt de $, l’emprunteur s’engage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal d’intérêt i(4) de ce prêt. Nous avons ainsi que L = , R = 7500, n = 10 x 4 = 40 et notons par i, le taux d’intérêt par trimestre. ACT Cours 10

50 Exemple 3 : (suite) La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour la méthode de Newton-Raphson est alors ACT Cours 10

51 Exemple 3 : (suite) La règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson est alors ACT Cours 10

52 Exemple 3 : (suite) En utilisant cette règle et cette valeur initiale, nous pouvons approximer le taux d’intérêt par trimestre et en multipliant par 4 ces taux obtenir une approximation du taux nominal recherché. Nous avons présenté ces valeurs dans le tableau suivant. ACT Cours 10

53 Exemple 3 : (suite) s xs 4xs (Taux nominal) 1.6260163% 6.5040652% 1
% % 1 % % 2 % % 3 % % 4 % % 5 % % 6 % % 7 % % ACT Cours 10

54 Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur initiale i0 .
Nous allons ainsi faire deux hypothèses simplificatrices pour obtenir cette première approximation. ACT Cours 10

55 Première hypothèse: Nous pouvons remplacer les n paiements de R dollars par un seul paiement de nR dollars. Idéalement pour obtenir une situation équivalente à celle des n paiements, nous ferions ce paiement à l’échéance moyenne. Faute de connaître le taux d’intérêt i, nous allons utiliser l’échéance moyenne approchée. ACT Cours 10

56 Nous allons supposer que l’intérêt est simple plutôt que composé.
Deuxième hypothèse: Nous allons supposer que l’intérêt est simple plutôt que composé. ACT Cours 10

57 Justification heuristique de l’approximation:
L’échéance moyenne approchée est car ACT Cours 10

58 Justification: (suite)
Nous pouvons considérer notre transaction comme une entrée au montant de L dollars au temps t = 0 et une sortie de nR dollars au temps t = (n + 1)/2. ACT Cours 10

59 Justification: (suite)
Nous notons par j: l’approximation lors que nous considérons le flux précédent et que nous supposons que l’intérêt est simple. Nous obtenons alors l’équation: ACT Cours 10

60 Justification: (suite)
Nous obtenons ainsi facilement que Ceci est notre choix de i0 . ACT Cours 10

61 Justification: (suite)
Il est aussi possible d’obtenir une justification plus mathématique, justification qui fait appel à la série binomiale. Celle-ci est présentée dans le recueil de notes de cours. ACT Cours 10