CALCUL DES DERIVEES Techniques de calcul scientifique

Présentation au sujet: "CALCUL DES DERIVEES Techniques de calcul scientifique"— Transcription de la présentation:

1 CALCUL DES DERIVEES Techniques de calcul scientifique
Racine d’une fonction CALCUL DES DERIVEES Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

2 Calcul des dérivées Soit une fonction f(x) qui prend les valeurs fj = f(xj) aux points xj, régulièrement espacés d'un pas h. Avec h = xj-xj-1 Dérivée à droite (progressive) Dérivée à gauche (régressive) Dérivée centrée Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

3 Dérivée à droite Calcul de f'j à l’ordre 1 en h Prof. A. TOUHAMI

4 Interprétation géométrique
Mj-1 Mj Mj+1 xj xj-1 xj+1 h y = f(x) x Du point de vue interprétation géométrique cette relation permet de remplacer la tangente au point Mj par la sécante Mj-Mj+1. Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

5 Opérateur différence à droite
On définit l'opérateur différence à droite + comme l'opérateur linéaire défini par: On peut alors aisément définir les puissances entières de +: Plus généralement on peut montrer par récurrence que : Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

6 Dérivée à droite Calcul de f"jà l’ordre 1 en h
On développe f(x+h) et f(x+2h) en faisant x = xj Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

7 Dérivée à droite Calcul de f(n)jà l’ordre 1 en h 1 -4 6 -3 3 -1 -2
Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

8 Dérivée à droite Calcul de f'j à l’ordre 2 en h
En remplaçant f"(x) par son expression qu'on a déjà déterminé dans le calcul à l'ordre 1en h et on obtient: en faisant x = xj Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

9 Dérivée à droite Le tableau ci-dessous donne les dérivées ainsi calculées jusqu'à l'ordre 4: -2 11 -24 26 -14 3 -3 14 18 -5 -1 4 2 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

10 Dérivée à droite Exemple:
Dans le cas où calculer les dérivées au point 0 xi -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 f(xi) 0.25 0.16 0.09 0.04 0.01 f'(xi) -1 -0.8 -0.6 0.6 0.8 1 f"(xi) 2 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

11 Dérivée à droite Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

12 Dérivée à gauche Opérateur différence à gauche
On peut comme précédemment définir par récurrence: Calcul de f'j à l’ordre 1 en h Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

13 Dérivée à gauche en faisant x = xj Mj-1 Mj Mj+1 xj xj-1 xj+1 h
y = f(x) x Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

14 Dérivée à gauche Calcul de f(n)jà l’ordre 1 en h 1 -4 6 -1 3 -3 -2
Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

15 Dérivée à gauche Calcul de f'j à l’ordre 2 en h
Les premiers coefficients des dérivées à l’ordre 2 à partir des différences à gauche sont données par le tableau ci-dessous: -2 11 -24 26 -14 3 24 -18 5 -1 4 -5 2 1 -4 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

16 Dérivée à gauche Exemple:
Calculer les dérivées à gauche de au point x=0 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

17 Dérivée centrée Calcul de f'j en faisant x = xj Prof. A. TOUHAMI

18 Dérivée centrée Interprétation géométrique Mj-1 Mj Mj+1 xj xj-1 xj+1 h
y = f(x) x Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

19 Dérivée centrée Calcul de f"j en faisant x = xj Prof. A. TOUHAMI

20 Dérivée centrée Calcul de f(n)j
La dérivée d’ordre n de f(x) peut s’écrire sous deux formes différentes selon la parité de n (n = 2p ou n = 2p+1) Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

21 Dérivée centrée Quatre premiers coefficients des dérivées à l’ordre 2
-1 1 -2 2 -4 6 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

22 Dérivée centrée Quatre premiers coefficients des dérivées à l’ordre 4
1 -8 8 -1 16 -30 13 -13 12 -39 56 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

23 Conclusion Les différences centrées donnent des résultats bien plus précis que les différences à droite ou à gauche Parfois on serait obligé d’utiliser les différences à droite ou à gauche dans le cas où le nombre x est limité en bord du domaine Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI