MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Dix-septième cours ACT Cours 17

2 Rappel: Règle des signes de Descartes ACT Cours 17

3 Rappel: Règle des signes de Descartes
Critères pour l’unicité du taux de rendement ACT Cours 17

4 Rappel: Règle des signes de Descartes
Critères pour l’unicité du taux de rendement Réinvestissement ACT Cours 17

5 Rappel: Règle des signes de Descartes:
Soit un polynôme en x de degré n, i.e. P(x) = an xn + … + a1 x + a0, alors le nombre de racines réelles positives de P(x) est plus petit ou égal au nombre de changement de signes dans la sous-suite des coefficients non nuls de la suite: an , an-1, …. , a1 , a0 De plus ce nombre de racines réelles positives a la même parité que ce nombre de changement de signes. ACT Cours 17

6 Rappel: Application de la règle des signes de Descartes:
Si, dans un flux financier, il n’y a qu’un seul changement de signes dans la suite des recettes nettes, alors le taux de rendement existe et est unique. ACT Cours 17

7 Rappel: Autre critère pour l’unicité: Si i0 est un taux de rendement d’une transaction pour laquelle les recettes nettes sont respectivement R0, R1, R2, ... , Rn et si B0(i0) = R0, B1(i0) = R0(1 + i0) + R1 , B2(i0) = R0(1 + i0)2 + R1(1 + i0) + R2, ... , Bk(i0) = R0(1 + i0)k + R1(1 + i0)k-1 + ··· + Rk-1(1 + i0) + Rk pour k = 0, 1, 2, ... , (n - 1), ont tous les mêmes signes, alors le taux de rendement est unique et égal à i0 . ACT Cours 17

8 Rappel: Réinvestissement: (Première situation) Considérons un prêt de 1$ pour n périodes de capitalisation. Le taux d’intérêt par période de capitalisation est i. L’intérêt est versé au prêteur à la fin de chaque période. Ce dernier les réinvestit au taux d’intérêt (taux de réinvestissement) j pour lequel la période de capitalisation coïncide avec celle de i et celle des paiements d’intérêt. Après les n périodes de capitalisation, le 1$ prêté est remboursé. Si r est le taux de rendement de cette transaction, alors ACT Cours 17

9 Cette dernière situation est celle de l’option 2 de l’exemple 2 du 16e cours. Elle est aussi celle d’une obligation négociable achetée au pair. Nous discuterons plus tard de la situation générale d’une obligation négociable. ACT Cours 17

10 Si nous analysons cette dernière formule
nous avons: Si i = j, alors r = i = j . Si i < j, alors i < r < j. Si i > j, alors j < r < i . ACT Cours 17

11 Réinvestissement: (2e situation)
Dans cette situation, l’investisseur verse $1 à la fin de chaque période pendant n périodes dans un placement. Ces paiements sont rémunérés au taux d’intérêt i par période de paiement de l’annuité. Les versements d’intérêt sont réinvestis au taux d’intérêt j (taux de réinvestissement). La période de capitalisation de ce taux de réinvestissement coïncide avec la période de paiement de l’annuité. ACT Cours 17

12 Réinvestissement: (2e situation)
La valeur accumulée par l’annuité et les versements d’intérêt à la fin de la ne période de paiement est ACT Cours 17

13 Réinvestissement: (2e situation)
En effet, le capital à la fin de la 1e période dans le placement est de 1$ et rapportera i dollars d’intérêt à la fin de la 2e période. Le capital à la fin de la 2e période dans le placement est de 2$ et rapportera 2i dollars d’intérêt à la fin de la 3e période. Le capital à la fin de la 3e période dans le placement est de 3$ et rapportera 3i dollars d’intérêt à la fin de la 4e période et ainsi de suite pour chaque période. ACT Cours 17

14 Réinvestissement: (2e situation)
Si nous représentons seulement les versements d’intérêt qui seront réinvestis au taux j, nous avons le diagramme suivant: ACT Cours 17

15 Réinvestissement: (2e situation)
Ainsi le valeur accumulée à la fin de la ne période par ces paiements d’intérêt sera À cette valeur, il faut ajouter le total des n paiements de 1$, soit n dollars, pour obtenir la valeur accumulée totale. ACT Cours 17

16 Conséquemment la valeur accumulée X à la fin de la ne période est
Réinvestissement: (2e situation) Conséquemment la valeur accumulée X à la fin de la ne période est ACT Cours 17

17 Réinvestissement: (2e situation)
Pour le calcul du taux de rendement de cette transaction, nous avons le diagramme suivant du flux financier: ACT Cours 17

18 Réinvestissement: (2e situation)
Si nous notons par r : le taux de rendement, alors nous avons l’équation ACT Cours 17

19 Réinvestissement: (2e situation)
Il est possible de déterminer r soit par la méthode de bissection, soit par la méthode de Newton-Raphson. Ce calcul peut aussi être effectué avec la calculatrice BA II Plus. Notons que si i = j, alors r = i. ACT Cours 17

20 Exemple 1: Des versements de 5000$ sont faits à la fin de chaque trimestre pendant 5 ans. Ces versements sont rémunérés au taux nominal d’intérêt i(4) = 8% par année capitalisé à tous les 3 mois. Les paiements d’intérêt eux sont réinvestis au taux nominal de réinvestissement j(4) = 10% par année capitalisé à tous les 3 mois. Déterminons le montant accumulé à la fin de la 5e année, ainsi que le taux de rendement. ACT Cours 17

21 Exemple 1: (suite) Il y aura ainsi 20 versements de 5000$. Après le ke versement, le capital sur lequel l’intérêt sera versé à la fin du (k + 1)e trimestre est 5000 k dollars. Le taux d’intérêt par trimestre est 8%/4 = 2%. Conséquemment le montant d’intérêt versé à la fin du (k + 1)e trimestre est (0.02) 5000 k = 100 k. ACT Cours 17

22 Nous avons le diagramme suivant des versements d’intérêt
Exemple 1: (suite) Nous avons le diagramme suivant des versements d’intérêt ACT Cours 17

23 Exemple 1: (suite) Le taux de réinvestissement par trimestre est 10%/4 = 2.5%. Conséquemment le montant accumulé à la fin du 20e trimestre est c’est-à-dire $. ACT Cours 17

24 Exemple 1: (suite) Le taux de rendement r par trimestre est alors déterminé par l’équation c’est-à-dire que r = % par trimestre. Donc le taux nominal de rendement est 4( %) = % par année capitalisé trimestriellement. ACT Cours 17

25 Il est parfois nécessaire de déterminer le taux de rendement
d’un fonds de placement pendant une période, fonds dans lequel il y a des dépôts, des retraits et des versements d’intérêt à intervalles irréguliers. ACT Cours 17

26 Notons par A: le montant dans le fonds au début de la période; B: le montant dans le fonds à la fin de la période; I: le montant d’intérêt gagné pendant la période; Ct: le montant net versé ou retiré du fonds au temps t (Nous supposons que la durée d’une période est 1. De plus Ct > 0 s’il s’agit d’un dépôt et Ct < 0 s’il s’agit d’un retrait); (1 - t)it : le montant d’intérêt gagné par 1$ investi dans le fonds au temps t pendant le reste de la période; i: le taux de rendement du fonds. ACT Cours 17

27 Nous avons ainsi une première équation:
B = A + C + I où C = t Ct est la contribution nette dans le fonds. Cette équation nous permet de déterminer I, car A, B et C sont connus. ACT Cours 17

28 Nous avons une seconde équation:
I = iA + t (1 - t)it Ct Il nous faut faire quelques hypothèses si nous voulons déterminer le taux de rendement i . Nous supposerons premièrement que l’intérêt est composé pour la période, alors (1 - t)it = (1 + i)(1 - t) - 1 . ACT Cours 17

29 En substituant, nous obtenons l’équation:
I = iA + t Ct [(1 + i)(1 - t) - 1] c’est-à-dire I = iA + [t Ct (1 + i)(1 - t) ] - C Dans cette dernière équation, I, A, C et les Ct sont connus et nous pouvons déterminer i en considérant l’équation iA + [t Ct (1 + i)(1 - t) ] - C - I = 0 ACT Cours 17

30 f(x) = xA + [t Ct (1 + x)(1 - t) ] - C - I = 0
En utilisant soit la méthode de bissection, soit la méthode de Newton-Raphson, nous pouvons déterminer i en cherchant le zéro de la fonction f(x) = xA + [t Ct (1 + x)(1 - t) ] - C - I = 0 ACT Cours 17

31 En substituant dans l’équation I = iA + t (1 - t)it Ct ,
Nous pouvons obtenir une approximation de i en faisant une autre hypothèse, à savoir que l’intérêt est simple plutôt que composé. Dans ce cas, (1 - t)it = (1 - t)i. En substituant dans l’équation I = iA + t (1 - t)it Ct , nous obtenons I = iA + t (1 - t)i Ct ACT Cours 17

32 Nous obtenons comme approximation de i que
ACT Cours 17

33 est le montant moyen investi dans le fonds durant la période.
Nous pouvons interpréter cette formule de la façon suivante: I est l’intérêt gagné dans la période et le dénominateur est le montant moyen investi dans le fonds durant la période. Nous pourrions aussi donner une interprétation en utilisant l’échéance moyenne approchée des contributions nettes Ct . ACT Cours 17

34 Nous pouvons obtenir une autre approximation de i en supposant que les contributions nettes sont uniformément distribuées dans la période. Dans ce cas, nous pouvons nous ramener à une seule contribution nette de C dollars faite à t = 1/2 ACT Cours 17

35 Nous obtenons comme approximation de i que
Donc ACT Cours 17

36 Exemple 2: Déterminons le taux de rendement d’une compagnie d’assurance pour une année dont les données financières sont les suivantes: Actif au début de l’année Revenues des primes d’assurance Revenues brutes d’investissement Indemnités versées Dépenses d’investissement Autres dépenses ACT Cours 17

37 Exemple 2: (suite) A = ; B = B = I = = En utilisant la dernière formule approximative, nous obtenons que le taux de rendement est ACT Cours 17

38 Exemple 3: Déterminons le taux de rendement d’un fonds de placement. Le 1er janvier, la valeur du fonds de placement est de $. Le 1er avril, sa valeur est $ et $ est déposé. Le 1er juin, la valeur du fonds est $ et un retrait de $ est effectué. Le 1er novembre, la valeur du fonds est de $ et $ est déposé. Le 1er janvier de l’année suivante, le solde du fonds est de $. ACT Cours 17

39 Exemple 3: (suite) Dans cet exemple, A = 12 500 000, B = 15 000 000 et
Alors I = B - A - C = Le taux de rendement est ACT Cours 17

40 Exemple 3: (suite) Donc le taux de rendement i est approximativement égal à 13.20%. Si nous utilisons la calculatrice pour déterminer le taux effectif de rendement en supposant de l’intérêt composé plutôt que de l’intérêt simple, nous obtenons %. ACT Cours 17

41 (1 + i) = (1 + j1)(1 + j2) · · · (1 + jm)
Il existe une autre mesure pour la performance d’un fonds: le taux de rendement i pondéré par le temps défini par l’équation (1 + i) = (1 + j1)(1 + j2) · · · (1 + jm) où et C1 , C2 , ... , Cm sont les m contributions nettes dans le fonds, Bk est le solde dans le fonds avant la contribution Ck , B0 est le solde initial et Bm le solde final. ACT Cours 17

42 Exemple 4: Reprenons l’exemple 3 pour déterminer dans ce cas, le taux de rendement pondéré par le temps. Ce taux de rendement sera à savoir 15.42% ACT Cours 17

43 Il ne faut pas confondre ce taux de rendement i pondéré par le temps avec celui usuel, qui pourrait qualifié de pondéré par le capital. Le taux pondéré par le temps mesure mieux la performance du fonds plutôt que les choix de l’investisseur. Ce sont deux mesures distinctes. ACT Cours 17

44 Le taux de rendement peut être utilisé de deux façons dans le processus de décision d’un investisseur. 1ère méthode: Un seuil pour le taux de rendement est fixé. Les alternatives d’investissement dont le taux de rendement est plus grand ou égal au seuil sont retenues. Celles-ci sont ensuite choisies en ordre décroissant de taux de rendement. ACT Cours 17

45 Le taux de rendement peut être utilisé de deux façons dans le processus de décision d’un investisseur. 1ère méthode: Un seuil pour le taux de rendement est fixé. Les alternatives d’investissement dont le taux de rendement est plus grand ou égal au seuil sont retenues. Celles-ci sont ensuite choisies en ordre décroissant de taux de rendement. 2e méthode: Un taux de rendement acceptable i est fixé. La valeur actuelle nette P(i) pour chaque alternative au taux i est calculée. Seulement les alternatives pour lesquelles P(i) > 0 sont retenues. Celles-ci sont choisies en ordre décroissant des valeurs actuelles nettes ACT Cours 17

46 CHAPITRE VI Amortissement et fonds d’amortissement
ACT Cours 17

47 L’amortissement consiste à déterminer dans le remboursement d’un prêt la portion d’intérêt et celle de capital de chacun des paiements. ACT Cours 17

48 Règles pour l’amortissement:
Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû ACT Cours 17

49 Règles pour l’amortissement:
Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû Si le paiement est supérieur à ce montant d’intérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté ACT Cours 17

50 Règles pour l’amortissement:
Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû Si le paiement est supérieur à ce montant d’intérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté Si le paiement est inférieur à ce montant d’intérêt, alors l’intérêt qui n’aura pas été versé s’ajoutera au capital à rembourser ACT Cours 17

51 Exemple 5: Considérons un prêt de $ au taux effectif d’intérêt de 8% par année remboursé en 3 paiements. Le premier de 3000$ à la fin de la 2e année, le second de 4000$ à la fin de la 3e année et de 1000$ à la fin de la 5e année. ACT Cours 17

52 Exemple 5: (suite) Au premier paiement, l’intérêt dû est
(1.08) = [(1.08)2 - 1] = Comme nous payons 3000$, alors l’intérêt dû est complètement payé et ce qui reste, à savoir = , rembourse une partie du capital prêté. Donc la portion d’intérêt du premier paiement est $, la portion de principal remboursé est $ et l’emprunteur ne doit plus après le 1er paiement au montant de 3000$ que = $ ACT Cours 17

53 Exemple 5: (suite) Au deuxième paiement, l’intérêt dû est
(1.08) = [(1.08) - 1] = Comme nous payons 4000$, alors l’intérêt dû est complètement payé et ce qui reste, à savoir = , rembourse une partie du capital prêté. Donc la portion d’intérêt du deuxième paiement est $, la portion de principal remboursé est $ et l’emprunteur ne doit plus après le 2e paiement au montant de 4000$ que = $ ACT Cours 17

54 Exemple 5: (suite) Au troisième paiement, l’intérêt dû est
857.34(1.08) = [(1.08)2 - 1] = Comme nous payons 1000$, alors l’intérêt dû est complètement payé et ce qui reste, à savoir = , rembourse une partie du capital prêté. Donc la portion d’intérêt du troisième paiement est $, la portion de principal remboursé est $ et l’emprunteur ne doit plus après le 3e paiement au montant de 1000$ que = 0$. Le prêt est donc complètement remboursé. ACT Cours 17

55 Dans l’exemple 5, nous avons adopté une approche rétrospective, mais nous aurions aussi pu résoudre ce problème par une approche prospective. ACT Cours 17

56 Exemple 5: (suite) Approche prospective
Après le premier paiement, l’emprunteur doit 4000(1.08) (1.08)-3 = $. Comme il devait $, le principal remboursé est = $. Comme nous payons 3000$ au premier paiement, alors la portion d’intérêt du premier paiement est = $. ACT Cours 17

57 Exemple 5: (suite) Approche prospective
Après le deuxième paiement, l’emprunteur doit 1000(1.08)-2 = $. Comme il devait $, le principal remboursé est = $. Comme nous payons 4000$ au deuxième paiement, alors la portion d’intérêt du deuxième paiement est = $. ACT Cours 17

58 Exemple 5: (suite) Approche prospective
Après le troisième paiement, l’emprunteur doit 0$. Comme il devait $, le principal remboursé est = $. Comme nous payons 1000$ au troisième paiement, alors la portion d’intérêt du troisième paiement est = $. ACT Cours 17

59 Nous pouvons présenter ces données sous la forme d’un tableau dans lequel nous indiquons la portion d’intérêt payé et la portion de principal versé dans chaque paiement. Nous obtenons alors la table d’amortissement suivante pour l’exemple précédent. ACT Cours 17

60 Période (Année) Paiement Portion d’intérêt Portion de principal
Solde restant du prêt 5000 1 2 3000 3 4000 359.80 857.34 4 5 1000 142.66 ACT Cours 17