13/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatrième cours.

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1 13/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatrième cours

2 13/09/07 Rappel du dernier cours Escompte composé

3 13/09/07 Rappel du dernier cours Escompte composé Escompte simple

4 13/09/07 Rappel du dernier cours Escompte composé Escompte simple Taux nominal dintérêt

5 13/09/07 Rappel du dernier cours Escompte composé Escompte simple Taux nominal dintérêt Taux nominal descompte

6 13/09/07 Rappel du dernier cours Escompte composé Escompte simple Taux nominal dintérêt Taux nominal descompte Équivalence de taux

7 13/09/07 Rappel: Taux nominal dintérêt Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est

8 13/09/07 Rappel: Taux nominal descompte Si lintérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux descompte pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal descompte est

9 13/09/07 Rappel: Léquivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes en calculant la valeur actuelle de 1$ payable dans un an ou encore

10 13/09/07 Rappel:(suite) en calculant la valeur accumulée par 1$ après un an.

11 13/09/07 Exemple 1: Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal dintérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal descompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois. (a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années?

12 13/09/07 Exemple 1: Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal dintérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal descompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois. (a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années? (b) Quel est lintérêt gagné par Anouk pendant la troisième année?

13 13/09/07 Solution: (a) Pour les deux premières années, nous avons que le taux dintérêt est cest-à-dire

14 13/09/07 Solution: (a) Pour les deux premières années, nous avons que le taux dintérêt est cest-à-dire Pour les trois dernières années, nous avons que le taux descompte est cest-à-dire

15 13/09/07 Solution: (a) Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de lintérêt, cest-à-dire 4 périodes de 6 mois.

16 13/09/07 Solution: (a) Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de lintérêt, cest-à-dire 4 périodes de 6 mois. Pour les trois dernières années, il y aura 12 = 3 x 4 périodes de capitalisation de lintérêt, cest-à-dire 12 périodes de 3 mois.

17 13/09/07 Solution: (a) Le montant accumulé après les deux premières années est

18 13/09/07 Solution: (a) Le montant accumulé après les deux premières années est Le montant accumulé après les trois dernières années est

19 13/09/07 Solution: (a) Anouk aura donc accumulé 17747.17$ dans son placement après 5 ans.

20 13/09/07 Solution: (b) Il nous faut calculer les montants accumulés après trois ans et après deux ans et les soustraire lun de lautre.

21 13/09/07 Solution: (b) Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est

22 13/09/07 Solution: (b) Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est

23 13/09/07 Solution: (b) Le montant dintérêt gagné pendant la troisième année est

24 13/09/07 Taux instantané de lintérêt ou force de lintérêt: Il sagit dun notion pour mesurer lintérêt qui fait appel au calcul différentiel.

25 13/09/07 Taux instantané de lintérêt ou force de lintérêt: (suite) Notons la fonction daccumulation par Alors le taux instantané de lintérêt est

26 13/09/07 Exemple 2: Si nous considérons la situation de lintérêt simple, cest-à-dire Alors la force de lintérêt sera

27 13/09/07 Exemple 3: Si nous considérons la situation de lintérêt composé, cest-à-dire Alors la force de lintérêt sera

28 13/09/07 Remarque 1: Dans le cas de lintérêt simple, la force de lintérêt est décroissante; alors que, dans le cas de lintérêt composé, elle est constante.

29 13/09/07 Remarque 2: Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de lintérêt, nous pouvons alors calculer la fonction daccumulation. En effet,

30 13/09/07 Remarque 2: (suite) De la définition, nous pouvons montrer que

31 13/09/07 Remarque 2: (suite) De la définition, nous pouvons aussi montrer que lintérêt peut être calculé par une intégrale:

32 13/09/07 Remarque 3: Dans la situation pour laquelle la force de lintérêt est constante, cest-à-dire nous obtenons que

33 13/09/07 Remarque 3: (suite) Cette situation est équivalente à celle de lintérêt composé.

34 13/09/07 Remarque 3: (suite) Cette situation est équivalente à celle de lintérêt composé. De plus, nous obtenons que oùest le taux dintérêt composé équivalent.

35 13/09/07 Exemple 4: Boris veut accumuler 10000$ après 7 ans dans un placement rémunéré au taux instantané de lintérêt de 5% par année. Quel montant doit-il investir aujourdhui?

36 13/09/07 Solution: Nous voulons calculer le valeur actuel de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané dintérêt

37 13/09/07 Solution: (suite) Nous avons vu que la fonction de capitalisation est

38 13/09/07 Solution: (suite) Nous avons vu que la fonction de capitalisation est Conséquemment la fonction dactualisation est

39 13/09/07 Solution: (suite) De cette dernière observation, Boris doit investir aujourdhui

40 13/09/07 Proposition 1: Si et désignent respectivement un taux nominal dintérêt et un taux instantané de lintérêt et que ces taux sont équivalents, alors

41 13/09/07 CHAPITRE II Principes de base

42 13/09/07 Principe de base: La valeur d'un montant investi ou prêté à un moment donné dépend du temps qui s'est écoulé depuis que le montant a été investi ou prêté ou encore du temps qui doit sécouler avant que le montant soit payé ou remboursé.

43 13/09/07 Conséquence du principe de base: Pour deux montants payables à deux moments différents dans le temps, ne peuvent être comparés que leurs valeurs accumulées ou escomptées à une date commune appelée la date de comparaison.

44 13/09/07 Définition: Léquation incluant les valeurs accumulées ou escomptées à cette date de comparaison des montants investis ou prêtés est appelée léquation de valeur.

45 13/09/07 Définition de léquation de valeur: La somme des valeurs accumulées ou escomptées des entrées dun flux financier à la date de comparaison est égale à la somme des valeurs accumulées ou escomptées des sorties dun flux financier à la même date de comparaison

46 13/09/07 Exemple 5: Alex et Béa conviennent du prêt suivant. Alex prêtera 7000$ immédiatement, 4000$ dans 2 ans et 3000$ dans 3 ans. Béa remboursera ce prêt par un seul versement de X dollars dans 5 ans. Déterminer X si ce prêt est contracté au taux nominal dintérêt de 10% par année capitalisé semestriellement.

47 13/09/07 Solution: Prenons comme date de comparaison Le taux dintérêt par période de 6 mois est

48 13/09/07 Solution: Le diagramme dentrées et sorties est Alors léquation de valeur est

49 13/09/07 Solution: (suite) Si nous avions pris comme date de comparaison alors le diagramme dentrées et sorties est

50 13/09/07 Solution: (suite) Si nous avions pris comme date de comparaison et léquation de valeur est alors le diagramme dentrées et sorties est

51 13/09/07 Peu importe léquation utilisée, nous obtenons que Béa remboursera le prêt en versant

52 13/09/07 Nous pouvons comparer les équations de valeur pour ces deux dates, nous avons Celles-ci sont différentes que par la multiplication dun même facteur, à savoir la première équation par (1.05) 10. et

53 13/09/07 Il est nécessaire de fixer une date de comparaison, mais le choix naura pas dincidence sur le résultat dans le cas de lintérêt composé.

54 13/09/07 Exemple 6: Nous reprenons le même prêt que celui de lexemple 5, sauf que Béa remboursera ce prêt par trois versements égaux au montant de Y dollars, le premier après 3 ans et demi, le second après 4 ans et demi et le dernier après 5 ans. Déterminer Y si ce prêt est contracté au taux nominal dintérêt de 10% par année capitalisé semestriellement.

55 13/09/07 Solution: Prenons comme date de comparaison t = 7 périodes de capitalisation = 3.5 ans. Le taux dintérêt par période de 6 mois est

56 13/09/07 Solution: Le diagramme dentrées et sorties est Alors léquation de valeur est

57 13/09/07 De cette équation, nous obtenons que

58 13/09/07 De cette équation, nous obtenons que Si nous comparons le total des versements effectués par Béa pour chacun de ces exemples, nous obtenons

59 13/09/07 Ceci ne devrait pas nous surprendre parce que le remboursement plus rapide de son prêt fait en sorte que Béa versera moins dintérêt à Alex!