Interrogation n°1: Sujet A

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1 Interrogation n°1: Sujet A
À l’automne 2010, Claude achète une maison à la campagne; il dispose d’un terrain de m² entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20% de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à la fin de chaque été, la mousse sur une surface de 50m² et la remplace par du gazon. Pour tout nombre entier naturel 𝑛, on note 𝑢 𝑛 la surface en 𝑚² de terrain engazonné au bout de 𝑛 années , c’est à dire à l’automne 2010+n. On a donc 𝑢 0 =1 500. Calculer 𝑢 1 Justifier à l’aide d’une phrase que pour tout nombre entier naturel 𝑢 𝑛+1 =0,8 𝑢 𝑛 +50. À l’aide de la calculatrice conjecture la monotonie de la suite ( 𝑢 𝑛 ) On considère la suite ( 𝑣 𝑛 ) définie pour tout nombre entier naturel par 𝑣 𝑛 = 𝑢 𝑛 −250. Montrons que ( 𝑣 𝑛 ) est géométrique : a. Exprimer 𝑣 𝑛+1 en fonction de 𝑢 𝑛+1 b. En remplaçant astucieusement exprimer 𝑣 𝑛+1 en fonction 𝑢 𝑛 c. En remplaçant astucieusement exprimer 𝑣 𝑛+1 en fonction de 𝑣 𝑛 d. En déduire que ( 𝑣 𝑛 ) est géométrique . Préciser son premier terme et sa raison. 5. Exprimer 𝑣 𝑛 en fonction de 𝑛. 6. En déduire que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 𝑛 = × 0,8 𝑛 7. En déduire la monotonie de la suite (𝑢 𝑛 ). 8. Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel 𝑛 telle que: 𝑢 𝑛 <500 Bonus: Cette question ne sera évalué que si l’intégralité du sujet est traité. Claude est certain que la mousse ne peuvent envahir la totalité de son terrain. A-t-il raison? Justifier la réponse. Interrogation n°1: Sujet B À l’automne 2010, Claude achète une maison à la campagne; il dispose d’un terrain de m² entièrement engazonné. Mais tous les ans, 15% de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à la fin de chaque été, la mousse sur une surface de 60 m² et la remplace par du gazon. Pour tout nombre entier naturel 𝑛, on note 𝑢 𝑛 la surface en 𝑚² de terrain engazonné au bout de 𝑛 années , c’est à dire à l’automne 2010+n. On a donc 𝑢 0 =2 000. Calculer 𝑢 1 Justifier à l’aide d’une phrase que pour tout nombre entier naturel 𝑢 𝑛+1 =0,85 𝑢 𝑛 +60. À l’aide de la calculatrice conjecture la monotonie de la suite ( 𝑢 𝑛 ) On considère la suite ( 𝑣 𝑛 ) définie pour tout nombre entier naturel par 𝑣 𝑛 = 𝑢 𝑛 −400. Montrons que ( 𝑣 𝑛 ) est géométrique : a. Exprimer 𝑣 𝑛+1 en fonction de 𝑢 𝑛+1 b. En remplaçant astucieusement exprimer 𝑣 𝑛+1 en fonction 𝑢 𝑛 c. En remplaçant astucieusement exprimer 𝑣 𝑛+1 en fonction de 𝑣 𝑛 d. En déduire que ( 𝑣 𝑛 ) est géométrique . Préciser son premier terme et sa raison. 5. Exprimer 𝑣 𝑛 en fonction de 𝑛. 6. En déduire que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 𝑛 = × 0,85 𝑛 7. En déduire la monotonie de la suite (𝑢 𝑛 ). 8. Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel 𝑛 telle que: 𝑢 𝑛 <500 Bonus: Cette question ne sera évalué que si l’intégralité du sujet est traité. Claude est certain que la mousse ne peuvent envahir la totalité de son terrain. A-t-il raison? Justifier la réponse.