Chapitre 3: Caractérisation des systèmes

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1 Chapitre 3: Caractérisation des systèmes

2 Performances d ’un système asservi
Comportement d ’un « bon » système asservi : après un changement de consigne ou une perturbation, la mesure doit atteindre la consigne, le plus rapidement possible et sans oscillations intempestives 3 notions fondamentales à caractériser : la précision statique (la mesure doit atteindre la consigne) la rapidité (le plus rapidement possible) la stabilité (sans oscillations intempestives)

3 La stabilité La stabilité : notion complexe étudiée ultérieurement. Dans un premier temps, on caractérisera la « résonance ». Réponse indicielle d ’un système instable Réponse indicielle d ’un système stable, mais pas assez

4 Nécessité d ’une caractérisation
A partir de la connaissance de la FT ou d ’essais expérimentaux, il s ’agit de déterminer certaines grandeurs représentatives des performances du système asservi. 2 approches peuvent être utilisées : temporelle fréquentielle

5 3.1 Approches temporelle, fréquentielle et zéros-pôles

6 Evaluation des performances
2 approches sont possibles : on utilise des entrées standardisées et à partir des tracés d ’entrée-sortie on détermine un certain nombre de grandeurs caractéristiques : Approche temporelle ou indicielle (entrée = échelon) Approche fréquentielle ou harmonique (entrée = sinusoïde à fréquence variable)

7 3.1.1 Approche temporelle

8 Approche temporelle t e(t) A Système y(t) ? Si le système ne comporte pas d ’intégration, 2 types de réponse sont possibles : Réponse apériodique Réponse oscillatoire amortie

9 Réponse temporelle La réponse peut être décomposée en deux parties :
y(t) Régime transitoire Régime permanent

10 Le gain - détermination temporelle
Le gain K caractérise le régime permanent : t e(t) t y(t) Dy De

11 Autres caractéristiques temporelles
Le régime transitoire peut être caractérisé par : le temps de montée, tm, temps nécessaire pour passer de 10 à 90 % de la valeur finale le temps de réponse, tr, temps nécessaire pour que la réponse se stabilise à plus ou moins 5 % de la valeur finale Lorsque la réponse est oscillatoire amortie, on peut aussi utiliser : l ’amplitude du 1er dépassement, D1, (en % de la valeur finale) et le temps tD1 qui lui correspond

12 Exemple Attention à la détermination de tr et tD1 et D1 : Ici D1 = 8 %
y(t) 105 % 100 % 95 % tr tD1 Ici D1 = 8 %

13 3.1.2 Approche fréquentielle

14 Approche fréquentielle
On s ’intéresse : au rapport d ’amplitude (le gain) : r au déphasage : j entre les signaux d ’entrée-sortie en fonction de la pulsation : w Le gain et le déphasage sont respectivement le module et l ’argument du nombre complexe H(jw) correspondant à la FT H(p) :

15 Diagrammes Dans l ’approche fréquentielle, on utilise 2 types de diagramme : diagramme de Bode : diagramme de Nyquist : Pour mémoire, il existe aussi : le lieu de Black-Nichols

16 Diagramme de Bode 2 courbes :
G, le module de H, exprimé en dB en fonction de w j, le déphasage, exprimé en degré en fonction de w

17 Le gain - détermination fréquentielle
Le gain statique, KdB, correspond au gain à la fréquence minimale

18 La bande passante Bande passante, B, domaine fréquentiel à l ’intérieur duquel le module de H reste compris entre 2 bornes : La pulsation correspondant à l ’atténuation de - 3 dB est appelée pulsation de coupure, wc plus la bande passante est élevée, plus le système est rapide

19 Le facteur de résonance
Le facteur de résonance MdB n ’est présent que lorsque la réponse temporelle est oscillatoire amortie, c ’est la variation entre le gain statique et l ’amplitude maximale ; la pulsation de résonance est wr MdB

20 Diagramme de Nyquist Ce lieu décrit en coordonnées polaires le point d ’affixe H(jw) lorsque w varie de 0 à l ’infini Le lieu est gradué en w Dans ce diagramme, il ne faut considérer que la courbe rouge Ce diagramme est surtout utilisé pour évaluer la « stabilité » d ’un système

21 3.2 Systèmes du premier ordre

22 Remarque préalable Mathématiquement, un système du 1er ordre est régit par une équation différentielle du 1er ordre : Plusieurs formes sont possibles selon la valeur des coefficients. En Automatique, lorsque l ’on parle d ’un système du 1er ordre, il s ’agit, par défaut, d ’un système du 1er ordre sur la sortie.

23 3.2.1 Systèmes du premier ordre de type K/(1+Tp)

24 Fonction de transfert Système régit par une équation différentielle du 1er ordre sur la sortie : Exemple : filtre RC K : gain statique T : constante de temps

25 Réponse indicielle Echelon d ’amplitude A :
Régime permanent Transitoire

26 Réponse à une rampe Rampe de pente A : Régime permanent Transitoire
Entrée Sortie Retard Erreur de traînage Transitoire Pour le dessin K = 1

27 Diagramme de Bode 2 asymptotes qui se coupent pour w = 1/T = wc
-20 dB / décade Le déphasage évolue entre 0 et - 90° f(wc) = - 45°

28 Diagramme de Nyquist C ’est un demi-cercle de rayon 1
Ici, le gain vaut 2

29 3.2.2 Autres systèmes du premier ordre

30 Système de type K(1+Tp) Les systèmes de ce type ne représentent pas des systèmes physiques ; ils correspondent à des filtres ou des correcteurs. Dans ce contexte, ils ne sont pas utilisés seuls. Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus pour K/(1+Tp)

31 Système intégrateur Equation différentielle : Exemple :
Système « instable » Système de type 1 (une intégrale) 1/p Vitesse axe moteur Position axe moteur t e(t) A t y(t) At

32 Système intégrateur Diagramme de Bode : pente -20 dB/décade
déphasage = -90° Gain statique K Gain statique en dB

33 Système intégrateur Diagramme de Nyquist
Demi-droite sur l ’axe imaginaire négatif

34 Système dérivateur Equation différentielle :
Exemple : Génératrice tachymétrique Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus pour K/p. De même pour Nyquist : demi-droite sur l ’axe imaginaire positif. K p Position arbre Tension génératrice

35 3.3 Systèmes du deuxième ordre

36 Forme générale Système régit par une équation différentielle du 2ème ordre sur la sortie : Exemple : partie mécanique d ’un galvanomètre q : angle de déviation J : moment d ’inertie k : coefficient de raideur du ressort f : coefficient de frottement g : couple exercé sur le galvanomètre

37 Fonction de Transfert Selon Z, le dénominateur admet :
K : gain statique wn : pulsation propre non amortie Z : facteur d ’amortissement Selon Z, le dénominateur admet : 2 racines réelles, c ’est un système apériodique 2 racines complexes conjuguées, c ’est un système résonant

38 3.3.1 Réponse temporelle

39 Mode oscillatoire amorti
Réponse indicielle 2 comportements distincts selon Z : Mode non oscillatoire Mode oscillatoire amorti - * - { }

40 Système apériodique Produit de 2 systèmes du 1er ordre :
Réponse à un échelon d ’amplitude A : Temps de réponse : Régime permanent Transitoire

41 Système oscillatoire amorti
Echelon d ’amplitude A : Temps de réponse : Amplitude et temps du 1er dépassement : Pseudo-pulsation Régime permanent Transitoire

42 Réponse indicielle en fonction de Z
Il n ’existe pas de relation simple pour exprimer le temps de réponse tr. Il est minimum pour Z = 0.7

43 Réponse indicielle en fonction de wn
Plus la pulsation est grande, plus le système est rapide

44 La tangente à l ’origine
1er ordre : tangente verticale ème ordre : tangente horizontale

45 3.3.2 Réponse fréquentielle

46 Grandeurs caractéristiques
Pulsation de coupure Pulsation de résonance Facteur de résonance

47 Diagramme de Bode Système apériodique wn - 40 dB/décade
2 asymptotes qui se coupent pour w = wn les asymptotes sont toujours « sur » la courbe Le déphasage évolue entre 0 et - 180° f(wn) = - 90°

48 Diagramme de Bode Système oscillatoire amorti wn - 40 dB/décade wr
2 asymptotes qui se coupent pour w = wn Le déphasage évolue entre 0 et - 180° f(wn) = - 90°

49 Diagramme de Bode fonction de Z

50 Diagramme de Bode fonction de wn

51 Diagramme de Nyquist Tangente horizontale pour Limite de résonance
Apériodique : Oscillatoire amorti :

52 Diagr. de Nyquist fonct. de Z et wn
À Z et K constants, le tracé ne change en fonction de wn Z = 0.3 Z = 0.1