Chapitre 5 : Etude de la Stabilité des systèmes dynamiques

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1 Chapitre 5 : Etude de la Stabilité des systèmes dynamiques

2 5.1 Définition

3 Première approche de la stabilité
Ce n ’est pas la résonance ! Système stable = en réponse à un échelon, le système se stabilise après un transitoire Exemples de systèmes instables :

4 Une approche plus mathématique
Toute FT H(p) peut se décomposer en éléments simples : la CNS pour que H(p)=Num(p)/Den(p) soit stable est que tous ses pôles aient leur partie réelle négative : Equation caractéristique : Den(p)=0

5 5.2 Critère algébrique de Routh

6 Principe On considère le dénominateur de H(p) :
Condition nécessaire de stabilité : Tous les coefficients de l’équation caractéristique sont de même signe. Condition nécessaire et suffisante de stabilité On construit un tableau à partir des coefficients. Si tous les termes de la première colonne sont de même signe, le système est stable ...

7 Exemple Système instable

8 5.3 Critère graphique du revers

9 L ’équation caractéristique
Soit un système à retour unitaire : Sa FT en BF vaut : Les zéros de « l ’équation caractéristique » : correspondent aux pôles de la FT en BF, ils doivent être à partie réelle négative + Consigne H(p) Mesure -

10 Les critères graphiques
L ’équation caractéristique peut être modifiée : Cela veut dire que dans le plan complexe, lorsque le lieu de transfert H(p) passe par le point (-1,0), dit « point critique », le système est à la limite de la stabilité C ’est ce constat qui est à l ’origine du critère du revers, qui est une simplification du critère de Nyquist (qui ne sera pas traité)

11 Le critère du revers On considère un système à retour unitaire :
Ce système (BF) est stable si le lieu de Nyquist en BO (diagramme de Nyquist de H(p)) parcouru dans le sens des fréquences croissantes, laisse le point critique (-1,0) constamment à sa gauche Mesure Consigne + - H(p)

12 Exemple R I -1 Stable R I -1 Limite de stabilité R I -1 Instable

13 Exemple : en BO Réponse indicielle en BF Diagramme de Nyquist en BO
K = 1 stable K = 1.5 limite de stabilité

14 Mise en œuvre dans le plan de Bode
Point critique (-1,0) « équivalent » aux points : A d ’amplitude 0 dB B de déphasage -180 ° Une courbe : un point Deux courbes : deux points -180° dB F ° A B R I -1 A B Stable

15 Equivalence Nyquist-Bode
-180° dB F ° AB R I -1 Limite de stabilité : A et B sont identiques

16 Equivalence Nyquist-Bode
-180° dB F ° B A R I -1 B A Système instable

17 5.4 Marges de stabilité

18 Principe La notion de stabilité est binaire
Pour qu ’un système asservi soit performant, il ne suffit pas qu ’il soit stable, il doit l ’être « suffisamment » Dans le cas de l ’utilisation d ’un modèle simplifié, il faut tenir compte du fait qu ’il est simplifié et prendre une marge de sécurité Réponse indicielle d ’un système stable ; cette réponse n ’est cependant pas acceptable pour une régulation

19 Notion de marge de stabilité
La notion de marge de stabilité peut être vue comme une « marge de sécurité » par rapport au point critique : pour être suffisamment stable, il faut suffisamment s ’éloigner du point critique Comment traduire cet éloignement ? : lieux de Nyquist et Bode : marge de gain et de phase lieu des pôles : gabarit

20 Marge de gain et de phase (en BO)
-180° dB F ° A B Marge de phase Marge de gain R I -1 A B Marge de phase Marge de gain Valeurs courantes : - marge de phase : Mf = 30 à 50 ° - marge de gain : MG = 8 à 15 dB Dans les calculs, on privilégie l ’utilisation de la marge de phase Mf = 45 ° MG = 12 dB