Mathématiques Financières des Emprunts

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1 Mathématiques Financières des Emprunts
L'objectif de ce thème est de nous familiariser avec toutes les techniques de calcul qui se rapportent aux divers types de prêts et d'emprunts : Aux Entreprises et aux Particuliers Sur le Marché Monétaire

2 Entreprises et Particuliers
Système Bancaire Entreprises Financement Financement des Immobilisations Financement de l'Actif Circulant Placements Monétaires Particuliers Produits d'Épargne Prêts Prêts Immobiliers Prêts à la Consommation

3 Le Marché Monétaire Marché Monétaire Marché de Gré à Gré
Marché des Titres de Créances Négociables Marché de Gré à Gré Billets de Trésorerie et Certificats de Dépôt Bons à Moyen Terme Négociables Marché Réglementé Bons du Trésor Marché Interbancaire

4 Plan de Travail L'objectif de ce thème est de nous familiariser avec toutes les techniques de calcul qui se rapportent aux divers types de prêts et d'emprunts : Les Trois Formules de Base Les Principaux Taux Compléments

5 Les trois formules de base
Formule des intérêts simples Formule des intérêts composés Formule des annuités

6 Formule des Intérêts Simples
Si l’on désigne par : C : le capital emprunté, i : le montant des intérêts, t : le taux d’intérêt annuel pour 100 Euros, n : la durée de l'emprunt, Exemple : si l'on emprunte € pour deux ans au taux de 5% 𝑖= 𝐶 𝑥 𝑡 𝑥 𝑛 100 𝑖= 2000 𝑥 5 𝑥 = 200 € 𝑖= 𝐶 𝑥 𝑡 𝑥 𝑛 36500 Si l'on veut calculer en nombre de jours la formule devient : Exemple : votre compte en banque est débiteur de 2700 € pendant 7 jours et la banque facture votre découvert au taux de 17% l'an les intérêts en sa faveur seront : 𝑖= 2700 𝑥 17 𝑥 = 8,80 €

7 Valeur Actuelle Valeur Future : Définition
La valeur actuelle d’un capital est représentée par son montant avant qu’il n’ait produit des intérêts et/ou agios, sa valeur future est représentée par ce même capital majoré des intérêts qu’il a produits entre la date de la "valeur actuelle" et la date de la "valeur future". Entre ces deux dates, une capitalisation périodique d’intérêts échus pourra avoir éventuellement eu lieu. Prenons l’exemple d’un capital de 100 Euros, placé à 12% l’an pendant trois années avec capitalisation d’intérêts du 1er janvier de chaque année nouvelle. Valeur actuelle au 1er janvier n : 100 Euros, Valeur future au 1er janvier n+1 = 100 x (1 + 0,12)1 = 112 Euros. Valeur future au 1er janvier n+2 = 100 x (1 + 0,12)1 x (1 + 0,12)1 = 125,44 Euros. Valeur future au 1er janvier n+3 = 100 x (1 + 0,12)1 x (1 + 0,12)1 x (1 + 0,12)1 = 140,49 Euros Cette dernière ligne peut être simplifiée comme suit en factorisant : (1 + 0,12) : Valeur future au 1er janvier n+3 = 100 x (1 + 0,12)3 = 140,49 Euros (au lieu de 136 Euros selon la formule des intérêts simples, c'est à dire sans capitalisation (anatocisme). Cette notion de valeur actuelle et de valeur future avec calcul d’intérêts composés est à la base de tous les calculs concernant les versements de sommes constantes à des intervalles périodiques réguliers. Allons plus loin avec la formule des intérêts composés…

8 Valeur actuelle Valeur Future : Formule
Si l’on désigne par : Va : la valeur actuelle d’un capital, Vf : sa valeur future, t : le taux nominal périodique d’intérêt pour 1 Euro, n : le nombre de périodes (d'égales durée) de capitalisation des intérêts, Comme nous venons de le voir ci-avant, nous aurons la formule des intérêts composés : Vf = Va ( 1 + t )n  et : Cette dernière formule est le fondement de la démonstration de celle permettant de calculer le remboursement d’un prêt au moyen de versements constants effectués à des intervalles réguliers. En mathématiques financières, on parle dans ce cas de la valeur actuelle (le capital prêté) d’une suite d’annuités constantes (le montant de chacun des remboursements effectués par l’emprunteur) actualisée (faisant l’objet d’un calcul au moyen de la formule des intérêts composés) au taux périodique t. Va= Vf ( 1 + t )n

9 La Formule des Annuités : 1/4
Soit : 𝐶𝑛 = Montant du capital emprunté, 𝑖 = Taux nominal périodique post compté correspondant à la période de remboursement constant du prêt, a = Montant de chacun des remboursements constants, 𝑛 = Nombre de remboursements prévu. a =𝐶𝑛 𝑥 𝑖 1 − 1+𝑖 −𝑛 𝐶𝑛=a 𝑥 1 − 1+𝑖 −𝑛 𝑖 Ou : Cette formule exprime que, au moment où le capital emprunté est mis à disposition de l’emprunteur,  la somme des valeurs actuelles actualisées au taux 𝑖, de tous les remboursements constants pris l’un après l’autre, doit être égale à ce capital emprunté. La feuille qui suit va le démontrer par récurrence…

10 La Formule des Annuités : 2/4
La somme des valeurs actuelles de chacun des remboursements constants s’exprime ainsi : 𝐶𝑛 = 𝑎 (1+𝑖) + 𝑎 1+𝑖 2 +…+ 𝑎 1+𝑖 𝑛 Vérifions que cette formule soit vraie dans le cas d’un remboursement unique (𝑛 = 1) : Selon la formule des intérêts composés que nous venons de démontrer nous pouvons écrire : 𝐶𝑛 = 𝑎 (1+𝑖) = 𝑎+𝑎𝑖 −𝑎 𝑖(1+𝑖) = 𝑎(1+𝑖) −𝑎 𝑖(1+𝑖) = 𝑎(1+𝑖) 𝑖(1+𝑖) - 𝑎 𝑖(1+𝑖) = 𝑎 𝑖 - 𝑎 𝑖(1+𝑖) = 𝑎 ( 1 𝑖 𝑖 x (1+𝑖)-1) Nous venons de démontrer que notre formule est vraie pour n = 1. Prenons maintenant pour hypothèse de récurrence qu’elle soit également vraie pour n et cherchons à vérifier qu’elle soit dans ce cas également vraie pour n + 1. 𝐶1=a 1 − 1+𝑖 −1 𝑖

11 La Formule des Annuités : 3/4
𝐶𝑛+1 = 𝑎 (1+𝑖) + 𝑎 1+𝑖 2 +…+ 𝑎 1+𝑖 𝑛 + + 𝑎 1+𝑖 𝑛+1 𝐶𝑛+1 = 𝐶𝑛 𝑎 1+𝑖 𝑛+1 𝐶𝑛+1 =a 1 − 1+𝑖 −𝑛 𝑖 + 𝑎 1+𝑖 𝑛+1 𝐶𝑛+1 =a 1 − 1+𝑖 −𝑛 𝑖 𝑖 𝑛+1 𝐶𝑛+1 =a 1 − 1+𝑖 −𝑛 𝑖 + 1+𝑖 −(𝑛+1) 𝐶𝑛+1 =a 1 − 1+𝑖 −𝑛 +𝑖 1+𝑖 −(𝑛+1) 𝑖 𝐶𝑛+1 =a 1 − 1+𝑖 −𝑛−1 𝑥 𝑖+1−𝑖 𝑖 𝐶𝑛+1 =a 1 − 1+𝑖 −(𝑛+1) 𝑖 Nous avons ainsi démontré que, si l’on admet la formule des annuités vraie pour n, elle est également vraie pour n + 1. Comme nous avions déjà démontré que la formule est vraie pour n = 1 ; elle est donc vraie pour toutes les valeurs successives de n possibles.

12 Formule des Annuités 4/4 La formule des annuités découlant de la formule permettant de déterminer la valeur actuelle, qui, découlant elle même de la formule des intérêts composés vient donc d’être démontrée par récurrence. Nous noterons enfin que cette formule permet de calculer l'annuité "a" en fonction du Capital emprunté "C" et du taux d'intérêt périodique "i". Elle permet aussi de calculer C en fonction de a et de i, mais ne permet pas de calculer i en fonction de C et de a. Dans la mesure ou la formule des annuités découle de celle des intérêts composés, cette remarque s’impose naturellement. La encore, le seul moyen d’effectuer le calcul de i en fonction de l’annuité et du capital emprunté est, de recourir : soit aux " bonnes vieilles" tables financières ou, désormais aux fonctions des tableurs qui effectuent une série de calculs récursifs selon la "Méthode de Newton". Cette méthode permet d’appliquer à la formule des annuités constantes un taux "i" estimé, puis de le diminuer ou de l’augmenter afin de «cerner» progressivement la valeur du Capital. Quand après un certain nombre de calculs la valeur obtenue s’avère égale à ce capital, le dernier taux "i" estimé sera considéré comme égal au taux recherché en fonction du degré de précision souhaité pour le calcul. Un exemple d'application de la formule des annuités :

13 Prêts à Échéance Constante : exemple
Exercice pratique : Calculer le montant de chaque mensualité d'un emprunt de € sur une durée de 36 mois au taux nominal annuel de 8%. Capital Emprunté : ,00 € Durée en mois : 36 Taux nominal annuel : 8% Remboursement Mensuel : 3 133,64 € La formule de calcul est : 3133,64 = 𝑥 0, − 1+0, −36 Cette formule est utilisée par Excel pour calculer ce remboursement à travers la fonction VPM : =-VPM(8/1200;36;100000;0;0)

14 Avant d'utiliser une calculatrice HP12C
Après vous être accoutumé avec la notation polonaise inversée, pensez toujours à vérifier les éventuels indications en bas de l'écran. "Begin" signifie que les intérêts sont payables en début de période et "DMY" que les dates doivent être saisie "à la française". Pour désactiver il suffit de taper sur "g" puis 7 ou "g" puis 8.

15 Même exemple avec une HP12C
Calculer le montant de chaque mensualité d'un emprunt de € sur une durée de 36 mois au taux nominal annuel de 8%. Vider les registres en appuyant sur Saisir puis pour mémoriser le montant du prêt c’est-à-dire sa "Present Value". Saisir 36 puis pour mémoriser le nombre des mensualités (ou saisir 3 puis ) Saisir 8 puis pour transformer ce taux nominal annuel en taux nominal mensuel. Saisir 0 puis (facultatif) pour indiquer que le prêt sera totalement remboursé et que sa "Future Value" sera donc nulle. Il ne reste plus qu'à appuyer sur pour connaître la mensualité de 3.133,64 € f CLx PV n g n g i FV N.B. : Le résultat apparaît en flux négatif car le montant du prêt était mentionné positif. PMT

16 Variante avec une calculatrice HP12C
Calculer le taux nominal annuel d'un emprunt de € remboursable en 36 mensualités de 3133,64 € Vider les registres en appuyant sur Saisir puis pour mémoriser le montant du prêt c’est-à-dire sa "Present Value". Saisir 36 puis pour mémoriser le nombre des mensualités (ou saisir 3 puis ) Saisir 3133,64 puis pour changer le signe du flux mensuel. Appuyer sur pour indiquer le montant du paiement mensuel. Appuyer sur pour connaître le taux nominal mensuel de 0,6667% puis qui transformera ce taux en taux annuel de 8%. f CLx PV n g n CHS PMT N.B. : Le montant du prêt étant mentionné positif, la mesualité doit être un flux de nature inverse donc négatif. i x

17 Même exemple avec Excel

18 Les Principaux Taux Taux Actuariel Taux Précompté Taux Nominal
Dans ce chapitre, seuls seront mentionnés les taux utilisés en mathématiques financières et ne faisant l'objet d'aucune détermination périodique de gré à gré utilisés et publiés par les acteurs du Marché Interbancaire. Taux Flat Taux Nominal ou Proportionnel Taux Précompté et Taux Postcompté Taux Actuariel ou Équivalent Taux de Période Le Taux Effectif Global (emprunteur professionnel) Le Taux Annuel Effectif Global (emprunteur particulier) Taux Journalier

19 Taux Flat Un taux est dit "flat" lorsqu’il est appliqué à un capital indépendamment de toute notion de temps. La formule appliquée est : i = C x t, dans laquelle : i : est le montant de l’intérêt ou de la commission perçue, C : le capital servant de base à cette perception, t : le taux « flat » utilisé exprimé pour 1 Euro. A titre d'exemple : La commission d'un agent immobilier ; soit : C : Le prix de vente du bien, soit € t : Le taux de commission, soit 5% i : la commission perçue, sera de x 5% = € Quels que soient le coût et la nature des diligences de l'agent immobilier ainsi que le temps et les délais de vente, seul le taux flat sera perçu.

20 Taux Nominal ou Proportionnel (1/3)
Un taux est dit nominal lorsque il est utilisé dans le cadre d’un calcul effectué avec la formule des intérêts simples et que sa valeur n’est pas représentative d’une capitalisation périodique des intérêts produits par le capital. Il existe deux types de taux nominaux : Le Taux Nominal Annuel ; Le Taux Nominal Périodique. Dans la formule : i = C x t x n / 36500, le taux nominal pour 100 Euros de capital est annuel. Toutefois, cette formule peut faire l’objet d’une simplification si l’on calcule la valeur de t x n / 365. Ainsi, pour un taux nominal annuel t de 12% appliqué durant une période n de 182 jours : t x n / 365 a une valeur de 12 x 182 / 365 = 5,9835. Cette valeur 5,9835 est le taux nominal périodique pour 100 Euros.

21 Taux Nominal ou Proportionnel (2/3)
Une ancienne pratique instituée par les Lombards consistait (bien avant que nos outils de calcul modernes ne soient connus) à réduire l’année à 360 jours et le mois à 30 jours. Dans le cas de l’exemple ci-dessus, la formule appliquée aurait été : 12 x 180 / 360 = 6. Cette méthode dite des "parties aliquotes du temps" permettait de constater aisément que ce taux nominal périodique pour six mois était proportionnel au taux nominal annuel dont il représentait la moitié. Cette pratique n’est de nos jours maintenue que pour les seuls crédits faisant l’objet d’un remboursement périodique constant (méthode dite des "périodes normalisées de la norme européenne") : si la périodicité des remboursements est mensuelle, chaque mois, la part que représentent les intérêts dans le remboursement versé pourra être calculée selon la formule : i = C x t dans laquelle C représente le capital restant dû à la fin de la période précédente et t, le taux nominal périodique pour 1 Euro. A titre d’exemple, un prêt au taux nominal annuel de 12% remboursable par mensualités fixes produira chaque mois des intérêts sur le capital restant dû à la fin du mois précédent au taux t pour 1 Euro de 0,01, c’est à dire 12 / 1200. Par contre, un billet remboursable à 45 jours, majoré de ses intérêts au taux nominal annuel postcompté de 15 Euros pour 100 Euros (15%) portera intérêts selon la formule : i = (C x 15 x 45) / (365 x 100). Le taux nominal périodique correspondant à 15% l’an sera dans ce cas : t = (15 x 45) / (365 x 100)  =  0, pour 1 Euro,  soit 1,8493%.

22 Taux Nominal ou Proportionnel (3/3)
En résumé, pour toutes les périodes de calcul d’intérêt dont la durée est différente d’une année, le taux nominal périodique est proportionnel au taux nominal annuel et s’obtient en divisant le taux nominal annuel par le nombre de périodes contenues à l’intérieur d’une année. Nous attirons l’attention sur la nécessité de ne pas confondre le taux nominal périodique avec le taux de période (voir infra les feuilles sur le Taux Effectif Global).

23 Taux Précompté et Postcompté 1/4
D'une manière générale le taux nominal postcompté s’utilise dans le cadre des calculs d’agios selon la méthode des intérêts simples, lorsque les intérêts sont payables à terme échu où avec le remboursement final du capital emprunté. Le taux est dit précompté quand les intérêts sont payables au début de chacune des périodes de remboursement, et/ou lors de la mise à disposition du capital. Il est indispensable de connaître le taux nominal postcompté correspondant à un taux nominal précompté si l’on veut calculer les taux actuariels des agios (ou taux équivalents, annuel ou de périodes) qui en découlent. Pour ce faire, notamment dans le cadre de l’escompte commercial, il faudra pouvoir retrouver ce taux à partir du taux nominal précompté, c’est à dire du taux utilisé lorsque les intérêts sont déduits du capital dès la mise à disposition des fonds à l’emprunteur. Voyons les formules à utiliser pour passer d'un taux à l'autre :

24 Taux Précompté et Postcompté 2/4
En tout état de cause, notons qu’à rendement égal, un taux nominal précompté doit toujours être inférieur à son homologue postcompté. Ce qui est logique puisque le prêteur dispose de la faculté de réutiliser les intérêts dès le départ, sans attendre l’échéance de son prêt. 𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡é= 𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑝𝑟é𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡é 1− 𝑇𝑎𝑢𝑥𝑝𝑟é𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡é 𝑥 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 365×100 Cette formule ne doit pas être confondue avec celle qui suit, et qui permet de retrouver le taux précompté en fonction du postcompté. Le signe moins du dénominateur y devient un signe plus… 𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑝𝑟é𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡é= 𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡é 1+ 𝑇𝑎𝑢𝑥𝑝𝑜𝑠𝑡𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡é 𝑥 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 365×100 Mode de calcul de ces deux formules :

25 Taux Précompté et Postcompté 3/4
Si l’on désigne par : Co : le capital effectivement confié à l’emprunteur, Cn : ce même capital majoré de ses intérêts, Tipe : le taux nominal annuel postcompté ( Intérêts Payables Echéance), Tipa : le taux nominal annuel précompté ( Intérêts Payables d’Avance), N : le nombre de jours portant intérêt. Sachant que nous effectuons nos calculs dans le cadre de la formule des intérêts simples, nous pouvons écrire : Pour les intérêts postcomptés : 𝐶𝑛=𝐶𝑜+𝐶𝑜 𝑇𝑖𝑝𝑒×𝑁 36500 𝐶𝑛=𝐶𝑜 1+ 𝑇𝑖𝑝𝑒×𝑁 36500 𝐶𝑛 𝐶𝑜 = 1+ 𝑇𝑖𝑝𝑒×𝑁 36500 Pour les intérêts précomptés : 𝐶𝑛 𝐶𝑜 = 1 1− 𝑇𝑖𝑝𝑎 𝑥 𝑁 36500 𝐶𝑜=𝐶𝑛−𝐶𝑛 𝑇𝑖𝑝𝑎×𝑁 36500 𝐶𝑜=𝐶𝑛 1− 𝑇𝑖𝑝𝑎×𝑁 36500 Les équations orange et rouge impliquent :

26 Taux Précompté et Postcompté 4/4
CQFD : 𝐶𝑛 𝐶𝑜 = 1 1− 𝑇𝑖𝑝𝑎 𝑥 𝑁 36500 1+ 𝑇𝑖𝑝𝑒×𝑁 = 1 1− 𝑇𝑖𝑝𝑎 𝑥 𝑁 36500 𝐶𝑛 𝐶𝑜 = 1+ 𝑇𝑖𝑝𝑒×𝑁 36500 𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑝𝑟é𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡é= 𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡é 1+ 𝑇𝑎𝑢𝑥𝑝𝑜𝑠𝑡𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡é 𝑥 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 365×100 𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡é= 𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑝𝑟é𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡é 1− 𝑇𝑎𝑢𝑥𝑝𝑟é𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡é 𝑥 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 365×100 L'ignorance volontaire (ou pas ?) de ces règles permet d'afficher un taux effectif global significativement sous évalué par rapport aux dispositions légales en la matière.

27 Taux Actuariel ou Équivalent 1/2
Si nous prenons l'exemple classique d’un taux nominal annuel de 12% et que nous lui faisons produire des intérêts durant deux semestres, tout en appliquant (dans un but de simplification) la réduction des mois à 30 jours et de l’année à 360 jours, selon la méthode des "parties aliquotes du temps" décrite au chapitre taux nominal : à la fin du premier semestre, selon la formule des intérêts simples, un capital de 100 Euros vaudra : 100 € + (100 € x 12% / 2) soit 106 €. Ce capital de 106 € placé sur le second semestre au même taux deviendra : 106 € + (106 € x 12% / 2) = 112,36 € Nous voyons donc clairement qu’il est équivalent de prêter au taux nominal annuel de 12,36% ou au taux nominal périodique semestriel de 6%. Appliquons la formule des intérêts composés à cet exemple : Cn = Co ( 1 + t )n , nous vérifions que : 112,36 € = 100 € ( 1 + 0,06)².

28 Taux Actuariel ou Equivalent 2/2
Nous venons de voir dans cet exemple qu’un prêt de 100 € au taux nominal annuel de 12% avec une capitalisation semestrielle est équivalent à un prêt de 100 € au taux nominal annuel de 12,36% sans aucune capitalisation intermédiaire. Dans notre exemple : Le taux actuariel est de 12,36%, il est équivalent au : Taux nominal périodique semestriel de 6% ainsi qu’au : Taux nominal annuel de 12% payable par semestres échus, et au : Taux de période de 12,36 / 2 soit 6,18%. Deux taux sont dits équivalents si, appliqués à des périodes de capitalisation différentes, ils donnent à un même capital une même valeur après la même durée globale de placement. Soyons attentif à cette première apparition du taux de période. Nous résumerons en disant que l’on parle de taux actuariel à chaque fois que la formule des intérêts composés : Cn = Co ( 1 + t )n  doit être appliquée dans un calcul, et que seul le recours au taux actuariel annuel permet de comparer efficacement des taux entre eux en mettant en évidence leur équivalent sur une année civile de 365 ou 366 jours complète.

29 Le Taux de période Le Taux de Période nous est défini par les articles R313-1 des Code Monétaire et Financier et du Code de la Consommation : "(…) Le taux de période est calculé actuariellement, à partir d'une période unitaire correspondant à la périodicité des versements effectués par l'emprunteur. Il assure, selon la méthode des intérêts composés, l'égalité entre, d'une part, les sommes prêtées et, d'autre part, tous les versements dus par l'emprunteur au titre de ce prêt, en capital, intérêts et frais divers, ces éléments étant, le cas échéant, estimés. Lorsque la périodicité des versements est irrégulière, la période unitaire est celle qui correspond au plus petit intervalle séparant deux versements. Le plus petit intervalle de calcul ne peut cependant être inférieur à un mois. (…)." Quel est l'intérêt de ce taux de période ? :

30 Calcul du Taux de Période : Exemple 1
Soit un prêt de € au taux nominal de 10% l'an remboursable en 8 trimestrialités constantes. La formule Excel "-VPM(10/400;8;25000;0;0)" et la formule " 𝑥 0,025 1 − 1+0,025 −8 " = 3 486,68 €. Ci contre, le tableau d'amortissement du prêt ; chaque trimestre les intérêts échus correspondent au capital restant dû en début de période x 2,5%. Le capital amorti est égal à trimestrialité – intérêts échus. La formule Excel : =TRI(plage des flux financiers;0,01) actualise les flux selon la formule : Cette formule calcule actuariellement le taux de période selon la méthode de Newton évoquée ci-avant. Le résultat est 2,5%... N° Dates Flux financiers Intérêts échus Capital amorti Capital restant dû 01/01/2015 ,00 25 000,00 1 01/04/2015 3 486,68 625,00 2 861,68 22 138,32 2 01/07/2015 553,46 2 933,22 19 205,10 3 01/10/2015 480,13 3 006,55 16 198,55 4 01/01/2016 404,96 3 081,72 13 116,83 5 01/04/2016 327,92 3 158,76 9 958,07 6 01/07/2016 248,95 3 237,73 6 720,34 7 01/10/2016 168,01 3 318,67 3 401,67 8 01/01/2017 85,04 3 401,64 0,03 Va= Vf ( 1 + t )n On constate que le taux de période est égal au taux périodique et donc proportionnel au taux nominal annuel soit 10% /4 = 2,5%

31 Calcul du Taux de Période : Exemple 2
Si le taux de période est égal au taux périodique quel était donc le but du législateur d'introduire le concept apparemment redondant de taux de période ? Il s'agit en fait de prendre en compte le coût des frais imposés à l'emprunteur en vue d'obtenir ce prêt. Imaginons maintenant que la banque qui a consenti ce prêt ait facturé 200 € de frais de dossier. Retranchons ces frais du flux financier initial car non perçus par l'emprunteur… N° Dates Flux financiers Intérêts échus Capital amorti Capital restant dû 01/01/2015 ,00 25 000,00 1 01/04/2015 3 486,68 625,00 2 861,68 22 138,32 2 01/07/2015 553,46 2 933,22 19 205,10 3 01/10/2015 480,13 3 006,55 16 198,55 4 01/01/2016 404,96 3 081,72 13 116,83 5 01/04/2016 327,92 3 158,76 9 958,07 6 01/07/2016 248,95 3 237,73 6 720,34 7 01/10/2016 168,01 3 318,67 3 401,67 8 01/01/2017 85,04 3 401,64 0,03 Les trimestrialités à échoir et le tableau d'amortissement restent bien sur inchangés. Par contre… La formule Excel : =TRI(plage des flux financiers;0,01) affiche désormais un taux de période de 2,6887% soit un taux périodique majoré de 0,1887. Nous sommes maintenant à même de définir les concepts de Taux Effectif Global "TEG" et de Taux Annuel Effectif Global "TAEG". Pour ce faire penchons nous sur les méandres des textes de loi…

32 Le TEG : emprunteurs pour leur commerce
L'article R313-1 du Code Monétaire et Financier (paragraphe II) dispose : "Pour les opérations de crédit destinées à financer les besoins d'une activité professionnelle ou destinées à des personnes morales de droit public ainsi que pour celles mentionnées à l'article L , le taux effectif global est un taux annuel, proportionnel au taux de période, à terme échu et exprimé pour cent unités monétaires." Dans le cadre de notre exemple 2 précédent, avec un taux de période de 2,6887% trimestriel , cette disposition implique que : le Taux Effectif Global est égal à : 2,6887% x 4 = 10,7548% (4 périodes dans l'année). Dans le cadre de l'exemple 1 pour lequel, outre les intérêts, il n'y avait pas de frais laissés à la charge de l'emprunteur, le taux de période était de 2,5% d'où un TEG de 2,5% x 4 = 10%. Pour les commerçants, en l'absence de frais le TEG est toujours égal au taux nominal post-compté !

33 Le TAEG : emprunteurs à titre personnel
L'article R313-1 du Code Monétaire et Financier (paragraphe III) dispose : "Pour toutes les opérations de crédit autres que celles mentionnées au II, le taux effectif global est dénommé " taux annuel effectif global " et calculé à terme échu, exprimé pour cent unités monétaires, selon la méthode d'équivalence définie par la formule figurant en annexe au présent article. La durée de la période doit être expressément communiquée à l'emprunteur." Dans le cadre de notre exemple 2 précédent, avec un taux de période de 2,6887% trimestriel , cette disposition implique que : le Taux Annuel Effectif Global est égal à : (1 + 0,026887%)4 – 1 = 11,1963%. L'énigme non résolue est de comprendre pourquoi les emprunteurs agissant es-qualité de commerçants ne bénéficient pas de la même information que les emprunteurs à titre personnel ??

34 Le Taux Journalier 25150 𝑥 10% 365 = 6,89 €
Le "taux journalier" est le taux de période utilisé dans le cadre de la facturation des découverts. L'article R313-2 du Code Monétaire et Financier dispose (conformément à l'usage historique) que les intérêts dus au titre d'un découvert en compte se calculent à partir des nombres débiteurs enregistrés entre deux arrêtés de compte. L'exemple ci-dessous explicite le mode d'édition de "l'échelle des nombres"… Date Valeur Libellé Débit Crédit Solde Nombre de jours Nombres débiteurs 31/12/2014 Solde initial -2 500,00 5 12 500 05/01/2015 Remise chèque 3 000,00 500,00 4 09/01/2015 Virement émis 1 250,00 -750,00 8 6 000 17/01/2015 Prélèvement 550,00 -1 300,00 3 3 900 20/01/2015 Virement reçu 1 800,00 24/01/2015 Échéance prêt 700,00 -200,00 800 28/01/2015 450,00 -650,00 1 950 31/01/2015 950,00 300,00 Total des nombres débiteurs du mois de janvier : 25 150 Si le taux conventionnel du découvert est de 10% l'an ; les intérêts facturés pour le mois de janvier se calculent selon la formule des intérêts simples : 25150 𝑥 10% 365 = 6,89 €

35 Du Taux Journalier aux TEG et TAEG
Tj = 6, =0,000274 Le taux journalier (de période) correspondant est de : Nous allons retrouver ici les mêmes bizarreries des dispositions légales que pour les emprunts amortissables… Si le bénéficiaire du découvert est un professionnel il "bénéficie" d'un Taux Effectif Global calculé selon la méthode proportionnelle : 𝑇𝐸𝐺=0, 𝑥 365=10% Si le bénéficiaire du découvert est un particulier, il "bénéficie" d'un Taux Annuel Effectif Global calculé selon la méthode équivalente : 𝑇𝐴𝐸𝐺= 1+0, −1= 10,515% Dans le cadre des calculs du taux journalier, il y a lieu de majorer les intérêts facturés par la banque des frais liés au découvert perçus.

36 Compléments Les Effets pervers du taux flat
Le TEG sur les escomptes commerciaux et financiers Les différences des calculs sur le Marché Monétaire

37 Les effets pervers du Taux Flat : 1/2
Attention à l’incidence importante que peuvent avoir les perceptions basées sur un taux flat dans les opérations de crédit. A titre d’exemple, une commission "flat" de 5% qui serait versée par un emprunteur à un intermédiaire qui lui aurait favorisé l’obtention d’un prêt peut s’analyser comme suit, à travers l’exemple suivant : Montant du prêt : Euros, Durée : 3 ans, Échéances : mensuelles, Nombre d’échéances : 36, Taux nominal annuel : 12%, Montant de chaque échéance : 3.321,43 Euros, Commission flat : 5% du capital payable à la mise à disposition du prêt soit : €. Construisons le tableau d'amortissement de ce prêt avec notre tableur…

38 Les effets pervers du Taux Flat : 2/2
Calculons le taux de période selon la méthode équivalente de la formule "TRI" d'Excel : Nous obtenons : 0,9999% Le Taux Annuel Effectif Global (TAEG) est : 1+0, −1= 12,6825% Dans la pratique, il faut tenir compte du fait que l’emprunteur ne peut bénéficier que de € sur les € empruntés, puisqu’il paye une commission au taux flat de 5% le jour de la mise à disposition des fonds. Dans notre tableau Excel remplaçons € par – €. La cellule contenant la formule "TRI" prend la valeur du nouveau taux de période soit : 1,30043%. Le Taux Annuel Effectif Global (TAEG) devient : 1+1, −1= 16,7711%. Soit un écart de plus de 4 points. L’incidence des taux flat est donc loin d’être négligeable dans le calcul du TEG d’un prêt et peut de manière insidieuse faire franchir les limites du taux de l’usure à un prêt qui paraissait très en dessous à priori.

39 TEG et escomptes commerciaux ou financiers
L'article R du Code Monétaire et Financier dispose comme suit : "Lorsqu'il s'agit d'une opération d'escompte, le taux de période s'entend du rapport qui s'établit entre les intérêts et frais divers dus par l'emprunteur au titre de l'escompte et le montant de l'effet escompté. La période est égale au nombre de jours de calendrier, de la date de négociation exclue jusqu'à la date réelle d'échéance de l'effet incluse ; cette période ne peut être retenue pour une durée inférieure à dix jours." Prenons l'exemple d'un effet commercial ("une traite") de € venant à échéance le 2 septembre 2015 et escomptée le 20 juillet 2015 pour un montant net de ,34 €. La banque a escompté l'effet au taux nominal de 4% l'an et pris 2 jours de valeur. En conséquence la formule des intérêts simples a été utilisée sur 46 jours alors que le taux de période sera calculé sur 44 jours. Les agios sont de : €−15919,34 €=80,66 € calculés comme suit : 80,66 €= 𝑥 4 𝑥 Le taux journalier est égal à : 80,66 𝑥 ,34 𝑥 44 =0, % Le taux effectif global est égal à : 𝟎,𝟎𝟏𝟏𝟓𝟏𝟓𝟒𝟒 𝒙 𝟑𝟔𝟓=𝟒,𝟐𝟎𝟑𝟏%

40 Les différences des calculs sur le Marché Monétaire
Contrairement au marché du système bancaire dont nous venons d'aborder les méthodes de calcul : Il n'y a pas de prêts amortissables par échéances constantes. L'écart entre les dates utilisées pour le calcul n'est donc jamais exprimé en années ou en fractions d'années. (Dans le système bancaire, pour ce type de prêts à la clientèle, une année compte 365 jours, ou, pour les années bissextiles, 366 jours, 52 semaines ou 12 mois normalisés. Un mois normalisé compte 30, jours (c'est-à-dire 365/12), que l'année soit bissextile ou non). Les calculs se font toujours en nombre de jours exact mais, selon la méthode historique des lombards, sur la base d'une année de 360 jours) Par exemple : Un capital C = € Emprunté au taux nominal i = 10 % Sur une durée n = 50 jours La somme reçue au terme des 50 jours est égale au capital C ( €) majoré des intérêts soit en intérêts : ( x 10 x 50) / = ,89 € soit ,89 €. Le choix entre pré-compté et post-compté se fait au gré de l’émetteur de titres de créances négociables et de son investisseur. L'option pour l’une ou l’autre des rémunérations se fera en fonction des considérations de gestion ou de fiscalité des parties.

41 Les Taux Usuraires Pour aller plus loin :
La définition du taux de l'usure est fixée par l'article L du code de la consommation : "Constitue un prêt usuraire tout prêt conventionnel consenti à un taux effectif global qui excède, au moment où il est consenti, de plus du tiers, le taux effectif moyen pratiqué au cours du trimestre précédent par les établissements de crédit et les sociétés de financement pour des opérations de même nature comportant des risques analogues, telles que définies par l'autorité administrative après avis du Comité consultatif du secteur financier. Les catégories d'opérations pour les prêts aux particuliers n'entrant pas dans le champ d'application des articles L à L sont définies à raison du montant des prêts. Les crédits accordés à l'occasion de ventes à tempérament sont, pour l'application de la présente section, assimilés à des prêts conventionnels et considérés comme usuraires dans les mêmes conditions que les prêts d'argent ayant le même objet. Les conditions de calcul et de publicité des taux effectifs moyens visés au premier alinéa sont fixées par la voie réglementaire." Pour aller plus loin :

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