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2. La série de Fourier trigonométrique et la transformée de Fourier
ELG3575 2. La série de Fourier trigonométrique et la transformée de Fourier
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Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe
Supposons que le signal x(t) est un signal réel. C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0. Le conjugué complexe du coefficient de Fourier Xn* est donné par :
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La série de Fourier trigonométrique
Si le signal x(t) est réel, la partie réelle du coefficient Xn est donnée par :
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La série de Fourier trigonométrique 2
Donc la partie imaginaire du coefficient Xn quand x(t) est réel est : Nous pouvons exprimer la série de Fourier exponentielle complexe comme :
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La série de Fourier trigonométrique 3
Si x(t) est réel, X-n = Xn*,
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Exemple donc X0 = 0, Re{Xn} = 0 et Im{Xn} = -2A/pn pour les valeurs
impaires de n. Donc bn = 4A/pn pour les valeur impaires de n.
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Exemple suite La sommation représente les N
premières harmoniques de x(t).
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Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique
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Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique: x(t) est paire
Supposons que x(t) est une fonction paire. C'est-à-dire que x(t) = x(-t). Remplaçons –t par u et dt par –du dans le premier intégral de l’expression
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La série de Fourier trigonométrique d’une fonction paire
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Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique: x(t) est impaire
Nous pouvons démontrer que si x(t) est une fonction impaire (x(t) = -x(-t)), a0 et an sont 0.
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Composantes paire et impaire
Si x(t) est réel et périodique,
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Composantes paire et impaire
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Exemple Pour le signal x(t) démontré ci-dessus, trouvez sa série
de Fourier trigonométrique.
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Solution La période de ce signal est T = 4, donc la fréquence fondamentale fo = ¼. La série de Fourier trigonométrique est donc :
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Solution
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Solution
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Introduction à la transformée de Fourier
Prenons un signal périodique Alors Si, x(t) est apériodique, la « période » de x(t) est T où T → ∞ et f0 → 0. Donc 1/T devient df, nfo devient f et la sommation devient une intégrale.
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La transformée de Fourier
La fonction X(f) est la transformée de Fourier de x(t). X(f) décrit le contenu spectral de x(t). X(f) = F{x(t)} x(t) = F-1{X(f)} =
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Exemple Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = P(t). Solution
La transformée de x(t) est :
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Exemple 2 Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = L(t). Solution
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Exemple 3 Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = d(t). Solution
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Les propriétés de la transformée de Fourier
Linéarité La transformée de Fourier est une fonction linéaire. C'est-à-dire que si X1(f) =F{x1(t)} et X2(f) = F{x2(t)}, pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), X3(f) = F{x3(t)}=aX1(f) + bX2(f). Décalage temporel Supposons que la transformée de Fourier de x1(t) est X1(f). La transformée de Fourier de x2(t) = x1(t-to) est Rééchelonnement temporel Si F{x(t)} = X(f), F{x(at)} = (1/|a|)X(f/a). Dualité temps-fréquence Si F{x(t)} = X(f), F{X(t)} = x(-f).
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Les propriétés de la transformée de Fourier 2
Décalage fréquentiel Si X(f) = F-1{x(t)}, X(f-fo) = F-1{x(t) } Convolution en temps Si z(t) = x(t)*y(t), Z(f) = X(f)Y(f). Multiplication en temps Pour z(t) = x(t)y(t), sa transformée de Fourier Z(f) = X(f)*Y(f). Dérivation temporelle F{ } = 2pfX(f) Intégration temporelle F
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Les propriétés de la transformée de Fourier 3
Transformée du conjugué complexe F{x*(t)} = X*(-f)
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Des exemples Trouvez la transformée de Fourier du signal x(t) = 2d(t-3) + 3P(2t). Solution F{d(t-3)} = 1×e-j6pf (propriété 2) F{P(2t)} = (1/2)sinc(f/2) (propriété 3) F{2d(t-3) + 3P(2t)} = 2e-j6pf + (3/2)sinc(f/2) (propriété 1) On sait que L(t) = P(t)*P(t). Trouvez F{L(t)} F{L(t)} = sinc(f) × sinc(f) = sinc2(f) (propriété 6)
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Des exemples Trouvez F{cos(2pfot)} et F{sin(2pfot)} Solution
F{1}=d(f) (propriété 4) F{1× } = d(f-fo) et F{1× } = d(f+fo) (propriété 5) Alors F{cos(2pfot)} = (1/2)d(f-fo) +(1/2)d(f+fo) (propriété 1) Aussi on peut démontrer que F{sin(2pfot)} = (1/2j)d(f-fo) - (1/2j)d(f+fo)
