GEOMETRIE VECTORIELLE

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1 GEOMETRIE VECTORIELLE
INTRODUCTION CINEMATIQUE 1/14 GEOMETRIE VECTORIELLE 4) Système de référence 5) Solide indéformable 6) Paramétrage d’un point Sera vu en cours 7) Angles d’Euler 8) Exemples

2 On parle d’espace-temps, de référentiel, d’observateur ou de repère.
4) Système de référence 2/14 En mécanique on se place dans un système constitué du temps et d’un espace physique : le temps (noté t) permet de repérer tout instant par sa date. l’espace physique est associé à un repère O0 Ce repère est défini par : un point d’origine (centre du repère) une base orthonormée directe On parle d’espace-temps, de référentiel, d’observateur ou de repère. Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

3 5) Solide indéformable 3/14 On considèrera toujours que les pièces mécaniques étudiées sont toutes indéformables. Un solide est dit indéformable si quels que soient deux points A et B de ce solide La distance AB reste constante au cours du mouvement ( ) A B Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

4 6) Paramétrage d’un point dans un repère
4/14 Pour définir la position d’un solide (S) dans un repère il faut d’abord commencer par lier à ce solide un repère et ensuite définir la position de RS par rapport à R : définir la position de l’origine OS définir l’orientation de la base Nota : comme le solide est supposé indéformable il y a équivalence entre le solide et son repère associé. On « mélangera » un peu à tort et à travers dans nos sujets la base, le repère et la pièce associée… Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

5 coordonnées cartésiennes
Paramétrage dans le plan coordonnées cartésiennes 5/14 Le problème se situe dans le plan est un repère orthonormé direct de ce plan. La position d’un point M est définie par ses deux projections orthogonales sur chacun des axes. O M x y OM Vecteur position On a deux paramètres (deux distances) x et y pour définir la position du point M. = Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

6 Le problème se situe dans le plan
Paramétrage dans le plan coordonnées polaires 6/14 Le problème se situe dans le plan sont deux repères orthonormés directs. et La position d’un point M est définie par le rayon r et l’angle  O M x y  r OM Vecteur position On a toujours deux paramètres : une distance (rayon r) et un angle. = Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

7 Coordonnées cartésiennes (dans l’espace) :
7/14 est un repère orthonormé direct. La position d’un point M est définie par ses trois projections orthogonales sur chacun des axes. O M y z x OM Vecteur position On a trois paramètres (trois distances) x, y et z pour définir la position du point M. Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

8 Coordonnées cylindriques :
8/14 est un repère orthonormé direct. La position d’un point M est définie par le rayon r l’angle  et la hauteur z Vecteur position O M z  r OM = On a toujours trois paramètres : deux distances (rayon r et hauteur z) et un angle. Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

9 Coordonnées sphériques (dans l’espace):
9/14 est un repère orthonormé direct. La position d’un point M est définie par le rayon  l’angle  et l’angle  Vecteur position O M z    OM Dans la base On a toujours trois paramètres mais cette fois-ci : une distance (rayon r) et deux angles. Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

10 Coordonnées sphériques (dans l’espace):
10/14 est un repère orthonormé direct. La position d’un point M est définie par le rayon  l’angle  et l’angle  O M z    OM Dans la base = Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

11 = Dans la base    M O z Système de référence Solide indéformable
11/14 Dans la base = Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

12 7) Angles d’Euler Sera vu en cours Système de référence
12/14 Sera vu en cours Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

13 8) Exemples Ecrire les vecteurs de la base dans la base
13/14 Ecrire les vecteurs de la base dans la base  Ecrire le vecteur dans la base Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

14 Ce qu’il faut avoir retenu
14/14 Ce qu’il faut avoir retenu (minimum « vital »…) Ce qu’est une base, ce qu’est un repère et le fait qu’on utilisera indifféremment ces deux références (tout comme le numéro de la pièce associée). Nos solides sont supposés indéformables. Connaître le principe des coordonnées cartésiennes dans le plan et l’espace. Connaître le principe des coordonnées polaires dans le plan. Connaître le principe des coordonnées cylindriques dans l’espace. Connaître le principe des coordonnées sphériques dans l’espace. Savoir écrire les vecteurs d’une base dans une autre (projection vectorielle). Savoir écrire un vecteur quelconque dans une base (projection vectorielle). Utilisation du produit scalaire.