5. les rendements d’echelle:

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1 5. les rendements d’echelle:
La dimension des entreprises est très variable. Il peut s’agir d’un petit atelier avec quelques ouvriers ou d’une grande fabrique d’automobiles. Le passage des nombreux petits constructeurs d’automobiles qui existaient au début de ce siècle aux quelques grandes usines d’aujourd’hui est lié à des décisions que ces derniers ont pu prendre au profit de leurs entreprise.

2 il s’agit de décider non seulement des quantités de travail et de capital à utiliser pour un niveau donné de production, mais également de décider dans le long terme de combien et comment augmenter cette production et donc les quantités a utiliser de facteurs de production.

3 Les rendements d’échelle indiquent donc, comment la production évolue quand les quantités des deux facteurs de production sont augmentées dans les mêmes proportions. Autrement dit: ils permettent de savoir comment se comporte la production lorsqu’on multiplie chacun des facteurs de production par un même nombre.

4 Remarque: R.E est une notion de long terme Lorsqu’on fait varier un seul facteur pour voir son effet sur Q, ( l’autre maintenu constant), la on utilise la notion de rendement ou productivité marginale qui est une notion de court terme.

5 5.1. la nature des R.E: Considérons un producteur qui décide à un moment donné de modifier dans la même proportion les quantités de ses facteurs de production. Quelle va être la quantité produite dans ces nouvelles conditions ?

6 Pour déterminer la nature des rendements d’échelle : croissante, constante ou décroissante, il suffit de comparer l’évolution de l’ensemble des inputs et du niveau de l’output. Soit Q l’output obtenu par la combinaison des deux inputs K et L. supposons une augmentation de ces derniers dans une même proportion λ. on a 03 situations:

7 1ere situation: R.E croissant
Les rendements d’échelle sont dits croissants, lorsque : f(λK, λL) > λf( K , L ) avec λ > 1 La production varie de façon plus importante que la variation des facteurs de production utilisés

8 Autrement dit : si la technologie de la firme fait l’objet de rendements d’échelle croissants, doubler le niveau d’output conduit le producteur à une augmentation d’emploi de ses inputs dans une proportion inférieure au double.

9 « le producteur a réalisé une économie d’échelle»
Résultat: Le cout total va augmenter dans une proportion inférieure également au double et le cout unitaire (moyen) va être diminué. On dit dans ce cas que: « le producteur a réalisé une économie d’échelle»

10 f(λK, λL) = λf( K , L ) avec λ > 1
2eme situation : rendements d’échelle constants Les rendements d'échelle sont dits constants lorsque : f(λK, λL) = λf( K , L ) avec λ > 1 La production varie dans la même proportion que celle des facteurs de production utilisés.

11 Si la technologie qu’utilise la firme fait l’objet de rendements d’échelle constants, le producteur ne peut doubler la production qu’en doublant le niveau d’emploi de tous les inputs. Résultat: Le cout total va donc doubler et par conséquent le cout unitaire restera inchangé.

12 Les rendements d'échelle sont dit décroissants lorsque :
3eme situation : rendements d’échelle décroissants Les rendements d'échelle sont dit décroissants lorsque : f(λK, λL) < λf( K , L ) avec λ > 1 La production varie de façon moins importante que la variation des facteurs de production utilisés.

13 résultat: plus on produit et plus il est coûteux de produire une unité supplémentaire (cout marginal croissant); Autrement dit: Il faut plus de facteurs pour produire une unité. le cout moyen est croissant. On dit ds ce cas qu’il ya déséconomie d’échelle (doubler la production fait plus que doubler les couts)

14 les 03 types de RE:

15 Exemple 1 : Soit la fonction de production suivante : F (K,L) = KL + K ² + L ² . déterminer les rendements d’échelle. Que se passe-t-il si on double les facteurs de production ? Corrigé :

16 Déterminer les RE: Il faut vérifier la relation (supériorité, infériorité ou égalité) qui existe entre f( λK , λL) et λ .f(K , L) : Si f( λK , λL) > λ .f(K , L) : R.E croissants ; Si f( λK , λL) < λ .f(K , L) : R.E décroissant ; Si f( λK , λL) = λ .f(K , L) : R.E constants.

17 f( λK , λL) = λK. λL + λ2 K ² + λ2 L ² = λ2 (KL + K ² + L ²) = λ2
f( λK , λL) = λK. λL + λ2 K ² + λ2 L ² = λ2 (KL + K ² + L ²) = λ2. f (K,L) b. λ .f(K , L) = λKL + λK ² + λL ²  = λ . (KL + K ² + L ² ) = λ . f (K,L) a > b  : donc les rendements d’échelle sont croissants. 

18 si on double les facteurs de production:
a. F( 2K , 2L) = 2K . 2L + 22 K L2 = 4 KL + 4 K2 + 4 L2 = 4 (KL + K ² + L ² )  = 4 . f ( K , L ). 2 (K , L) = 2( KL + K ² + L ²) = 2 KL + 2K ² + 2L ² = 2 . (K , L) a > b : les rendements d’échelle sont croissants.

19 Remarque importante : « La nature des rendements d’échelle peut être déterminée par le degré d’homogénéité de la fonction de production »

20 t : nombre réel positif constant K: le coefficient d’homogénéité
5.2. Les fonctions de production homogènes : La fonction de production Q = f (K , L) est dite homogène de degré k, si pour tout t constant et positif, elle satisfait la relation : f ( t K , t L) = tk f ( K , L) Ou: t : nombre réel positif constant K: le coefficient d’homogénéité

21 k peut prendre les valeurs suivantes:
Si k = 1  la fonction de production est homogène de degré 1 et on dit que les rendements d’échelle sont constants ; Si k > 1 en doublant les facteurs, la production fait plus que doublée, les rendements d’échelle sont croissants dans ce cas et la fonction de production est homogène d’un degré supérieur à un ; Si k < 1 la production varie moins proportionnellement que la variation des facteurs de production et on dit que les rendements d’échelle sont décroissants ; Si k = 0 la fonction de production est homogène de degré 0.

22 Exemple 1 : Soit : Q = 3K2 + 2KL + L2 Corrigé :
On suppose que Q augmente t fois : f( tK , tL) = 3 t2 k t K. tL + t2 L2 = 3 t2 k t2 KL + t2 L2 = t2( 3 k KL + L2) F(tK , tL) = t2 . Q

23 La fonction de production Q est donc homogène de degré 2 et les rendements d’échelle sont croissants ( k > 1). Explication économique : Si on suppose que K et L seront augmentés deux et trois fois, on veut connaitre l’effet de cette augmentation sur la production : Si t = 2 : f( 2K , 2L) = 22. Q = 4 . Q, ce qui signifie que la production augmentera quatre fois si on augmente les quantités de production deux fois ;

24 Si t = 3 : f( 3K , 3L) = 32 . Q = 9 . Q, ce qui signifie que si on augmente la quantité utilisée de facteurs trois fois, la production augmente de neuf fois. Vu que l’augmentation de la production est plus importante que celle des facteurs utilisés dans la réalisation de cette production, on dit que la production passe par la phase de rendements d’échelle croissants.

25 Exemple 2 : Soit : Q = . Il est demandé de vérifier le degré d’homogénéité de cette fonction. Corrigé : f(tK , tL) = = =

26 = = t = f(tK , tL) = t . Q k = 1, on peut dire que cette fonction est homogène de degré 1. économiquement : ça signifie que quelque soit le taux d’augmentation de la quantité utilisée de facteurs de production, la production augmentera dans les mêmes proportions ( si on augmente K et L une fois, la quantité produite augmentera d’une fois, si on les augmente 2 fois, la quantité produite augmente 2 fois….).

27 Si Q est homogène, quelle est son degré d’homogénéité ? Corrigé :
La production dans cette situation passe par la phase de rendements constants. Exemple 3 : Soit : Q = Si Q est homogène, quelle est son degré d’homogénéité ? Corrigé :

28 f(t K , t L) = = = t0. f(t K , t L) = t0
f(t K , t L) = = = t0 . f(t K , t L) = t0 . Q k = 0 signifie que la fonction de production est homogène de degré zéro. La production reste constante quelque soit les variations de K et L. la production est en phase de rendements d’échelle décroissant.

29 on déduit 2 propriétés important dans l’analyse économique:
Les propriétés de la fonction homogène : on déduit 2 propriétés important dans l’analyse économique: a. Les dérivées partielles d’une fonction homogène de degré k par rapport à l’une des variables sont des fonctions de production homogènes de degré k -1 :

30 1. Le degré d’homogénéité de cette fonction :
exemple: soit une fonction de production : f (K , L) = Q = K2 + 4KL +3L2. 1. Le degré d’homogénéité de cette fonction : f ( t K , t L) = tk f ( K , L) f(tK , tL) = t2K2 + 4 tK.tL +3 t2L2 = t2K2 + 4 t2 K.L +3 t2L2 = t2(K2 + 4KL +3L2)

31 2. Le calcul des dérivées partielles par rapport à K et L :
f(tK , tL) = t2 . Q . Cette fonction de production est homogène de degré 2 (les rendements d’échelle sont croissants). 2. Le calcul des dérivées partielles par rapport à K et L : f’K (K , L) = 2K + 4L ; f’L(K , L) = 4K + 6L

32 f’K (tK , tL) = 2tK + 4tL = t (2K + 4L) ⇒ f’K (tK , tL) = t . Q
3. Le degré d’homogénéité des dérivées partielles : f’K (tK , tL) = 2tK + 4tL = t (2K + 4L) ⇒ f’K (tK , tL) = t . Q la dérivée partielle par rapport au facteur K est homogène de degré 1 (k = 2 – 1) . f’L(K , L) = 4tK + 6tL = t( 4K + 6L) ⇒ f’L (tK , tL) = t . Q la dérivée partielle par rapport au facteur L est homogène de degré 1 : (2 – 1).

33 Les dérivées partielles sont donc des fonctions homogènes de degré k -1, c.a.dire de degré 1 dans notre exemple. remarque: Dans le cas ou la fonction de production est homogène de degré 1, ses dérivées partielles sont des fonctions de production de degré zéro 

34 Les dérivées partielles représentent les productivités marginales des deux facteurs K et L, cela implique que les productivités marginales des deux facteurs resteront constants lorsque les facteurs de production varient dans les mêmes proportions. f’(tK , tL) = f’(t0K , t0L) = t0.f’( K , L) f’K ( K, L) = f’ K( t0K , t0L) = t0 f’K( tK , tL) f’L ( K, L) = f’ L( t0K , t0L) = t0 f’L( tK , tL)

35 Le rapport des productivités marginales des facteurs ne change pas puisque les facteurs de production varient dans les mêmes proportions, le TMST restera donc constant. TMST = = -

36 b. L’identité d’EULER: la multiplication de la fonction de production par le coefficient d’homogénéité k est identique à la somme des dérivées partielles par rapport aux facteurs de production multiplié chacune par la quantité du facteur en question : k. f (K , L) K . f’K(K ,L) + L . f’L (K ,L)

37 ou : k. f (K , L) : fonction homogène de degré k K. f’K(K ,L) et L
ou : k. f (K , L) : fonction homogène de degré k K . f’K(K ,L) et L . f’L (K ,L) : les dérivés partielles par rapport aux facteurs K et L.

38 Exemple : Soit la fonction de production de degré 2 : f (K , L) = K2 + 4KL +3L2. Il est demandé de vérifier l’identité d’EULER. corrigé:

39 Le calcul des dérivées partielles :
f’K(K ,L) = 2K + 4L f’L(K ,L) = 4K + 6L k . f’K (K ,L) + L . f’L (K ,L)  = K(2K + 4L) + L(4K + 6L) = 2K2 + 4KL + 4KL + 6L2 = 2K2 + 8 KL + 6L2 = 2(2K2 + 4KL + 3L2) K . f’K(K ,L) + L . f’L (K ,L)  = 2. f ( K , L)

40 Pour k = 2 ( la fonction de production est homogène de degré deux), la somme des dérivées partielles multipliée par le facteur correspondant est égale à la fonction de production multipliée par 2. Remarque : En cas ou la fonction de production est homogène de degré 1 ( k = 1), l’identité d’EULER sera égale à : K . f’K(K ,L) + L . f’L (K ,L) = f(K , L) = Q

41 Dans ce cas, le volume de production est égal à la somme des produits des productivités des facteurs par la quantité de facteurs correspondant. Autrement dit: en cas ou le prix d’une unité de facteur est égal à la productivité, le cout des facteurs sera égal à la valeur de la production ; le niveau de production réalisé ne permettra de payer que le cout des facteurs. Ceci veut dire également que le cout de la production sera supérieur à la valeur de la production en cas ou la fonction de production est homogène à un degré supérieur à 1 : ( k > 1) : donc une perte. On peut parler de profits également en cas ou le degré d’homogénéité est inférieur à 1 (k < 1).

42 ∆ λ % = : la variation relative de tous
l’élasticité d’échelle: L’élasticité d’échelle mesure la sensibilité de la production aux variations des quantités utilisées de facteurs . Elle se calcule comme suit : e λ = ∆ λ % = : la variation relative de tous les facteurs de production en %

43 ∆ Q % = : la variation relative de la production en %.
Exemple : Si les facteurs augmentent simultanément de 2% et que la production augmente de 1%, l’élasticité par rapport à l’échelle sera égale à :

44 e λ = = 0,5 % Avec la notation différentielle, l’élasticité d’échelle sera égale à : e λ = . L’élasticité d’échelle évalue le degré de sensibilité de la production aux variations des quantités utilisées d’inputs, sa valeur permet donc d’étudier les rendements à l’échelle :

45 Si : e λ = 1 ⇒ les rendements d’échelle sont constants
e λ > ⇒ les rendements d’échelle sont croissants e λ < ⇒ les rendements d’échelle sont décroissants

46 dQ = PmK .dK + PmL . dL qu’on peut écrire
La relation entre l’élasticité d’échelle et les élasticités partielles : Soit: Q = f( K , L) On sait que: eK = ; eL = dQ = PmK .dK + PmL . dL qu’on peut écrire

47 dQ = En multipliant dK par: et dL par : ou: représente la variation du facteur capital représente la variation du facteur travail

48 On sait que: ∆ ( variation des quantités K et L)
Pour réaliser un rendement d’échelle, on doit augmenter les deux facteurs dans les mêmes proportions (si On augmente de 10%, il faut que soit varié de 10% ). On sait que: ∆ ( variation des quantités K et L) Donc: = =

49 On remplace dans (1) : dQ = ⇔ dQ =
On remplace dans (1) : dQ = ⇔ dQ = . K + On divise les 2 cotés sur 2: = )

50 on tire la valeur de: ) = qu’on écrit également: = + eK = = ; eL = = ; eλ = eλ = eK + eL