CRITÈRE DE CONVERGENCE

Présentation au sujet: "CRITÈRE DE CONVERGENCE"— Transcription de la présentation:

1 CRITÈRE DE CONVERGENCE
cours 26

2 Au dernier cours, nous avons vu
Somme infinie Convergence et divergence de série Série harmonique Série arithmétique Série géométrique

3 Critère du terme général
Critère de l’intégrale Série de Riemann Critère de d’Alembert Critère de comparaison à l’aide d’une limite Critère du polynôme

4 Au dernier cours, on a vu que pour évaluer une série
il faut trouver une expression pour sa somme partielle. Or, cette tâche est plutôt difficile à faire. On va donc utiliser plusieurs critères nous permettant, sous certaines conditions, de déterminer la convergence ou divergence d’une série.

5 Théorème: (Critère du terme général) Soit une série
Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge. diverge converge

6 La série harmonique diverge
Exemple: Donc la série diverge. Remarque: L’inverse du théorème est faux. converge La série harmonique diverge mais

7 Faites les exercices suivants
p.353 # 2

8 et la suite des éléments sommés
Considérons une série et la suite des éléments sommés avec et On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur

9 avec et Donc si diverge, alors diverge et si converge, alors converge

10 En fait, on peut avoir une idée approximative de la valeur de la série lorsqu’elle converge

11 Exemple: Donc converge

12 Faites les exercices suivants
p. 353 #3

13 est une série de Riemann ou une série-p
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série. Une série de la forme est une série de Riemann ou une série-p c’est la série harmonique et elle diverge Si diverge par le critère du terme général Si

14 Donc la série diverge par le critère du terme général.
si Donc la série diverge par le critère du terme général. On peut donc appliquer le critère de l’intégrale

15 et l’intégrale converge, donc la série aussi
Sinon, ça diverge Donc converge

16 Faites les exercices suivants
p. 353 # 4

17 (Critère de d’Alembert)
Théorème: (Critère de d’Alembert) et posons converge diverge Si ??? Si «Preuve»:

18 somme finie donc converge
«Preuve»: Si somme finie donc converge Série géométrique converge si

19 Faites les exercices suivants
p. 353 # 7

20 (Critère de comparaison à l’aide d’une limite)
Théorème: (Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si converge converge alors «Preuve»:

21 Exemple: mais c’est la série harmonique qui diverge donc diverge.

22 Corolaire: Preuve: (Critère du polynôme) un polynôme de degré
posons Si converge Si diverge Preuve: Il suffit de faire un comparaison à l’aide d’une limite avec la série de Riemann

23 Faites les exercices suivants
p.353 # 6 et 10

24 Aujourd’hui, nous avons vu
Critère du terme général Critère de l’intégrale Série de Riemann Critère de d’Alembert Critère de comparaison à l’aide d’une limite Critère du polynôme

25 Devoir: p. 353, # 1 à 7, 10 et 11. sauf 11 c)