Exercice 2 : Soit le tétraèdre SABC dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux de côté a, et de base ABC horizontale. 1°) Déterminez la hauteur.

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1 Exercice 2 : Soit le tétraèdre SABC dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux de côté a, et de base ABC horizontale. 1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral ( a non fixé ). 2°) Déterminez sa perspective cavalière ( on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et on tracera pour a = 8 cm ). 3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre ( a non fixé ). 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ).

2 1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral
A de côté a. a a h B D C ½a a

3 1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral
A de côté a. a a h B D C ABD est rectangle ½a donc d’après Pythagore … a

4 1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral.
A Pythagore dans ABD : AB² = AD² + DB² a² = h² + (½ a)² B D C h² = a² - ¼ a² = ¾ a² a 3 h = a² = ≈ 0,866 a

5 1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral.
A Autre méthode : 30° adj AD h cos 30° = = = B D C hyp AB a 60° 3 h = a cos 30° = a 2

6 1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral.
A Autre méthode : 30° opp AD h ou sin 60° = = = B D C hyp AB a 60° 3 h = a sin 60° = a 2

7 Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière (on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et on tracera pour a = 8 cm ). a

8 Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière (on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et on tracera pour a = 8 cm ). a ½a√ a

9 Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière (on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et on tracera pour a = 8 cm ). a ½a√ a

10 Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière (on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et on tracera pour a = 8 cm ). Toutes les faces sont identiques, donc le sommet est à la verticale du centre de la base. a ½a√ a

11 2°) Déterminez sa perspective cavalière
½a√ a a

12 2°) Déterminez sa perspective cavalière
½a√ a a

13 3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre.
S SH ≈ 0,82a SH = ? A B H C

14 3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre.
S SHB est rectangle en H car le sommet est à la verticale du centre de la base. A B D H C

15 3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre.
S On connait BS = a On veut déterminer SH = h’ Il nous faut connaître BH A B D H C

16 3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre.
S Pythagore dans SHB : SH² + HB² = SB² Les hauteurs de ABC sont des médianes, donc H est le centre de gravité, donc il est situé aux ⅓ ⅔ sur [BD] : a 3 BH = BD = A B D H C

17 3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre.
S Pythagore dans SHB : SH² + HB² = SB² Les hauteurs de ABC sont des médianes, donc H est le centre de gravité, donc il est situé aux ⅓ ⅔ sur [BD] : a 3 BH = BD = A B a a a D H = = = ( )² C

18 3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre.
S Pythagore dans SHB : SH² + HB² = SB² Les hauteurs de ABC sont des médianes, donc H est le centre de gravité, donc il est situé aux ⅓ ⅔ sur [BD] : a a BH = = A B D H a ² a² h’ ² = a² h’ ² = a² - C

19 3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre.
3a² a² a² S Pythagore dans SHB : SH² + HB² = SB² h’ ² = = Les hauteurs de ABC sont des médianes, donc H est le centre de gravité, donc il est situé aux ⅓ ⅔ sur [BD] : a a BH = = A B D H a ² a² h’ ² = a² h’ ² = a² - C

20 3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre.
3a² a² a² S Pythagore dans SHB : SH² + HB² = SB² h’ ² = = Les hauteurs de ABC sont des médianes, donc H est le centre de gravité, 2a² donc il est situé aux ⅓ ⅔ sur [BD] : h’ = = a ≈ 0,816 a a a BH = = A B D H a ² a² h’ ² = a² h’ ² = a² - C

21 Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ). S la base A B A B C

22 Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ). S la base A B A B C

23 Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ). S S les faces latérales A B A B C S S C

24 Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ). S S les faces latérales A B A B C S S C Il faut laisser les traits de construction qui servent de justifications !

25 Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ). A Aire = 4 × ( aire d’un triangle ) S base × hauteur Aire = 4 × B C A B a √3 C A D A a × 2 Aire = 4 × = a² √3

26 Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ). V = ⅓ Base × hauteur S Base = Aire de ABC = ½ base × hauteur a √ a² √3 A B = ½ a × h = ½ a × = C a² √ a3 √2 V = × × a =