Les fractions rationnelles

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1 Les fractions rationnelles
Définition Remarque: Tu devrais visionner toutes les présentations sur la factorisation avant de visionner celle-ci.

2 dans laquelle Q(x) ≠ 0. On appelle fraction rationnelle une expression de la forme Q(x) P(x) Exemple: Voici deux rectangles semblables et les expressions algébriques représentant leurs aires. x2 + 6x + 8 x2 + 11x + 28 On voudrait représenter le rapport des aires de ces deux rectangles. x2 + 6x + 8 le numérateur est un polynôme; appelons-le P(x); Rapport des aires = x2 + 11x + 28 le dénominateur est un polynôme; appelons-le Q(x). dans laquelle Q(x) ≠ 0. On appelle fraction rationnelle une expression de la forme Q(x) P(x) ?

3 dans laquelle Q(x) ≠ 0. On appelle fraction rationnelle une expression de la forme Q(x) P(x) Q(x) ≠ 0; cette partie de la définition est importante. En mathématique la division par 0 n’est pas définie. Posons x = 5 Exemple: Effectuons le produit croisé; 0 x = 5 ? Cette expression signifie: « Quelles valeurs doit-on donner à x pour que multiplié par 0, on obtienne 5 » ? En mathématique la division par 0 n’est pas définie. Le dénominateur d’une fraction rationnelle ne doit jamais être égal à 0.

4 Le dénominateur d’une fraction rationnelle ne doit jamais être égal à 0.
Il faut donc s’assurer que le dénominateur soit différent de 0. x + 2 x + 7 Exemple: pour que cette fraction puisse exister, il faut que x + 7 ≠ 0 donc si x + 7 ≠ 0 alors - 7 x ≠ - 7 Dans cette expression, x peut prendre n’importe quelle valeur mais pas -7 car cette valeur annule le dénominateur. x + 7 = 0 Cette valeur à ne pas retenir peut être appelée : - une restriction; - une condition d’existence; - une valeur de la variable pour laquelle la fraction n’est pas définie.

5 Déterminer une restriction
Pour déterminer les restrictions à donner à une fraction rationnelle, il faut: - factoriser le dénominateur, s’il y a lieu; déterminer la valeur de la variable qui annule le polynôme dans chaque facteur; - éliminer cette (ces) valeur(s). x2 + 6x + 8 x2 + 11x + 28 Exemple: x2 + 11x ≠ 0 ( x + 4 ) ( x + 7 ) ≠ 0 ( x + 4 ) ≠ 0 donc x ≠ - 4 ( x + 7 ) ≠ 0 donc x ≠ - 7 Cette fraction peut exister pour toutes valeurs de x sauf - 7 et - 4. x ≠ - 7 et - 4 Remarque: On ne donne des restrictions qu’au dénominateur, jamais au numérateur.

6 x + 3 x2 - x - 6 x2 - x – 6 ≠ 0 x + 3 x2 - x - 6 x2 + 10x + 25 x2 - 25
Déterminer les restrictions à donner aux fractions rationnelles suivantes. x + 3 x2 - x - 6 x2 - x – 6 ≠ 0 ( x + 2 ) ( x - 3 ) ≠ 0 ( x + 2 ) ≠ 0 donc x ≠ - 2 ( x - 3 ) ≠ 0 donc x ≠ 3 x + 3 x2 - x - 6 si x ≠ - 2 et 3 x2 + 10x + 25 x2 - 25 x ≠ 0 ( x + 5 ) ( x - 5 ) ≠ 0 ( x + 5 ) ≠ 0 donc x ≠ - 5 ( x - 5 ) ≠ 0 donc x ≠ 5 x2 + 10x + 25 x2 - 25 si x ≠ - 5 et 5

7 x + 7 2x - 5 x ≠ 5 x + 7 2x - 5 x ≠ 5 x2 + 6x + 9 x2 + 6x + 9
Déterminer les restrictions à donner aux fractions rationnelles suivantes. x + 7 2x - 5 2x - 5 ≠ 0 donc 2x ≠ 5 x ≠ 5 2 x + 7 2x - 5 x ≠ 5 2 si x2 + 6x + 9 2x2 - 11x - 6 2x2 - 11x – 6 ≠ 0 ( 2x + 1 ) ( x - 6 ) ≠ 0 ( 2x + 1 ) ≠ 0 donc 2x ≠ - 1 x ≠ - 1 2 ( x - 6 ) ≠ 0 donc x ≠ 6 x2 + 6x + 9 2x2 - 11x - 6 x ≠ - 1 2 et 6 si

8 Les opérations avec les fractions rationnelles suivent les mêmes règles qu’avec les fractions numériques. Nous verrons ce qu’il en est dans les prochaines présentations. Les restrictions sont toujours la première étape d’un problème comportant des fractions rationnelles. La factorisation est donc un procédé très utilisé avec les fractions rationnelles.