Addition et soustraction de fractions rationnelles

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1 Addition et soustraction de fractions rationnelles
Remarque: Tu devrais visionner : toutes les présentations sur la factorisation et la présentation PPCM.ppt avant de visionner celle-ci.

2 Les règles d’addition et de soustraction de fractions rationnelles sont les mêmes que pour les fractions numériques. Pour les fractions rationnelles, il faut, cependant, penser aux conditions d’existence ( restrictions ) des fractions en cause. Exemple: 5 x 3 + Donner les restrictions aux dénominateurs; si x ≠ 0 Lorsque les fractions ont le même dénominateur, on n’additionne que les numérateurs. 8 x Exemple: a x b + Donner les restrictions aux dénominateurs; si x ≠ 0 Lorsque les fractions ont le même dénominateur, on n’additionne que les numérateurs. a + b x

3 Lorsque les fractions n’ont pas le même dénominateur,
Exemple: 5 a2 3 ab + il faut : - donner les restrictions aux dénominateurs; si a ≠ 0 et b ≠ 0 trouver un dénominateur commun, en utilisant le PPCM; PPCM ( a2 , ab ) : a2 = a2 donc a2 b ab = a X b construire des fractions équivalentes; avec ce nouveau dénominateur; 3 ab X a 3a = a2 b X a 5 a2 X b 5b = a2 b X b a2 b 3a 5b + - additionner les numérateurs seulement. 3a + 5b a2 b

4 Lorsque les fractions n’ont pas le même dénominateur,
Exemple: 4 b 5 a + il faut : - donner les restrictions aux dénominateurs; si a ≠ 0 et b ≠ 0 trouver un dénominateur commun, en utilisant le PPCM; PPCM ( a , b ) : a = a donc a b b = b construire des fractions équivalentes; avec ce nouveau dénominateur; 5 a X b 5b = a b X b 4 b X a 4a = a b X a a b 5b 4a + - additionner les numérateurs seulement. 4a + 5b a b

5 Lorsque les fractions n’ont pas le même dénominateur,
Exemple: 3 4x2 7 3x - il faut : - donner les restrictions aux dénominateurs; si x ≠ 0 trouver un dénominateur commun, en utilisant le PPCM; PPCM ( 4x2 , 3x ) : 4x2 = 22 X x2 donc 12x2 3x = 3 X x construire des fractions équivalentes; avec ce nouveau dénominateur; 3 4x2 X 3 9 = 12x2 X 3 7 3x X 4x 28x = 12x2 X 4x - soustraire les numérateurs seulement. 12x2 9 - 28x 12x2 9 - 28x +

6 Lorsque les fractions n’ont pas le même dénominateur,
Exemple: 3 x + 1 + 5 x + 2 il faut : - donner les restrictions aux dénominateurs; si x ≠ - 2 et - 1 trouver un dénominateur commun, en utilisant le PPCM; PPCM ( ( x + 1 ) , ( x + 2 ) ) : ( x + 1 ) ( x + 2 ) construire des fractions équivalentes; avec ce nouveau dénominateur; 3 ( x + 1 ) X ( x + 2 ) 3 ( x + 2 ) 5 ( x + 2 ) X ( x + 1 ) 5 ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ( x + 2 ) = ( x + 1 ) ( x + 2 ) X ( x + 2 ) X ( x + 1 ) - additionner les numérateurs seulement. 3 ( x + 2 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) + 5 ( x + 1 ) = 5 ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) 3 ( x + 2 ) + = 5x + 5 ( x + 1 ) ( x + 2 ) 3x + 6 + = ( x + 1 ) ( x + 2 ) 8x + 11 Remarque: On peut ou non laisser les dénominateurs factorisés.

7 Lorsque les fractions n’ont pas le même dénominateur,
Exemple: + x + 3 x + 4 x - 3 x + 2 il faut : - donner les restrictions aux dénominateurs; si x ≠ - 3 et 3 trouver un dénominateur commun, en utilisant le PPCM; PPCM ( ( x - 3 ) , ( x + 3 ) ) : ( x - 3 ) ( x + 3 ) construire des fractions équivalentes; avec ce nouveau dénominateur; ( x + 2 ) ( x - 3 ) X ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 3 ) X ( x - 3 ) ( x + 4 ) ( x - 3 ) = ( x - 3 ) ( x + 3 ) = ( x - 3 ) ( x + 3 ) X ( x + 3 ) X ( x - 3 ) - additionner les numérateurs seulement. ( x - 3 ) ( x + 3 ) + = ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x - 3 ) ( x + 4 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) + = ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) = ( x2 + 5x + 6 ) + ( x2 + x – 12 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) 2x2 + 6x - 6 = ( x - 3 ) ( x + 3 ) 2 ( x2 + 3x - 3 )

8 Lorsque les fractions n’ont pas le même dénominateur,
Exemple: x2 - 4 - x + 1 x + 2 x2 + 6x + 8 Ici, il faut, en premier, factoriser les polynômes composant les fractions; ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x – 2 ) - x + 1 x + 2 ( x + 2 ) puis, donner les restrictions aux dénominateurs; si x ≠ - 4, - 2 et -1 avant d’additionner, simplifier les facteurs communs dans chaque fraction ( s’il y a lieu ); ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x – 2 ) - ( x + 1 ) les fractions sont prêtes à être additionnées. ( x – 2 ) ( x + 4 ) - ( x + 2 ) ( x + 1)

9 X X + + Attention ( x + 2 ) ( x – 2 ) - ( x + 1 )
Ici, on peut simplifier ces deux binômes, car ils sont facteurs de la même fraction; ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x – 2 ) - ( x + 1 ) mais, on ne peut pas simplifier ces deux binômes; car ils n’appartiennent pas à la même fraction. Les règles d’addition ( de soustraction) et les règles de multiplication (de division ) ne sont pas les mêmes. ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x – 2 ) ( x + 1 ) X ( x + 2 ) X ( x + 4 ) ( x – 2 ) ( x + 1 ) on peut simplifier; on peut simplifier; ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x – 2 ) ( x + 1 ) + ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x – 2 ) ( x + 1 ) + on peut simplifier; on ne peut pas simplifier.

10 - - x - 2 x + 2 x + 4 x + 1 = = x2 – x – 2 – x2 - 6x - 8 = =
Lorsque les fractions n’ont pas le même dénominateur, Exemple: - x + 1 x + 2 x + 4 x - 2 il faut : trouver un dénominateur commun, en utilisant le PPCM; PPCM ( ( x + 4 ) , ( x + 1 ) ) : ( x + 4 ) ( x + 1 ) construire des fractions équivalentes; avec ce nouveau dénominateur; ( x - 2 ) ( x + 4 ) X ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) X ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x + 4 ) = ( x + 4 ) ( x + 1 ) = ( x + 4 ) ( x + 1 ) X ( x + 1 ) X ( x + 4 ) - soustraire les numérateurs seulement. = ( x + 4 ) ( x + 1 ) - ( x - 2 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 1 ) - = ( x - 2 ) ( x + 1 ) ( x + 4 ) ( x2 – x – 2 ) - ( x2 + 6x + 8 ) = ( x + 4 ) ( x + 1 ) x2 – x – 2 – x2 - 6x - 8 ( x + 4 ) ( x + 1 ) = ( x + 4 ) ( x + 1 ) - 7x - 10

11 x + 1 x + 2 x + 4 x - 2 x + 1 x + 2 x + 4 x - 2 Remarque: - =
PPCM: ( x + 4 ) ( x + 1 ) ( x + 4 ) ( x + 1 ) Il faut construire des fractions équivalentes: ( x - 2 ) = ( x + 4 ) ( x + 1 ) X ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 4 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) X ( x + 4 ) = ( x + 4 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x + 4 ) Pour faire plus rapidement - x + 1 x + 2 x + 4 x - 2 = -

12 Pour additionner ou soustraire des fractions rationnelles, il faut :
- factoriser les polynômes, s’il y a lieu; - donner les restrictions pour les dénominateurs; - simplifier chaque fraction, s’il y a lieu; - trouver un dénominateur commun par le PPCM; - construire des fractions équivalentes; - additionner ou soustraire les termes aux numérateurs; - simplifier s’il y a lieu.

13 Additionne les fractions rationnelles suivantes:
x2 + 5x + 6 x2 + 6x + 9 x2 + 7x + 12 x2 + 6x + 8 + ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 3 ) ( x + 3 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x + 4 ) + si x  - 4 , - 3 et - 2 ( x + 2 ) ( x + 3 ) + PPCM : ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 3 ) + ( x2 + 4x + 4 ) ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x2 + 6x + 9 ) + ( 2x2 + 10x + 13 ) ( x + 3 ) ( x + 2 )

14 Additionne les fractions rationnelles suivantes:
( x2 - 9 ) ( x2 + x - 6 ) 2x ( x – 1 ) - 2x ( x - 3 ) ( x + 3 ) ( x – 1 ) ( x + 3 ) ( x – 2 ) - si x  - 3 , 2 et 3 PPCM: ( x – 3 ) ( x + 3 ) ( x - 2 ) ( x – 3 ) ( x + 3 ) ( x – 2 ) 2x ( x - 2 ) - ( x – 1 ) ( x – 3 ) ( x – 3 ) ( x + 3 ) ( x – 2 ) ( 2x2 - 4x ) - ( x2 – 4x + 3 ) ( x – 3 ) ( x + 3 ) ( x – 2 ) 2x2 - 4x - x2 + 4x – 3 ( x – 3 ) ( x + 3 ) ( x – 2 ) x2 – 3