Résoudre une équation du second degré par la complétion du carré.

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1 Résoudre une équation du second degré par la complétion du carré.
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2 La technique de complétion du carré permet de résoudre une équation du second degré.
La démarche est presque identique à celle que l’on utilise pour trouver les zéros de fonction. Exemple: Déterminer les valeurs de x pour que x2 + 2x – 12 = 12 1) Transférer le terme constant du trinôme avec le membre de droite. x2 + 2x – 12 = 12 x2 + 2x = 24 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule: T2 2 X T1 2 T3 = 2x 2 X x2 2 2x 2 X x 2 2 2 ( 1 ) = = = = = 1

3 3) Insérer ce terme dans le membre de gauche pour former un trinôme carré parfait:
x2 + 2x = 24 + 1 + 1 4) Pour ne pas changer la valeur de l’équation, on additionne la même quantité au membre de droite. 5) On regroupe le tout: ( ) x2 + 2x + 1 = 25 24 + 1 6) On factorise le trinôme carré parfait: ( x + 1 )2 = 25 7) On extrait la racine carrée de chaque membre de l’équation. ( x + 1 )2 = ( x + 1 ) = ± 5 en se souvenant qu’un nombre carré a deux racines. x + 1 = - 5 x + 1 = + 5 8) On complète les calculs: x1 = - 6 x2 = + 4

4 x2 + 2x - 12 = 12 x1 = - 6 x2 + 2x - 12 = 12 x2 = 4 Validation:
= 12 x x = 12 x2 = 4 X = 12 = 12

5 Déterminer les valeurs de x pour
16x2 + 64x - 36 = 684 Divisons l’équation par le coefficient de x2 pour obtenir une équation équivalente commençant par x2. 16x2 + 64x = 684 16 16 16 16 x x - 2,25 = 42,75 1) Transférer le terme constant du trinôme avec le membre de droite. x x - 2,25 = 42,75 x x = 45 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule: T2 2 X T1 2 T3 = 4x 2 X x2 2 4x 2 X x 2 4 2 2 ( 2 ) = = = = = 4

6 3) Insérer ce terme dans le membre de gauche pour former un trinôme carré parfait:
x2 + 4x = 45 + 4 + 4 4) Pour ne pas changer la valeur de l’équation, on additionne la même quantité au membre de droite. 5) On regroupe le tout: ( ) x2 + 4x + 4 = 49 45 + 4 6) On factorise le trinôme carré parfait: ( x + 2 )2 = 49 7) On extrait la racine carrée de chaque membre de l’équation. ( x + 2 )2 = ( x + 2 ) = ± 7 en se souvenant qu’un nombre carré a deux racines. x + 2 = - 7 x + 2 = + 7 8) On complète les calculs: x1 = - 9 x2 = + 5

7 La technique de complétion du carré est l’outil le plus utile avec les polynômes du second degré.
Au début, elle semble un peu lourde pour le débutant mais, avec la pratique, elle est la technique la plus rapide et la plus efficace. Elle factorise, détermine les zéros de fonction et résout les équations du second degré de n’importe quel polynôme factorisable.