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IN302 – Chapitre 3 Plus courts chemins
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Existence De à : pas de chemin pas de plus court chemin 9 1 4 1 8 6 2
3 -1 3 2 2 -6 5 7 De à : pas de chemin pas de plus court chemin 1 8
3
Existence pas de chemin pas de plus court chemin De à : 9 1 4 1 8 6 2
3 -1 3 2 2 -6 5 7 pas de chemin pas de plus court chemin De à : 7 1
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Existence 9 1 4 1 8 6 2 6 6 3 -1 3 2 2 -6 5 7 chemins : (1,4), (1,3,4), (1,2,3,4) plus court chemin : (1,2,3,4) De à : 1 4
5
Existence chemin : (3,4,6,5) longueur : 5 De à : 9 1 4 1 8 6 2 6 6 3
-1 3 2 2 -6 5 7 chemin : (3,4,6,5) longueur : 5 De à : 3 5
6
Existence De à : chemin : (3,4,6,5,7,6,5) longueur : 4 9 1 4 1 8 6 2 6
-1 3 2 2 -6 5 7 De à : chemin : (3,4,6,5,7,6,5) longueur : 4 3 5
7
Existence De à : chemin : (3,4,6,5,7,6,5,7,6,5) longueur : 3 9 1 4 1 8
2 6 6 3 -1 3 2 2 -6 5 7 De à : chemin : (3,4,6,5,7,6,5,7,6,5) longueur : 3 3 5
8
Existence De à : PAS DE PLUS COURT CHEMIN 9 1 4 1 8 6 2 6 6 3 -1 3 2 2
-6 5 7 De à : PAS DE PLUS COURT CHEMIN 3 5
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Graphe des plus courts chemins
4 1 3 2 5 6
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Graphe des plus courts chemins
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 En rouge : p(x) est la longueur d’un plus court chemin du sommet i=0 au sommet x
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Graphe des plus courts chemins
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 Comment caractériser, grâce aux valeurs de p, les arcs qui font partie de plus courts chemins dans (E, G, l) à partir de i ?
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Graphe des plus courts chemins
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 u = (x,y) est dans un plus court chemin dans (E, G, l) à partir de i si et seulement si : p(y) - p(x) = l(u)
13
Graphe des plus courts chemins
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 u = (x,y) est dans un plus court chemin dans (E, G, l) à partir de i si et seulement si : p(y) - p(x) = l(u)
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Graphe des plus courts chemins
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 c est un plus court chemin dans (E, G, l) à partir de i si et seulement si : c est un chemin dans (E, G’)
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Arborescence des plus courts chemins
1 4 6 3 5 (E’,A) est une arborescence des plus courts chemins pour (E, G, l) de racine i si : (E’,A) est une arborescence de racine i, et E’ = {x E, p(x) < } (E’,A) est un sous-graphe du graphe des plus courts chemins pour (E, G, l)
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Arborescence des plus courts chemins = APMin ?
1 4 3 2
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Arborescence des plus courts chemins = APMin ?
2 1 4 1 1 1 2 3 APCC (relative au sommet 1)
18
Arborescence des plus courts chemins = APMin ?
2 1 4 1 1 1 2 3 APMin
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Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6
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Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 Partir de i ?
21
Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 Partir de i ?
22
Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 Partir de d !
23
Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 Partir de d !
24
Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 Partir de d !
25
Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 Partir de d !
26
Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y G-1(x) tel que p(y) - p(x) = l((y,x)) x = y ; C = x + C
27
Trouver un plus court chemin de i à d
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y G-1(x) tel que p(y) - p(x) = l((y,x)) x = y ; C = x + C
28
Trouver un plus court chemin de i à d
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y G-1(x) tel que p(y) - p(x) = l((y,x)) x = y ; C = x + C
29
Trouver un plus court chemin de i à d
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y G-1(x) tel que p(y) - p(x) = l((y,x)) x = y ; C = x + C
30
Trouver un plus court chemin de i à d
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y G-1(x) tel que p(y) - p(x) = l((y,x)) x = y ; C = x + C
31
Trouver un plus court chemin de i à d
3 5 8 3 2 4 1 4 6 5 2 1 2 2 3 1 2 3 5 7 6 x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y G-1(x) tel que p(y) - p(x) = l((y,x)) x = y ; C = x + C
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Algorithme de Bellman
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Algorithme de Bellman : exemple
4 4 2 7 1 2 2 2 i = 1 5 8 -2 3 2 3 6
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1 2 3 4 5 6 π0 π1 k 4 4 2 7 1 2 2 2 i = 1 5 8 -2 3 2 3 6
35
1 2 3 4 5 6 π0 π1 k 1 4 4 2 7 1 2 2 2 i = 1 5 8 -2 3 2 3 6
36
1 2 3 4 5 6 π0 π1 k 1 4 4 2 7 1 2 2 2 i = 1 5 8 -2 3 2 3 6
37
1 2 3 4 5 6 π0 π1 k 1 4 4 2 7 1 2 2 2 i = 1 5 8 -2 3 2 3 6
38
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 k 1 4 4 2 7 1 2 2 2 i = 1 5 8 -2 3 2 3 6
39
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 k 1 4 4 2 7 1 2 2 2 i = 1 5 8 -2 3 2 3 6
40
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 k 1 4 4 2 7 1 2 2 2 i = 1 5 8 -2 3 2 3 6
41
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 k 1 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 8 -2 3 2 3 6 8
42
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 k 1 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 8 -2 3 2 3 6 8
43
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 8 -2 3 2 3 6 8
44
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 8 -2 3 2 3 6 8
45
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(6) = 8 -2 3 2 3 6 8
46
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(6) = min(, 8 -2 3 2 3 6 8
47
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(6) = min(, 7+2, 8 -2 3 2 3 6 8
48
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(6) = min(, 7+2, 8+2) = 8 -2 3 2 3 6 8
49
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(6) = min(, 7+2, 8+2) = 9 8 -2 3 2 3 6 8
50
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(5) = 8 -2 3 2 3 6 8
51
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(5) = min(, 8 -2 3 2 3 6 8
52
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(5) = min(, 7+1, 8 -2 3 2 3 6 8
53
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(5) = min(, 7+1, +3) = 8 -2 3 2 3 6 8
54
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(5) = min(, 7+1, +3) = 8 8 -2 3 2 3 6 8
55
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(3) = 8 -2 3 2 3 6 8
56
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(3) = min(8, 8 -2 3 2 3 6 8
57
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(3) = min(8, -2, 8 -2 3 2 3 6 8
58
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(3) = min(8, -2, 0+8) = 8 -2 3 2 3 6 8
59
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 X2(3) = min(8, -2, 0+8) = 8 8 -2 3 2 3 6 8
60
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(4) = min(, +2, 7+4) = 11 8 -2 3 2 3 6 8
61
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(2) = min(7, 0+7, 8+2) = 7 8 -2 3 2 3 6 8
62
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 π2(1) = min(0) = 0 8 -2 3 2 3 6 8
63
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 8 -2 3 2 3 6 8
64
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 k 2 7 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 8 -2 3 2 3 6 8
65
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 k 3 7 8 9 11 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 8 -2 3 2 3 6
66
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
67
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
68
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
69
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
70
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
71
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
72
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
73
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
74
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
75
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
76
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
77
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
78
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 k 3 11 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 8 9
79
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 π4 k 4 7 6 9 8 10 4 4 2 7 1 2 2 2 1 5 8 -2 3 2 3 6
80
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 π4 k 4 10 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 6 9
81
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 π4 k 4 10 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 6 9
82
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 π4 k 4 10 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 6 9
83
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 π4 k 4 10 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 6 9
84
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 π4 π5 k 5 10 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 6 8
85
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 π4 π5 k 5 10 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 6 8
86
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 π4 π5 k 5 10 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 6 8
87
1 2 3 4 5 6 π0 π1 7 8 π2 11 9 π3 10 π4 π5 k 5 10 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 6 8
88
Résultat 10 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 6 8
89
Plus court chemin de 1 à 3 ? 10 7 4 4 2 7 1 2 2 2 8 1 5 8 -2 3 2 3 6 6 8
90
Exécuter Bellman (i = 1) 7 4 2 5 5 2 4 1 1 1 1 5 7 3 -3 -2 3 3 3 6
91
Algorithme Circuit-Niveaux
92
Algorithme Circuit-Niveaux
2 4 1 5 7 6 3
93
2 i N 4 1 5 7 6 3 E0
94
2 2 x i N 2 4 6 7 2 1 4 5 3 3 1 5 7 2 1 2 6 3 E0
95
2 2 x i N 2 4 1 3 1 5 7 2 1 2 6 3 E0
96
2 2 x i N 2 4 1 1 3 1 5 E0 7 2 1 2 6 3
97
2 2 i N 2 4 1 3 1 5 E0 7 2 1 2 6 3
98
2 2 i N 2 4 1 3 1 5 E0 7 2 1 2 6 3 E1
99
2 2 x i N 2 4 1 1 3 1 5 E0 7 2 1 2 6 3 E1
100
2 2 y x i N 2 4 2 1 1 3 1 5 E0 7 2 1 2 6 3 E1
101
2 1 2 y x i N 2 4 2 1 1 3 1 5 E0 7 2 1 2 6 3 E1
102
1 2 y x i N 2 4 2 1 1 3 1 5 E0 7 2 1 2 6 3 E1
103
1 2 y x i N 2 4 2 3 1 1 3 1 5 E0 7 2 1 2 6 3 E1
104
1 2 y x i N 2 4 2 3 1 1 3 1 5 E0 7 2 1 2 6 3 E1
105
1 2 y x i N 2 4 2 3 1 1 2 3 1 5 E0 7 2 2 6 3 E1 E1
106
1 2 y x i N 2 4 2 3 1 1 2 3 1 5 E0 7 2 2 6 3 E1
107
1 2 i N 2 4 1 2 3 1 5 E0 7 2 2 6 3 E1
108
1 2 i N 2 4 1 2 3 1 5 E0 7 2 2 6 3 E2 E1
109
1 2 x i N 2 4 3 1 2 3 1 5 E0 7 2 2 6 3 E2 E1
110
1 2 y x i N 2 4 2 3 1 2 3 1 5 E0 7 2 2 6 3 E2 E1
111
1 2 y x i N 2 4 2 3 1 2 3 1 5 E0 7 2 2 6 3 E2 E1
112
2 y x i N 2 E2 4 2 3 1 3 2 3 1 5 E0 7 2 2 6 3 E2 E1
113
2 y x i N 2 E2 4 2 5 3 1 3 2 3 1 5 E0 7 2 2 6 3 E1
114
2 y x i N 2 E2 4 2 5 3 1 3 2 2 3 1 5 E0 7 2 2 6 3 E1
115
2 y x i N 2 E2 4 2 6 5 3 1 3 2 2 1 5 E0 7 2 2 6 3 E1
116
2 y x i N 2 E2 4 2 5 6 3 1 2 3 2 1 5 E0 7 2 1 2 6 3 E1
117
2 y x i N 2 E2 4 2 3 2 1 3 2 1 5 E0 7 2 1 6 3 E1
118
2 i N 2 E2 4 1 2 3 2 1 5 E0 7 2 1 6 3 E1
119
2 i N 2 E2 4 2 1 3 2 1 5 E0 7 2 1 6 3 E3 E1
120
2 x i N 2 E2 4 2 1 2 3 2 1 5 E0 7 2 1 6 3 E3 E1
121
2 y x i N 2 E2 4 4 2 2 1 3 2 1 5 E0 7 2 1 6 3 E3 E1
122
2 y x i N 1 2 E2 4 4 2 1 2 3 2 1 5 E0 7 2 1 6 3 E3 E1
123
2 y x i N 1 E2 4 4 5 2 1 2 3 2 1 5 E0 7 2 1 6 3 E3 E1
124
2 y x i N 1 E2 4 4 5 2 1 2 3 2 1 1 5 E0 7 2 1 6 3 E3 E1
125
2 y x i N 1 E2 4 6 5 4 2 1 2 3 1 1 5 E0 7 2 1 6 3 E3 E1
126
2 y x i N 1 E2 4 6 5 4 2 1 2 3 1 1 5 E0 7 2 1 6 3 E3 E1
127
2 y x i N 1 E2 4 4 6 5 2 2 1 4 3 1 1 5 E0 7 2 6 3 E1 E3
128
2 y x i N 1 E2 4 4 6 5 2 1 2 3 4 3 1 1 5 E0 7 2 6 3 E1 E3
129
2 i N 1 E2 4 1 3 2 3 4 1 1 5 E0 7 2 6 3 E1 E3
130
2 i N 1 E2 4 1 2 3 3 4 1 1 5 E0 7 2 6 3 E4 E1 E3
131
2 x i N 1 E2 4 6 1 3 2 3 4 1 1 5 E0 7 2 6 3 E4 E1 E3
132
2 y x i N 1 E2 4 4 6 1 2 3 3 4 1 1 5 E0 7 2 6 3 E4 E1 E3
133
2 y x i N 1 E2 4 4 6 2 3 1 3 4 1 1 5 E0 7 2 6 3 E4 E1 E3
134
2 y x i N E2 4 4 6 2 3 1 4 5 E4 1 1 5 E0 7 2 6 3 E4 E1 E3
135
2 y x i N E2 4 5 4 6 1 2 3 3 5 E4 1 1 5 E0 7 2 6 3 E1 E3
136
2 y x i N E2 4 5 4 6 2 3 1 5 3 E4 1 1 5 E0 7 2 6 3 E1 E3
137
2 y x i N E2 4 5 4 6 3 2 1 5 6 3 E4 1 5 E0 7 E4 2 6 3 E1 E3
138
2 y x i N E2 4 4 5 6 2 4 1 3 3 6 1 5 E0 7 E4 2 6 3 E1 E3
139
2 i N E2 4 2 4 1 3 3 6 1 5 E0 7 E4 2 6 3 E1 E3
140
2 i N E2 4 2 4 1 3 3 6 1 5 E0 7 E4 2 6 3 E5 E1 E3
141
2 x i N E2 4 4 1 2 3 4 6 3 1 5 E0 7 E4 2 6 3 E5 E1 E3
142
2 y x i N E2 4 7 4 1 2 3 4 3 6 1 5 E0 7 E4 2 6 3 E5 E1 E3
143
2 y x i N E2 4 7 4 2 3 4 1 6 3 1 5 E0 7 E4 2 1 6 3 E5 E1 E3
144
2 x i N E2 4 5 1 2 3 4 6 3 1 5 E0 7 E4 1 6 3 E5 E1 E3
145
2 y x i N E2 4 7 5 4 2 4 3 1 3 6 1 5 E0 7 E4 1 6 3 E5 E1 E3
146
2 y x i N E2 4 7 5 4 2 4 3 1 3 6 1 5 E0 7 E4 1 6 3 E5 E1 E3
147
2 y x i N E2 4 7 5 4 2 4 3 1 3 6 1 5 E0 7 E4 E5 6 3 E5 E1 E3
148
2 y x i N E2 4 7 5 4 2 4 3 1 6 3 7 1 5 E0 7 E4 E5 6 3 E1 E3
149
2 y x i N E2 4 7 5 4 1 2 3 5 4 3 7 6 1 5 E0 7 E4 E5 6 3 E1 E3
150
2 i N E2 4 3 2 1 5 4 6 3 7 1 5 E0 7 E4 E5 6 3 E1 E3
151
2 i N E2 4 3 2 1 5 4 6 3 7 1 5 E0 7 E4 E5 6 3 E1 E3
152
Résultat 2 4 1 5 7 6 3 E0 E1 E2 E3 E4 E5
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