Cours Mécanique des solides en 3D et en 2D

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1 Cours Mécanique des solides en 3D et en 2D
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2 Équations d’équilibre en 3D
Seconde Loi de Newton : État plan de contrainte : force/masse accélération Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

3 Équations d’équilibre en 3D
Notion de déformation : déformation longitudinale : les facettes AB et CD ne se déplacent pas de la même manière TRACTION  dans la direction Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

4 Équations d’équilibre en 3D
déformation angulaire :  : rotation de la fibre AC Si les déplacements sont petits Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

5 Équations d’équilibre en 3D
L’angle de cisaillement cas particulier rotation de l’élément sans cisaillement inconnues : : 6 composantes en 3D déplacements en 3D : Loi de comportement du matériau : Loi de Hooke pour une barre E = module de Young État plan de contrainte : Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

6 Équations d’équilibre en 3D
généralisation en 3D : matrice des propriétés du matériau Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

7 Équations d’équilibre en 3D
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8 Équations d’équilibre en 2D
Loi de Hooke en état plan de contraintes : en imposant ces 3 conditions, on trouve une relation entre : Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

9 Équations d’équilibre en 2D
État plan de contraintes Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

10 Équations d’équilibre en 2D
Modèle physico-mathématique de l’état plan de contraintes : État plan de contrainte : en régime permanent : État plan de contrainte : équations d’équilibre : État plan de contrainte : Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

11 Équations d’équilibre en 2D
Loi de comportement : État plan de contrainte : hypothèse petits déplacements État plan de contrainte : conditions aux limites : déplacement imposé force/contrainte imposée État plan de contrainte : Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

12 Formulation variationnelle
Formulation variationnelle (principe des travaux virtuels) État plan de contrainte : intégration par parties État plan de contrainte : Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

13 Formulation faible État plan de contrainte : Loi de comportement :
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14 Équations d’équilibre en 3D
Forme faible : Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

15 Principe des travaux virtuels :
Si est la solution d’équilibre alors pour tout déplacement virtuel on a l’équilibre : Modèle numérique : maillage formulation en déplacement : les inconnues principales sont , on récupère par la suite et approximation par éléments finis : Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

16 Discrétisation Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS

17 Discrétisation D’autre part :
Matrice de rigidité élémentaire et vecteur des charges volumiques : Version 02/2009 (A.S.) SYS852 - Hiver09 - ETS