Géométrie analytique La pente.

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1 Géométrie analytique La pente

2 Pente ∆ y ∆ x x1 x2 y1 y2 P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) x y 1 2 3 4 5
6 7 La pente d’un segment est obtenue par la formule : variation des ordonnées variation des abscisses x1 x2 - y1 y2 ∆ y ∆ x : dans l’exemple ci-contre : m = x1 x2 - y1 y2 = 2 1 5 4 = 2 m = 2

3 Tout segment d’une droite a la même pente.
2 1 m = 2 ou Ce qui signifie que pour un accroissement d’une unité des abscisses, il y a accroissement de deux unités des ordonnées. Graphiquement, on peut constater ce fait. 1 2 3 4 5 On peut donc en déduire la propriété fondamentale d’une droite : + 2 + 1 Tout segment d’une droite a la même pente. + 2 + 1

4 La pente d’un segment ( son inclinaison ) est une notion importante en géométrie analytique.
Elle permet de déterminer certaines informations. 5 10 15 20 25 30 35 A B C D Exemple Calculons les pentes des segments AB et DC : Coordonnées des sommets du rectangle : A ( 5 , 15 ) B ( 25 , 25 ) C ( 30 , 15 ) D ( 10 , 5 ) x1 x2 - = y1 y2 5 25 - = 15 10 20 = 1 2 m ( A , B ) : m ( A , B ) = m ( D , C ) x1 x2 - = y1 y2 10 30 - = 5 15 10 20 = 1 2 m ( D , C ) :

5 Calculons les pentes des segments AD et BC :
5 10 15 20 25 30 35 A B C D A ( 5 , 15 ) B ( 25 , 25 ) C ( 30 , 15 ) D ( 10 , 5 ) x1 x2 - = y1 y2 5 10 - = 15 = -10 5 m ( A , D ) : - 2 m ( A , D ) = m ( B , C ) x1 x2 - = y1 y2 25 30 - = 15 -10 5 = m ( B , C ) : - 2 Propriété : Si deux segments ont la même pente, alors ils sont parallèles entre eux.

6 Propriété : Si deux segments ont la même pente, alors ils sont parallèles entre eux. 1 2 m1 : m ( A , B ) = 5 10 15 20 25 30 35 1 2 B m2 : m ( D , C ) = A m1 = m2 alors AB ll DC C D m1 : m ( A , D ) = - 2 m2 : m ( B , C ) = - 2 m1 = m2 alors AD ll BC

7 La pente d’un segment ( son inclinaison ) est une notion importante en géométrie analytique.
Elle permet de déterminer certaines informations. 5 10 15 20 25 30 35 A B C D Exemple Calculons les pentes des segments AB et BC : Coordonnées des sommets du rectangle : A ( 5 , 15 ) B ( 25 , 25 ) C ( 30 , 15 ) D ( 10 , 5 ) x1 x2 - = y1 y2 5 25 - = 15 10 20 = 1 2 m ( A , B ) : pentes inverses et opposées x1 x2 - = y1 y2 25 30 - = 15 -10 5 = - 2 1 m ( B , C ) :

8 Propriété : Si deux segments ont des pentes inverses et opposées, alors ils sont perpendiculaires entre eux. 1 2 m1 : m ( A , B ) = 5 10 15 20 25 30 35 - 2 1 m2 : m ( B , C ) = B - A m1 1 = 1 m2 C pentes inverses D alors AB BC et opposées Remarque : Pour pouvoir comparer correctement des pentes, n’oublie pas de toujours simplifier tes calculs au maximum.

9 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 Cas particuliers
Calculons la pente du segment AC: 5 10 15 20 25 30 35 A B C D Pente AC : C ( 30 , 5 ) A ( 10 , 5 ) m = x1 x2 - y1 y2 = 10 30 - = 5 20 = Un segment horizontal a une pente nulle. Calculons la pente du segment BD: Pente BD : D ( 15 , 5 ) B ( 15 , 30 ) m = x1 x2 - y1 y2 = 15 - = 30 5 -10 Un segment vertical a une pente indéterminée. = ?

10 Calculons la pente de AB et de BC .
5 10 15 20 25 30 35 A B C D Pente AB : A ( 10 , 5 ) B ( 15 , 30 ) m = x1 x2 - y1 y2 = 10 15 - 5 30 = 25 5 = 5 Pente BC : B ( 15 , 30 ) C ( 30 , 5 ) m = x1 x2 - y1 y2 = 15 30 - 5 = - 25 15 = - 5 3 Remarques : Si deux segments ont des pentes différentes alors ils sont sécants ( ils se croisent selon un certain angle ). Si deux segments ont des pentes inverses et opposées alors ils sont perpendiculaires ( sécants à un angle précis de 900 ).

11 En résumé Si deux segments ont la même pente, alors ils sont parallèles entre eux. m1 = m2 Si deux segments ont des pentes différentes alors ils seront sécants ( ils se croiseront selon un certain angle ). m1 ≠ m2 Si deux segments ont des pentes inverses et opposées alors ils seront perpendiculaires ( sécants à un angle précis de 900 ). m1 = - 1 m2