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1 Recherche des zéros d’une fonction quadratique par la complétion du carré.
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2 Soit déterminer lez zéros de la fonction f(x) = x2 + 2x - 24
La technique de complétion du carré permet de déterminer les zéros de fonction. Exemple: Soit déterminer lez zéros de la fonction f(x) = x2 + 2x - 24 f(x) = x2 + 2x - 24 0 = x2 + 2x - 24 ou x2 + 2x – 24 = 0 1) Transférer le terme constant de l’autre côté du signe égal. x2 + 2x = 24 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule: T2 2 X T1 2 T3 = 2x 2 X x2 2 2x 2 X x 2 2 2 ( 1 ) = = = = = 1

3 3) Insérer ce terme dans le membre de gauche pour former un trinôme carré parfait:
x2 + 2x = 24 + 1 + 1 4) Pour ne pas changer la valeur de l’équation, on additionne la même quantité au membre de droite. 5) On regroupe le tout: ( ) x2 + 2x + 1 = 25 24 + 1 6) On factorise le trinôme carré parfait: ( x + 1 )2 = 25 7) On extrait la racine carrée de chaque membre. ( x + 1 )2 = ( x + 1 ) = ± 5 en se souvenant qu’un nombre carré a deux racines. x + 1 = - 5 x + 1 = + 5 8) On complète les calculs: x1 = - 6 x2 = + 4

4 Remarque: L’étape consistant à extraire la racine carrée de chaque membre est importante. Exemple: On extrait la racine carrée de chaque membre. ( x + 1 )2 = Le nombre sous le radical sert de discriminant. x y 1 25 nombre positif, alors 2 zéros; alors 1 zéro; -7 nombre négatif, alors aucun zéro.

5 Soit déterminer les zéros de f(x) = x2 - 4x - 21
1) Transférer le terme constant de l’autre côté du signe égal. x2 - 4x = 21 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule: T2 2 X T1 2 T3 = - 4x 2 X x2 2 - 4x 2 X x 2 - 4 2 2 ( -2 ) = = = = = 4 3) Insérer ce terme dans le membre de gauche pour former un trinôme carré parfait: x2 - 4x = 21 + 4 + 4 4) Pour ne pas changer la valeur de l’équation, on additionne la même quantité au membre de droite.

6 x2 - 4x + 4 = 5) On regroupe le tout: ( ) 25 21 + 4 6) On factorise le trinôme carré parfait: ( x - 2 )2 = 25 7) On extrait la racine carrée de chaque membre de l’équation. ( x - 2 )2 = ( x - 2 ) ± 5 en se souvenant qu’un nombre carré a deux racines. = x - 2 = - 5 x - 2 = + 5 8) On complète les calculs: x1 = - 3 x2 = + 7

7 Soit déterminer les zéros de
f(x) = -x2 - 2x + 48 ce terme n’est pas un carré car il est négatif ; Attention: une simple mise en évidence comme première étape afin que ce premier terme devienne un carré. il faut donc faire f(x) = -x2 - 2x + 48 = f(x) = - (x2 + 2x - 48 ) en factorisant -1 à chaque terme. Cette parabole est donc ouverte vers le bas. Ce facteur précise le type de parabole mais il n’est pas nécessaire pour trouver les zéros. On le garde en mémoire mais il n’est pas nécessaire dans la démarche. f(x) = - (x2 + 2x - 48 ) 0 = x2 + 2x - 48 x2 + 2x = 0 1) Transférer le terme constant de l’autre côté du signe égal. x2 + 2x = 48

8 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule:
x2 + 2x = 48 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule: T2 2 X T1 2 T3 = 2x 2 X x2 2 2x 2 X x 2 2 2 ( 1 ) = = = = = 1 3) Insérer ce terme dans le membre de gauche pour former un trinôme carré parfait: x2 + 2x = 48 + 1 + 1 4) Pour ne pas changer la valeur de l’équation, on additionne la même quantité au membre de droite. 5) On regroupe le tout: ( ) x2 + 2x + 1 = 49 48 + 1 6) On factorise le trinôme carré parfait: ( x + 1)2 = 49

9 7) On extrait la racine carrée de chaque membre de l’équation.
± 7 en se souvenant qu’un nombre carré a deux racines. = x + 1 = - 7 x + 1 = + 7 8) On complète les calculs: x1 = - 8 x2 = + 6

10 x2 + 8x + 15 = 0 x2 + 8x = -15 Soit déterminer les zéros de
f(x) = 2x2 + 16x + 30 ce terme n’est pas un carré ; Attention: évidence comme première étape afin que ce premier terme devienne un carré. il faut donc faire une simple mise en f(x) = 2x2 + 16x + 30 = f(x) = 2 (x2 + 8x + 15 ) en factorisant 2 à chaque terme. Ce facteur précise le type de parabole mais il n’est pas nécessaire pour trouver les zéros. On le garde en mémoire mais il n’est pas nécessaire dans la démarche. f(x) = 2 (x2 + 8x + 15 ) 0 = (x2 + 8x + 15 ) x2 + 8x = 0 1) Transférer le terme constant de l’autre côté du signe égal. x2 + 8x = -15

11 x2 + 8x = -15 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule:
2 X T1 2 T3 = 8x 2 X x2 2 8x 2 X x 2 8 2 2 ( 4 ) = = = = = 16 3) Insérer ce terme dans le membre de gauche pour former un trinôme carré parfait: x2 + 8x + 16 = -15 + 16 4) Pour ne pas changer la valeur de l’équation, on additionne la même quantité au membre de droite. 5) On regroupe le tout: ( ) x2 + 8x = 1 6) On factorise le trinôme carré parfait: ( x + 4 )2 = 1

12 7) On extrait la racine carrée de chaque membre de l’équation.
± 1 en se souvenant qu’un nombre carré a deux racines. = x + 4 = - 1 x + 4 = + 1 8) On complète les calculs: x1 = - 5 x2 = -3

13 x2 + 2x – 24 = 0 Soit déterminer les zéros de f(x) = 0,5x2 + x - 12
ce terme n’est pas un carré ; Attention: évidence comme première étape afin que ce premier terme devienne un carré. il faut donc faire une simple mise en f(x) = 0,5x2 + x - 12 = f(x) = 0,5 (x2 + 2x – 24 ) en factorisant 0,5 à chaque terme. c’est-à-dire f(x) = 0,5x x 0,5 0,5 0,5 Ce facteur précise le type de parabole mais il n’est pas nécessaire pour trouver les zéros. On le garde en mémoire mais il n’est pas nécessaire dans la démarche. f(x) = 0,5 (x2 + 2x – 24 ) 0 = x2 + 2x – 24 x2 + 2x – 24 = 0

14 x2 + 2x – 24 = 0 1) Transférer le terme constant de l’autre côté du signe égal. x2 + 2x = 24 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule: T2 2 X T1 2 T3 = 2x 2 X x2 2 2x 2 X x 2 2 2 ( 1 ) = = = = = 1 3) Insérer ce terme dans le membre de gauche pour former un trinôme carré parfait: x2 + 2x = 24 + 1 + 1 4) Pour ne pas changer la valeur de l’équation, on additionne la même quantité au membre de droite. ( ) x2 + 2x + 1 = 5) On regroupe le tout: 25 24 + 1 6) On factorise le trinôme carré parfait: ( x + 1 )2 = 25

15 7) On extrait la racine carrée de chaque membre de l’équation.
± 5 en se souvenant qu’un nombre carré a deux racines. = x + 1 = - 5 x + 1 = + 5 8) On complète les calculs: x1 = - 6 x2 = + 4

16 La technique de complétion du carré est l’outil le plus utile avec les polynômes du second degré.
Au début, elle semble un peu lourde pour le débutant mais, avec la pratique, elle est la technique la plus rapide et la plus efficace. Elle factorise, détermine les zéros de fonction et résout les équations du second degré de n’importe quel polynôme factorisable.