Tranchées de longueurs minimales

Présentation au sujet: "Tranchées de longueurs minimales"— Transcription de la présentation:

1 Tranchées de longueurs minimales
Lycée de l’image et du son – Angoulême - Charente Lycée Saint Joseph – Bressuire – Deux Sèvres Jean-Philippe BOUCHER Leslie BOUET Julien BOYE Pierre CHARRIER Vincent COLAS Octave CURMI Théophane FIEVET Abdelrahman KARKI Chloé MOLTENI

2 Enoncé du problème Comment savoir où se trouve une canalisation passant par un jardin circulaire en creusant la tranchée la plus petite possible ? Disque de rayon 1 Droite

3 tranchée pour un disque de rayon 1.
Solution donnée au départ 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 Soit L la longueur de la tranchée pour un disque de rayon 1. L = π + 2

4 Un contre-exemple 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 Ici, une canalisation peut passer sans être interceptée par la tranchée => La solution n’est pas bonne

5 Un autre exemple avec des segments
2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 Construction avec deux triangles équilatéraux (un intérieur et un extérieur).

6 Tranchées composées que de segments
2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 120 ° 1 60 ° Tranchées Dans cette disposition la tranchée fait une longueur de : L=

7 Amélioration de l’idée
2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 120 ° 120 ° 120 °

8 Extension 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 Nous souhaitons continuer à augmenter le nombres des branches de l’étoile pour voir si l’on peut obtenir une tranchée encore moins longue.

9 Dernière idée avec des segments
2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 5,65 Nous avons construit la figure suivante à partir du point D mobile sur le segment [oA] Apres avoir trouvé une figure de longueur 6 nous avons réussi à réduire la longueur et on trouve : L ≈ 5,65 Lorsque OD ≈ 0,54

10 Figure parapluie Figure initiale Figure raccourcie
2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 5,65 4,866 4,862 Figure initiale Figure raccourcie Figure fonctionnelle Amelioration

11 Arcs de cercles et segments
2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 5,65 4,866 4,862 4,819 Idée : Rendre la figure « optimisable » en prenant des points mobiles sur le cercle

12 On a utilisé une propriété bien connue :
Projections orthogonales 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 5,65 4,866 4,862 4,819 4,800 4,792 On a utilisé une propriété bien connue : La distance la plus courte entre un point et une droite est la distance entre ce point et son projeté orthogonal sur la droite. 4 points sur le cercle 5 points sur le cercle 6 points sur le cercle 7 points sur le cercle

13 Le record (pour le moment)
2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 5,65 4,866 4,862 4,819 4,800 4,792 Est-ce la plus courte possible avec 3 tranchées ? Peut-on faire plus court avec plus de tranchées ?