Ruptures et continuités du cycle 4 à la seconde

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1 Ruptures et continuités du cycle 4 à la seconde
Réforme du lycée Mathématiques Angoulême, le 7 mai 2019 D’après une présentation d’Anne BURBAN, Inspectrice Générale de l’Education Nationale du groupe des mathématiques.

2 Objectifs de la présentation
Expliquer les choix pédagogiques opérés dans les programmes de mathématiques du cycle 4 et de la seconde. Analyser leurs impacts en termes de continuité et de rupture dans les apprentissages.

3 Les textes réglementaires
Ajustements des programmes du cycle 4 (BOEN n° 30 du 26/07/2018) Repères annuels de progression et attendus de fin d’années mis en consultation en novembre 2018 Programme de seconde applicable à la rentrée 2019 (BOEN n°1 du 22/01/2019) annexe_ pdf Repères de progressivité devraient être publiés incessamment sous peu … Cohérence de l’écriture de ces textes avec le rapport VILLANI-TOROSSIAN. Textes des programmes publiés sur le site académique.

4 Continuités d’ordre général
Au cycle 4 comme en seconde, enseignement des mathématiques commun à tous les élèves. Les mêmes six compétences. L’importance donnée au calcul (numérique et littéral). Le développement d’automatismes. La place du raisonnement et de la démonstration. La trace écrite. Le travail personnel des élèves. Quelques lignes directrices pour l’enseignement dont un équilibre préconisé entre divers temps de l’apprentissage. Compétences : chercher, calculer, raisonner, représenter, modéliser et communiquer. Equilibrer le temps de formation et d’évaluation. La résolution de problèmes est un cadre privilégié pour développer, mobiliser et combiner plusieurs de ces compétences. Cependant, pour prendre des initiatives, imaginer des pistes de solution et s’y engager sans s’égarer, l’élève doit disposer d’automatismes. Ceux-ci facilitent en effet le travail intellectuel en libérant l’esprit des soucis de mise en œuvre technique et élargissent le champ des démarches susceptibles d’être engagées. L’acquisition de ces réflexes est favorisée par la mise en place d’activités rituelles, notamment de calcul (mental ou réfléchi, numérique ou littéral). Elle est menée conjointement avec la résolution de problèmes motivants et substantiels, afin de stabiliser connaissances, méthodes et stratégies. Contrairement au programme du cycle 4, le programme de seconde n’identifie pas les connaissances et les procédures à avoir automatisé. Exemple au cycle 4 : À l’issue d’activités rituelles de calcul et de verbalisation de procédures et la résolution de problèmes, menées tout au long du cycle, d’abord dans le cadre numérique, puis dans le cadre algébrique, les élèves doivent avoir mémorisé ou automatisé : les procédures de résolution d’équations du type 𝑎𝑥=𝑏 et 𝑎+𝑥=𝑏. Disposer d’une trace de cours claire, explicite et structurée est une aide essentielle à l’apprentissage des mathématiques. Faisant suite aux étapes importantes de recherche, d’appropriation individuelle ou collective, la trace écrite récapitule de façon organisée les connaissances, les méthodes et les stratégies étudiées en classe. Explicitant les liens entre les différentes notions ainsi que leurs objectifs, éventuellement enrichie par des exemples ou des schémas, elle constitue pour l’élève une véritable référence vers laquelle il peut se tourner autant que de besoin. Sa consultation régulière (notamment au moment de la recherche d’exercices et de problèmes, sous la conduite du professeur ou en autonomie) favorise à la fois la mémorisation et le développement de compétences. Le professeur doit avoir le souci de la bonne qualité (mathématique et rédactionnelle) des traces écrites figurant au tableau et dans les cahiers d’élèves. En particulier, il est essentiel de bien distinguer le statut des énoncés (conjecture, définition, propriété - admise ou démontrée -, démonstration, théorème). Si la classe est le lieu privilégié pour la mise en activité mathématique des élèves, les travaux hors du temps scolaire sont indispensables pour consolider les apprentissages. Fréquents, de longueur raisonnable et de nature variée, ces travaux sont essentiels à la formation des élèves. Individuels ou en groupe, évalués à l’écrit ou à l’oral, ces travaux sont conçus de façon à prendre en compte la diversité des élèves et permettent le développement des qualités d’initiatives, tout en assurant la stabilisation des connaissances et des compétences. Le professeur veille à établir un équilibre entre divers temps de l’apprentissage : les temps de recherche, d’activité, de manipulation ; les temps de dialogue et d’échange, de verbalisation ; les temps de cours, où le professeur expose avec précision, présente certaines démonstrations et permet aux élèves d’accéder à l’abstraction ; les temps où sont présentés et discutés des exemples, pour vérifier la bonne compréhension de tous les élèves ; les exercices et problèmes, allant progressivement de l’application la plus directe au thème d’étude ; les rituels, afin de consolider les connaissances et les méthodes.

5 Ruptures Pas de mention explicite d’histoire des mathématiques dans le programme du cycle 4. Vocabulaire ensembliste et logique : uniquement en seconde. Géométrie dans l’espace, grandeurs et mesures : présentes au cycle 4 (repérage dans l’espace, sur une sphère, solides de l’espace). Géométrie dans l’espace seulement mentionnée dans les préambules du programme de seconde. Elle sera reprise dans le programme de Première de l’enseignement scientifique et la partie spécifique du programme de STD2A. Mais mention dans vocabulaire ensembliste et logique de raisonnements par l’absurde ou par disjonctions de cas.

6 Continuités et ruptures
Calcul (numérique et littéral) Cycle 4 Seconde Définition de la racine carrée (introduite à partir de Pythagore) Puissances d’un nombre Distributivité (simple et double) Annulation d’un produit 𝑎 2 − 𝑏 2 = (𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏) Résolution d’équations du premier degré ou s’y ramenant, notamment 𝑥 2 =𝑎 Ordre sur les nombres, ordres de grandeurs Règles de calcul sur les puissances et les racines carrées Démonstration de : 𝑎𝑏 = 𝑎 . 𝑏 , pour 𝑎>0 et 𝑏>0 Les trois identités remarquables à connaître dans les deux sens Illustration géométrique de l’égalité (𝑎+𝑏) 2 = 𝑎 2 +2𝑎𝑏+ 𝑏 2 Inéquations du premier degré Résoudre une équation, une inéquation produit ou quotient à partir d’un tableau de signes 𝑎+𝑏 < 𝑎 + 𝑏 , pour 𝑎>0 et 𝑏>0 Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues, déterminer le point d’intersection de deux droites (rubrique représenter et caractériser les droites du plan) La racine carré est introduite à partir du théorème de Pythagore donc c’est un nombre (on se situe uniquement dans le champ numérique) alors qu’en seconde on bascule dans le champ du calcul littéral avec un usage plus important et très différent. De la même façon pour les puissances, au cycle 4 on n’a que les puissances de 10 (physique) alors qu’en seconde, il faut mettre en place toutes les relations. La distributivité est au programme du cycle 4 (doit être automatisé) et on a uniquement la troisième identité remarquable dans un sens. Les autres identités remarquables entrent naturellement dans la double distributivité dans le sens développement. Par contre la reconnaissance de la factorisation est un réel travail de la classe de seconde. On a un travail sur l’ordre au cycle 4 mais plus d’inéquations du premier degré donc tout est à faire en seconde y compris un travail sur les inégalités (problème de signes, multiplier par un nombre positif, par un nombre négatif, ...). De même les systèmes de deux équations à deux inconnues sont en seconde en lien avec la géométrie.

7 Notions de géométrie plane Transformations, vecteurs
Cycle 4 Seconde Notions de géométrie plane Angles alternes-internes Cas d’égalité des triangles Triangles semblables Thalès et Pythagore Lignes trigonométriques dans le triangle rectangle Résoudre des problèmes de géométrie (triangles, quadrilatères, cercles) Relation trigonométrique cos 2 (𝛼)+ sin 2 (𝛼)=1 dans un triangle rectangle Transformations, vecteurs Comprendre l’effet des transformations sur une figure (translation, rotation, symétries, homothéties) Vecteur associé à une translation Direction, sens, norme Coordonnées d’un vecteur dans une BON, norme d’un vecteur Déterminant de deux vecteurs dans une BON Projeté orthogonal d’un point sur une droite Cycle 4 : Angles correspondants pour la démonstration de la somme des angles dans un triangle. Cas d’égalité des triangles et triangles semblables dans le programme du cycle 4 à la demande de l’académie des sciences considéré comme faisant partie du patrimoine culturel mathématique de l’humanité mais aussi pour justifier que lorsque l’on construit un triangle en connaissant deux longueurs et un angles, tous les triangles construits sont isométriques. Les lignes trigonométriques du cycle 4 se prolongent en seconde. Par contre rupture entre les transformations (rotation, symétrie) et le programme de seconde Y-a-t-il de réels apprentissages si on ne fait que des pavages sans poursuite au lycée? En seconde, on définit un vecteur à partir d’une translation. On ajoute : direction, sens et norme (pour la physique) mais on se retrouve avec la physique à avoir des points de vue différents (force correspond à un vecteur qui s’applique en un point -> représentant du vecteur au point d’application). Il faut clarifier cela auprès des élèves afin de les aider. On peut aller regarder le programme de mathématiques physique chimie de la voie technologique. Le vocabulaire précis est introduit puisque les objets mathématiques manipulés ont un nom : déterminant de deux vecteurs que les élèves doivent connaître. On manipule des équations cartésiennes de droites ce qui est plus efficace que la manipulation des représentations graphiques de fonctions affines.

8 Droites du plan (aspect vectoriel)
Géométrie (suite) Droites du plan (fonctions) Droites du plan (aspect vectoriel) Représentation graphique d’une fonction linéaire, d’une fonction affine Représenter et caractériser les droites du plan Equation cartésienne d’une droite (en utilisant le déterminant) Systèmes linéaires de 2 équations à 2 inconnues

9 Fonctions Cycle 4 Seconde Fonctions
Différents modes de représentation : expression symbolique, tableau de valeurs, représentation graphique, programme de calcul Vocabulaire : variable, fonction, image, antécédent Fonctions linéaires (en lien avec la proportionnalité) Fonctions affines Caractérisation de l’appartenance d’un point à une courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) Résoudre graphiquement une équation 𝑓 𝑥 =𝑘 ou une inéquation 𝑓 𝑥 <𝑘 Fonctions carré, racine carrée, inverse, cube Variations et extremums : démonstration des variations des fonctions carré, inverse, racine carrée Algorithme d’approximation d’un extremum (balayage, dichotomie) Le lien entre f(x) = y et le point M ( x ; f(x) ) n’est absolument pas présent au cycle 4 : il faut le travailler en seconde. Il s’agit d’étudier un certain nombre de fonctions de référence. Un travail sur les inégalités est pratiqué au travers de l’étude du sens de variation. Il faudra sans doute envisager un travail filé sur les inéquations pour lesquelles il n’y a aucune anticipation au cycle 4. Algorithme de balayage est juste pour la recherche d’un extremum si on prend 3 points.

10 Statistiques et probabilités
Cycle 4 Seconde Information chiffrée Proportionnalité : Coefficient de proportionnalité Taux d’évolution et coefficient multiplicateur Notion de ratio Proportions Evolution (variation absolue, variation relative) Evolutions successives, évolution réciproque Statistiques descriptives Effectifs, fréquences Indicateurs de position : moyenne, médiane Indicateur de dispersion : étendue Linéarité de la moyenne Indicateur de tendance centrale : moyenne pondérée Indicateur de dispersion : écart interquartile, écart type Pour des données réelles ou simulées, lire et comprendre une fonction écrite en Python qui renvoie la moyenne 𝑚, l’écart type 𝑠 et la proportion d’éléments appartenant à l’intervalle [𝑚−2𝑠 ;𝑚+2𝑠] Différence de vocabulaire entre le cycle 4 et la classe de seconde. Notion de ratio au cycle 4, car c’est la façon de parler de proportions dans les pays anglo-saxons. De plus, le ratio permet de parler en langage relativement naturel pour rendre visible le contenu de tableaux de proportionnalité. « Partager 2000 € dans un ratio 3 pour 4 » , permet un changement de registre en écriture mathématique. En seconde cette formulation n’est pas reprise mais on peut l’utiliser. On parle d’évolution successive, réciproque, relative, absolue (avant au programme de 1STMG). Notions importantes pour tout citoyen qui seront probablement reprises dans l’enseignement scientifique de terminale. Les statistiques sont uniquement descriptives et non inférentielles. Importance de la vision géométrique (barycentre, moyenne pondérée) dans la formation du citoyen et pour les études supérieures : mettre en image des données importantes (big data, intelligence artificielle). Écart inter-quartile donc quartiles. ATTENTION : des différences entre programme de seconde et celui de 1G et 1Techno Différence entre modèle et réalité (modèle= variable aléatoire avec une moyenne mu et écart type sigma et pour une expérience on a une moyenne qui se nomme M et un écart type s ne pas confondre les notations). Écart-type renseigne sur la dispersion autour de la moyenne. En 1e il faut simuler N échantillon on simule une expérience de Bernoulli et on va regarder la proportion de ces expériences. En 1 techno on s’intéresse à M-S, M-2S et M-3S.

11 Modéliser le hasard, calculer des probabilités
Cycle 4 Seconde Modéliser le hasard, calculer des probabilités Vocabulaire des probabilités Faire le lien entre fréquence et probabilité Calculer des probabilités dans des cas simples Dénombrement à l’aide de tableaux dans le cas d’expériences à deux épreuves Distinguer modèle probabiliste et réalité Distribution de probabilités. Probabilité d’un événement Relation 𝑃 𝐴∪𝐵 +𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 Dénombrement à l’aide de tableaux et d’arbres Calculer des probabilités dans des cas simples (expériences aléatoires à deux ou trois épreuves) Construire un modèle à partir des fréquences observées Echantillonnage Echantillon aléatoire de taille n pour une expérience à deux issues (Bernoulli) Version vulgarisée de la loi des grands nombres Simuler 𝑁 échantillons de taille n d’une expérience aléatoire à deux issues. Si 𝑝 est la probabilité d’une issue et 𝑓 sa fréquence observée sur un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre 𝑝 et 𝑓 est inférieur ou égal à 1 𝑛 Dénombrement à l’aide de tableaux dans le cas d’expériences à deux épreuves en troisième ; pas de représentations sous formes d’arbres. En seconde, on utilise des arbres seulement pour dénombrer. On ne met pas de probabilité sur les branches. C’est un changement qui doit permettre de redonner du sens. En seconde on ne parle pas d’intervalle de fluctuation ni de confiance et donc, on ne prend donc pas de décision.

12 Algorithmique et programmation
Cycle 4 Seconde Découverte de la programmation de manière ludique Notion d’algorithme et de programme Logiciel utilisé : Scratch L’algorithmique et la programmation en lien avec les apprentissage mathématiques La programmation comme production d’un texte dans un langage informatique Logiciel utilisé : Python Notion de variable informatique Concevoir et écrire une instruction d’affectation Déclenchement d’une action par un événement Séquences d’instructions, boucles, instructions conditionnelles Concevoir et écrire une séquence d’instructions, une boucle bornée ou non bornée La notion de fonction Au collège on utilise souvent une pédagogie de projet. On programme pour réaliser des jeux vidéos, des jolies figures ; les programmes ne sont pas toujours en lien avec les mathématiques. Au lycée, on écrit des programmes exclusivement en lien avec les mathématiques et même, il s’agit de résoudre des problèmes de mathématiques. On passe d’une syntaxe par brique (scratch qui n’est pas cité) à un langage textuel (Python qui est imposé). La notion de fonction en seconde est très présente et le typage des données apparait.