La notation scientifique

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1 La notation scientifique
Écriture et opérations

2 Écriture

3 La notation scientifique est une forme d’écriture servant à représenter des nombres très grands ou très petits. a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z Pour bien comprendre cette forme d’écriture, il faut connaître la principale caractéristique de la notation décimale.

4 La notation décimale est l’écriture utilisée par la majorité des gens.
Exemples : 2 500 $ 2,5 kg 75 ans 8 frères et soeurs 2 automobiles 45,7 cm Elle est très pratique pour écrire des nombres parce qu’elle est facile à utiliser.

5  : La caractéristique principale de la notation décimale est que :
 chaque position des chiffres représente un multiple de 10. Vers : l’infiniment grand G : giga : Unité de milliard : M : méga : Unité de million : Centaine de mille : Dizaine de mille : 10 000 k : kilo : Unité de mille : 1 000 h : hecto : Centaine : 100 10 da : déca : Dizaine : 1 L’unité : d : déci : Dixième : 0,1 c : centi : Centième : 0,01 m : milli : Millième : 0, 001  : micro : Millionième : 0, n : nano : Milliardième : 0, Vers : l’infiniment petit

6 Comme tous ces nombres sont des multiples de 10, on peut donc les écrire en utilisant la base 10.
0,01 0, 001 0, 000 1 1 10 000 1 000 100 10 0,1 0, 0, = 109 G : giga = 106 M : méga = 105 = 104 = 103 k : kilo = 102 h : hecto = 101 da : déca = 100 = 10-1 d : déci = 10-2 c : centi = 10-3 m : milli = 10-4  : = 10-6 micro = 10-9 n : nano Remarque : Un exposant négatif signifie donc une petite quantité.

7 a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z
Dans la définition mathématique de la notation scientifique : a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z le 10 signifie donc un nombre écrit en utilisant la base 10; l’exposant étant pris dans la famille des entiers, soit Z; a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z ce nombre doit être écrit égal ou plus grand que 1 et inférieur à 10. L’écriture de ce nombre en notation scientifique doit représenter la même quantité que son écriture en notation décimale.

8 Exemple 1 : Écrire en notation scientifique. Dans la virgule est à la fin : 23 643,0 Étape 1 : Déplacer la virgule entre le 2 et le 3; , Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions, 1 ≤ 2,364 3 < 10 mais il n’est pas égal à Étape 2 : Pour le rendre égal à , il faut le multiplier par = 2,364 3 X c’est-à-dire 104. = 2,364 3 X 104 Soit le nombre de positions traversées par la virgule.

9 Exemple 2 : Écrire 0, en notation scientifique. Étape 1 : Déplacer la virgule entre le 3 et le 4; , Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions, 1 ≤ 3,4 < 10 mais il n’est pas égal à 0, Étape 2 : Pour le rendre égal à 0, , il faut le multiplier par 0, 0, = 3,4 X 0,000 01 c’est-à-dire 10-5 0, = 3,4 X 10-5 Soit le nombre de positions traversées par la virgule.

10 Remarque Déplacer la virgule vers la gauche, fait augmenter l’exposant de la base 10. , 23 643,0 X 100 2,364 3 X 104 Déplacer la virgule vers la droite, fait diminuer l’exposant de la base 10. , 0, X 100 3,4 X 10-5

11 Exercices Transforme les nombres suivants en notation scientifique. : 1,676 5 X 1013 Remarque Les calculatrices peuvent afficher différentes écritures pour la notation scientifique : 1, ; 1,676 5 E13. Le E remplace la base 10. 1, L’espace remplace la base 10. Tu dois donc bien connaître le fonctionnement de ta calculatrice.

12 Exercices Transforme les nombres suivants en notation scientifique. : 1,56 X 105 : 2,34 X 1014 : 9,460 8 X 1017 0,0456 : 4,56 X 10-2 0, : 1,2 X 10-7 0, : 1, X 10-19 0, : 4,56 X 10-10

13 À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement : 2,3 X 105 = 2,3 X = Remarque ,0 Notation décimale Notation scientifique 2,3 X 105 , Notation scientifique 2,3 X 105 ,0 Notation décimale ,

14 À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement : 1,5 X 10-3 = 1,5 X 0,001 = 0,001 5 Remarque : 0,001 5 Notation décimale Notation scientifique 1,5 X 10-3 , Notation scientifique 1,5 X 10-3 0,001 5 Notation décimale ,

15 Exercices Transforme les nombres suivants en notation décimale. 1,27 X 106 : 4,5869 X 103 : 4 586,9 1,2 X 1010 : 3,475 X 1020 : 2,5 X 10-3 : 0, 002 5 1,897 X : 0, 2, X : 0,

16 Quelques symboles  : G : giga : unité de milliard : 1 000 000 000
= 1 X 109 M : méga : unité de million : = 1 X 106 k : kilo : unité de mille : 1 000 = 1 X 103  : micro : millionième : 0, = 1 X 10-6 n : nano : milliardième : 0, = 1 X 10-9

17 Quelques symboles La centrale hydroélectrique de Manic 5 a une puissance de MW. 1 528 MW = 1 528 X = watts La centrale hydroélectrique de la Baie-James a une puissance de 16 GW. 16 GW = 16 X = watts La construction de la première phase du projet du barrage de la Baie-James a coûté 13,7 G$. 13,7G$ = 13,7 X = ,00 $

18 La mémoire des ordinateurs a évolué.
Il y a environ 20 ans, elle se calculait en Mo. 1 Mo = 1 mégaoctets 1 X = octets. 1 X 106 octets. Il y a environ 10 ans, elle se calculait en Go. 1 Go = 1 gigaoctets 1 X = octets. 1 X 109 octets. Aujourd’hui, elle se calcule To. 1 To = 1 téraoctets 1 X = octets. 1 X 1012 octets.

19 1 m

20 1 km

21 1 Mm

22 1 Gm

23 1 mètre

24 1 mm

25 1 m

26 1 nm

27 La technologie évolue très rapidement.
Observe des réalisations faites au m (micromètre). 1 m = 0, m = 0,001 mm

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30 La technologie évolue très rapidement.
Observe des réalisations faites au nm (nanomètre). 1 nm = 0, m = 0, mm

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34 Les opérations

35 Les opérations effectuées avec la notation scientifique se regroupent en deux catégories :
1) la multiplication et la division; 2) l’addition et la soustraction. Chaque catégorie possède ses propres règles de fonctionnement.

36 La multiplication Exemple : 2 X X 3 X 103 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale : X Calculer : Reconvertir en notation scientifique : 6 X 105 Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

37 Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants.
2 X X 3 X 103 Multiplier les nombres accompagnant les bases 10. Étape 1 : 2 X 3 = 6 Étape 2 : Multiplier les bases 10 selon la loi de la multiplication des bases semblables : - on récupère la base; - on additionne les exposants; 102 X = 102+3 = 105 Étape 3 : On regroupe le tout : 6 X 105 Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide. Exemple : 2 X X 4 X 106 = 8 X 1014

38 1 ≤ a < 10 Exercices Calcule les quantités suivantes :
1,5 X X 3 X 106 = 4,5 X 1011 4 X X 2 X 106 = 8 X 1040 2,5 X 105 X 5 X 103 = 1,25 X 109 Attention : 2,5 X 5 = 12,5 et 105 X 103 = 108, mais 12,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10. Une des conditions de la notation scientifique : 1 ≤ a < 10 On doit donc terminer l’écriture : 12,5 X 108 = 1,25 X 109

39 Calcule les quantités suivantes :
2,3 X 107 X 5,6 X 102 = 1,288 X 1010 4,81 X 105 X 3,4 X 106 = 1,6354 X 1012 1,7 X 104 X -2,3 X 105 = -3,91 X 109 La loi concernant la multiplication et la division de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique. Attention -3,4 X 106 X 1,2 X 104 = - 4,08 X 1010 -2,1 X 105 X - 4,3 X 102 = 9,03 X 107

40 106 X 10-4 = 106+ -4 = 106 - 4 = 102 Calcule les quantités suivantes :
2 X 106 X 3 X 10-4 = 6 X 102 Attention 2 X 106 X 3 X 10-4 106 X 10-4 = = = 102 2,4 X X 3 X = 7,2 X 106 3,1 X 107 X 5,2 X 10-3 = 1,612 X 105

41 La division Exemple : ( 4 X 105 ) ÷ ( 2 X 102 ) On pourrait transformer ces quantités en notation décimale : ÷ 200 Calculer : 2 000 Reconvertir en notation scientifique : 2 X 103 Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

42 Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants.
4 X ÷ 2 X 102 Diviser les nombres accompagnant les bases 10. Étape 1 : 4 ÷ 2 = 2 Étape 2 : Diviser les bases 10 selon la loi de la division des bases semblables : - on récupère la base; - on soustrait les exposants; 105 ÷ 102 = 105-2 = 103 Étape 3 : On regroupe le tout : 2 X 103 Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide. Exemple : ( 9 X 1014 ) ÷ ( 3 X 106 ) = 3 X 108

43 1 ≤ a < 10 Exercices Calcule les quantités suivantes :
( 3 X 106 ) ÷ ( 1,5 X 104 ) = 2 X 102 ( 4 X 1034 ) ÷ ( 2 X 106 ) = 2 X 1028 ( 2,5 X 108 ) ÷ ( 5 X 103 ) = 5 X 104 Attention 2,5 ÷ 5 = 0,5 et 108 ÷ 103 = 105, mais 0,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10. Une des conditions de la notation scientifique : 1 ≤ a < 10 On doit donc terminer l’écriture : 0,5 X 105 = 5 X 104

44 Calcule les quantités suivantes :
( 2,8 X 107 ) ÷ ( 5 X 102 ) = 5,6 X 104 ( 1,02 X 108 ) ÷ ( 3,4 X 103 ) = 3 X 104 ( 1,5 X 106 ) ÷ ( 2 X 102 ) = 7,5 X 103 ( 8 X 106 ) ÷ ( 2 X 10-4 ) = 4 X 1010 Attention 8 X 106 ÷ 2 X 10-4 106 ÷ 10-4 = = = 1010 ( 2,4 X 1010 ) ÷ ( 3 X 10-2 ) = 8 X 1011 ( 1,2 X 10-6 ) ÷ ( 4 X 10-3 ) = 3 X 10-4

45 L’addition et la soustraction
Exemple : 4 X X 103 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale : Calculer : 2 000 + Reconvertir en notation scientifique : 4,02 X 105

46 Pour additionner et soustraire des nombres écrits en notation scientifique, la règle est quelque peu différente. Pendant le calcul, la condition 1 ≤ a < 10 ne s’applique pas. Il faut écrire les nombres avec la même puissance de 10. Exemple : 4 X X 103 Transformer le plus petit des nombres : 4 X ,02 X 105 On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10. 4 + 0,02 = 4,02 On récupère la puissance de 10 sans la modifier : 105 4 X ,02 X 105 On regroupe le tout : 4,02 X 105

47 Exercices 3 X ,5 X 104 = 3,015 X 106 2,5 X X 103 = 2,505 X 106 8,4 X ,3 X 104 = 8,17 X 105 1,6 X ,2 X 106 = - 5,184 X 106 La loi concernant l’addition et la soustraction de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique. Attention

48 Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée.
Exercices Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée. 1,25 X 105 km en m : 1,25 X 108 m Convertir des unités de mesures en utilisant la notation scientifique est simple et rapide, car selon le tableau des unités de longueur : km hm dam m dm cm mm par 10 pour chaque unité franchie. donc X 1 000 ou 103 1,25 X 105 X 103 = 1,25 X = 1,25 X 108 m

49 Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée.
Exercices Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée. 3,2 X 109 m3 en cm3 : 3,2 X 1015 cm3, car selon le tableau des unités de volume : km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 par pour chaque unité franchie. donc X ou 106 3,2 X 109 X 106 = 3,2 X = 3,2 X 1015 cm3

50 Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée.
Exercices Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée. 4,71 X 1012 m3 en km3 : 4,71 X 103 km3, car selon le tableau des unités de volume : km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 par pour chaque unité franchie. donc ÷ ou 109 4,71 X 1012 ÷ 109 = 4,71 X = 4,71 X 103 km3

51 Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée.
Exercices Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée. 2,7 X 109 m2 en hm2 : 2,7 X 105 hm2, car selon le tableau des unités de surface : km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 par 100 pour chaque unité franchie. donc ÷ ou 104 2,7 X 109 ÷ 104 = 2,7 X = 2,7 X 105 hm2