La relation de Pythagore

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1 La relation de Pythagore
Triangle rectangle : Un triangle est rectangle lorsque l’un des angles du triangle mesure 90°. Rappel : La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est toujours de 180°.

2 B Hypoténuse c a C A b Cathètes : chacun des côtés adjacents à l’angle de 900. Hypoténuse : est le côté d’un triangle rectangle opposé à l’angle de 900. C’est le côté le plus long du triangle.

3 Pythagore, philosophe et mathématicien grec, a établi la relation suivante dans les triangles rectangles.

4 Avec un triangle rectangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités,
on construit des carrés avec chacun des côtés. 25 On calcule l’aire de chacun. 5 3 9 On constate que la somme des aires des deux carrés formés avec les cathètes est égale à l’aire du carré formé avec l’hypoténuse. 4 16 = 25 soit = 52

5 c2 = a2 + b2 En remplaçant par des lettres c2 c a a2 b b2
Relation de Pythagore : Le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes. c2 = a2 + b2

6 Si tu cherches la mesure de l’hypoténuse (le plus long côté) :
b c c2 = a2 + b2 Si tu cherches la mesure d’une cathète : a2 = c2 - b2 b2 = c2 - a2 Attention : Une fois le calcul terminé, il faut extraire la racine carrée de la réponse.

7 Trouve les mesures manquantes dans les triangles suivants :
Exemples : Trouve les mesures manquantes dans les triangles suivants : Combien mesure l’hypoténuse? 1) 3 4 ? c2 = a2 + b2 a b c c2 = c2 = c2 = 25 c = 5 Réponse : La mesure manquante est de 5 unités ou 5u.

8 Combien mesure une cathète?
2) 33,15 cm A B C 18,42 cm ? a b c Combien mesure une cathète? b2 = c2 - a2 b2 = 33, ,422 b2 = 1098, ,2964 b2 = ,6261 b ≈ 27,5613 Réponse : m AC ≈ 27,56 cm

9 Comment vérifier si un triangle est rectangle en connaissant uniquement la mesure des trois côtés?
Réponse : Par la relation de Pythagore. Exemple : À partir des mesures données, vérifie si les triangles forment un triangle rectangle. Hypoténuse 1) 11 cm, 61 cm, 60 cm 2) 63 dm, 33 dm, 56 dm c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 612 = 632 = 3721 = 3969 = 3721 = 3721 3969 ≠ 4225 Réponse : Le triangle 1) est un triangle rectangle.

10 La relation de Pythagore peut s’écrire :
B A C b a c Remarque La relation de Pythagore peut s’écrire : - soit c = a b2 - soit (m AB) = (m BC) + (m AC) 2 300 600 D C E A B Cette écriture est un peu plus longue, mais plus précise pour une figure complexe.

11 Remarques - Un triangle est rectangle seulement si le problème le mentionne ou si tu es capable de le prouver. - La relation de Pythagore n’est vraie que dans les triangles rectangles.