18/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours.

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1 18/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours

2 18/09/07 Rappel du dernier cours Taux instantané de lintérêt ou force de lintérêt

3 18/09/07 Rappel du dernier cours Taux instantané de lintérêt ou force de lintérêt Taux instantané de lintérêt constant

4 18/09/07 Rappel du dernier cours Taux instantané de lintérêt ou force de lintérêt Taux instantané de lintérêt constant Date de comparaison

5 18/09/07 Rappel du dernier cours Taux instantané de lintérêt ou force de lintérêt Taux instantané de lintérêt constant Date de comparaison Diagramme dentrées et sorties

6 18/09/07 Rappel du dernier cours Taux instantané de lintérêt ou force de lintérêt Taux instantané de lintérêt constant Date de comparaison Diagramme dentrées et sorties Équation de valeur

7 18/09/07 Rappel du dernier cours Si nous connaissons la fonction daccumulation alors le taux instantané de lintérêt est

8 18/09/07 Rappel du dernier cours Si nous connaissons le taux instantané de lintérêt et le principal, alors nous pouvons déterminer la fonction daccumulation

9 18/09/07 Rappel du dernier cours Le montant dintérêt gagné pendant la période allant de 0 jusquau temps t Le montant dintérêt gagné pendant la période allant du temps t = a jusquau temps t = b est

10 18/09/07 Nous allons maintenant considérer des questions relatives au temps, à la durée dun prêt: échéance moyenne, duplication du capital

11 18/09/07 Échéance moyenne: Léchéance moyenne est le moment pour lequel un versement de respectivement payables aux moments est équivalent à n versements de

12 18/09/07 Échéance moyenne: (suite) Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant:

13 18/09/07 Échéance moyenne: (suite) Léquation de valeur avec comme date de comparaison t= 0: Rappelons que

14 18/09/07 Échéance moyenne: (suite) De ceci, nous obtenons que

15 18/09/07 Échéance moyenne: (suite) De ceci, nous obtenons que Donc

16 18/09/07 Échéance moyenne: (suite) Finalement

17 18/09/07 Échéance moyenne: (suite) Finalement Autre forme équivalente:

18 18/09/07 Dans cette dernière équation, désigne le taux instantané de lintérêt constant équivalent au taux dintérêt composé cest-à-dire

19 18/09/07 Échéance moyenne approché: Il est possible dapproximer la valeur de par léchéance moyenne approchée En effet,

20 18/09/07 Échéance moyenne approché: (suite) Pour démontrer cette formule, il faut utiliser la série binomiale si et développeren série

21 18/09/07 Exemple 1: Anastasia doit rembourser un prêt en faisant 4 versements : 1500$, 3500$, 3000$, 2500$ payable respectivement à la fin de la 5 e, 7 e, 8 e et 12 e année. Le taux dintérêt composé de ce prêt est 6% par année. Le total des versements de ce prêt est 10500$. Supposons quelle préfèrerait faire un seul versement de 10500$ pour rembourser ce prêt. Quand doit-elle faire ce remboursement?

22 18/09/07 Exemple 1: (suite) Nous devons calculer léchéance moyenne. Par ce qui précède, nous obtenons le diagramme suivant du flux financier

23 18/09/07 Exemple 1: (suite) Le taux dintérêt est

24 18/09/07 Exemple 1: (suite) Le taux dintérêt est Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est

25 18/09/07 Exemple 1: (suite) Nous obtenons que léchéance moyenne est alors soit environ après 8 ans, 13 jours, 21heures et 8 minutes.

26 18/09/07 Exemple 1: (suite) Par contre, nous obtenons que léchéance moyenne approchée est soit environ après 8 ans, 69 jours, 12heures et 34 minutes.

27 18/09/07 Remarque 1: Il est possible de montrer que nous avons toujours

28 18/09/07 Remarque 1: (suite) Linégalité est une conséquence de linégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique:

29 18/09/07 Duplication du capital: Combien faut-il de temps pour quun capital investi double?

30 18/09/07 Duplication du capital:(suite) Si nous investissons un capital de K dollars au taux dintérêt composé i, nous voulons déterminer le temps t nécessaire pour que la valeur accumulée après cette période soit 2K. En équation, nous avons

31 18/09/07 Duplication du capital:(suite) Après simplification, nous obtenons

32 18/09/07 Duplication du capital:(suite) Après simplification, nous obtenons En prenant le logarithme des deux côtés de légalité, nous obtenons

33 18/09/07 Duplication du capital:(suite) Après simplification, nous obtenons En prenant le logarithme des deux côtés de légalité, nous obtenons Finalement

34 18/09/07 Duplication du capital:(suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 72.

35 18/09/07 Duplication du capital:(suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 72. Plus précisément,

36 18/09/07 Exemple 2: Si le taux dintérêt composé est alors il faudra pour que le capital double Par la règle de 72, nous obtenons comme approximation

37 18/09/07 Triplication du capital: Combien faut-il de temps pour quun capital investi triple?

38 18/09/07 Triplication du capital: (suite) Nous pouvons procéder exactement comme pour la duplication du capital et obtenir que le temps nécessaire pour que le capital triple est

39 18/09/07 Duplication du capital:(suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 114.

40 18/09/07 Duplication du capital:(suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 114. Plus précisément,

41 18/09/07 Exemple 3: Si le taux dintérêt composé est alors il faudra pour que le capital triple Par la règle de 114, nous obtenons comme approximation

42 18/09/07 Nous allons maintenant considérer des questions relatives au taux dintérêt.

43 18/09/07 Situation 1: Considérons une situation très simple. Le flux financier a une seule entrée P et une seule sortie A. Nous connaissons la durée de la transaction n. Dans une telle situation, le diagramme dentrées et sorties est

44 18/09/07 Situation 1: (suite) Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = n est où

45 18/09/07 Situation 1: (suite) Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = n est où Nous obtenons facilement que

46 18/09/07 Situation 2: Considérons une situation plus complexe. Le flux financier a plusieurs entrées et plusieurs sorties. Nous connaissons les moments où ces montants sont versés. Dans une telle situation, léquation de valeurs nous permet décrire une équation de la forme après avoir transféré tous les termes dun coté de léquation de valeurs à lautre.

47 18/09/07 Pour résoudre ce type de questions, nous verrons deux méthodes dans le cours: Méthode de bissection Méthode de Newton-Raphson Nous allons maintenant expliquer la méthode de bissection. Nous verrons plus tard celle de Newton-Raphson.

48 18/09/07 Exemple 4: Déterminons le taux dintérêt dun prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme dentrées et sorties suivant:

49 18/09/07 Exemple 4: (suite) Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

50 18/09/07 Exemple 4: (suite) Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est En transférant tout vers la gauche, nous obtenons

51 18/09/07 Exemple 4: (suite) Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est En transférant tout vers la gauche, nous obtenons Nous pouvons noter que

52 18/09/07 Exemple 4: (suite) Donc la fonction au point milieu 5% pour savoir dans quel sous- intervalle se trouve le zéro. Nous répétons ensuite cet algorithme avec le sous-intervalle plus petit. a un zéro entre 4% et 6%. Nous subdivisons cet intervalle en deux, nous évaluons la fonction

53 18/09/07 Exemple 4: (suite) if(i)f(i) 4%-833.0496513 6%601.3797796 5%-148.4830568 5.5%218.011650 5.25%32.690028 5.125%-58.410764 5.1875%-12.989460 5.21875%9.817942 5.203125%-1.593838

54 18/09/07 Exemple 4: (suite) Donc nous pouvons conclure que le taux dintérêt recherché est approximativement 5.2%. Si nous voulons plus de précision, il faut poursuivre nos calculs dans le tableau précédent.