MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Quinzième cours ACT Cours 15

2 Rappel: Détermination des valeurs actuelle et accumulée d’une annuité de début de période pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l’intérêt ACT Cours 15

3 Rappel: Détermination des valeurs actuelle et accumulée d’une annuité de début de période pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l’intérêt Détermination des valeurs actuelle et accumulée d’une annuité continue ACT Cours 15

4 Rappel: Détermination des valeurs actuelle et accumulée d’une annuité de début de période pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l’intérêt Détermination des valeurs actuelle et accumulée d’une annuité continue Détermination des valeurs actuelle et accumulée d’une annuité pour laquelle les paiements forment une suite arithmétique ACT Cours 15

5 Rappel: Considérons une annuité de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par n: la durée de l’annuité en période de capitalisation, par i le taux d’intérêt par période de capitalisation et par i(m) le taux nominal d’intérêt équivalent à i. La valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité est notée par ACT Cours 15

6 Rappel: Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
où d est le taux d’escompte équivalent à i, d(m) est le taux nominal d’escompte équivalent à d. ACT Cours 15

7 Rappel: Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux d’escompte équivalent à i, d(m) est le taux nominal d’escompte équivalent à d. ACT Cours 15

8 Rappel: Si nous considérons une rente perpétuelle de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par i: le taux d’intérêt par période de capitalisation et par i(m): le taux nominal d’intérêt équivalent à i. Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux d’escompte équivalent à i, d(m) est le taux nominal d’escompte équivalent à d. ACT Cours 15

9 Rappel: Considérons une annuité pour laquelle un paiement de dt dollars est fait au temps t. Ces paiements sont faits continûment pendant n périodes de capitalisation. Le total des paiements faits pendant une période de capitalisation est 1. Le taux d’intérêt par période de capitalisation est le taux effectif d’intérêt i Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité par ACT Cours 15

10 Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
Rappel: Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où  est le taux instantané d’intérêt équivalent à i. ACT Cours 15

11 Rappel: Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où  est le taux instantané d’intérêt équivalent à i. ACT Cours 15

12 Rappel: Considérons une annuité ayant n paiements dont le premier est de P dollars et les paiements suivants sont obtenus en ajoutant Q dollars avec chaque paiement. Ces paiements sont faits en fin de période et nous supposerons que la période de paiement coïncide avec la période de capitalisation de l’intérêt. Ainsi le premier paiement est de P dollars, le deuxième est de (P + Q) dollars, le troisième est de (P + 2Q) dollars, ainsi de suite jusqu’au dernier au montant de (P + (n - 1)Q) dollars. Noter que Q peut être négatif. Tout ce que nous supposerons est que (P + (n - 1)Q) > 0. ACT Cours 15

13 Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:
Rappel: Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant: ACT Cours 15

14 La valeur actuelle est alors
Rappel: La valeur actuelle est alors ACT Cours 15

15 Rappel: La valeur accumulée à la fin de la ne période (au dernier paiement) de cette annuité formant une suite arithmétique est ACT Cours 15

16 Exemple 1: Anastasia a accumulé $. Elle veut acheter une rente versant à la fin de chaque mois R dollars pour la première année et avec chaque année, ce versement mensuel diminue de R/50 dollars. Le taux d’intérêt est le taux nominal d’intérêt i(12) = 6%. Le premier versement a lieu un mois après l’achat de la rente. La durée de la rente est de 20 ans. ACT Cours 15

17 Exemple 1: (suite) Les montants mensuels de la ke année sont de
Les paiements de cette annuité ne forment pas une suite arithmétique. Nous ne pouvons donc pas appliquer directement la formule vue plus précédemment pour calculer sa valeur actuelle. Cependant nous pouvons remplacer les 12 paiements d’une année par un paiement annuel équivalent. ACT Cours 15

18 Exemple 1: (suite) Les douze paiements mensuels de la ke année sont équivalents à un seul paiement en fin d’année égal à la valeur accumulée par ces 12 paiements. Ainsi ces douze paiements mensuels sont équivalents au paiement de à la fin de la ke année. ACT Cours 15

19 Exemple 1: (suite) Nous obtenons ainsi une annuité consistant en 20 paiements faits en fin d’année. Le ke paiement est Les paiements de cette annuité forment une suite arithmétique pour laquelle (avec nos notations précédentes) ACT Cours 15

20 Exemple 1: (suite) Pour poursuivre nos calculs, il nous faut déterminer le taux effectif d’intérêt i équivalent au taux nominal d’intérêt i(12) = 6%, parce que cette nouvelle annuité a des paiements annuels. Ce taux équivalent i est i = %. ACT Cours 15

21 Exemple 1: (suite) L’équation de valeur à t = 0 est
Nous obtenons que R = $. ACT Cours 15

22 Pour certaines annuités dont les paiements forment une suite arithmétique, il existe des notations particulières. Nous traiterons deux cas: Annuité croissante ACT Cours 15

23 Pour certaines annuités dont les paiements forment une suite arithmétique, il existe des notations particulières. Nous traiterons deux cas: Annuité croissante Annuité décroissante ACT Cours 15

24 Annuité croissante: Il s’agit d’une annuité de fin de période ayant n paiements, dont le premier est de 1$ et pour laquelle les paiements subséquents sont obtenus en additionnant 1$ avec chaque paiement. Il s’agit d’une annuité dont les paiements forment une suite arithmétique avec P = 1 et Q = 1 (selon nos notations précédentes) ACT Cours 15

25 Annuité croissante: (suite)
La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période de paiement est notée par La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période de paiement est notée par ACT Cours 15

26 Annuité croissante: (suite)
Nous obtenons en posant P = 1 et Q = 1 dans nos formules précédentes que et ACT Cours 15

27 Annuité décroissante:
Il s’agit d’une annuité de fin de période ayant n paiements, dont le premier est de n dollars et pour laquelle les paiements subséquents sont obtenus en soustrayant 1$ avec chaque paiement. Il s’agit d’une annuité dont les paiements forment une suite arithmétique avec P = n et Q = -1 (selon nos notations précédentes) ACT Cours 15

28 Annuité décroissante: (suite)
La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période de paiement est notée par La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période de paiement est notée par ACT Cours 15

29 Annuité décroissante: (suite)
Nous obtenons en posant P = n et Q = -1 dans nos formules précédentes que et ACT Cours 15

30 Exemple 2: Barnabé a emprunté $. Le taux d’intérêt du prêt est le taux effectif i = 7% par année. Il rembourse ce prêt en faisant 12 paiements à la fin de chaque année. Le premier paiement est de R dollars fait un an après le prêt. Le deuxième est de 2R dollars, le troisième est de 3R dollars et ainsi de suite jusqu’au sixième paiement inclusivement, chaque paiement subséquent augmentant de R dollars. Le septième paiement est de 6R dollars, le huitième paiement est de 5R dollars, et ainsi de suite jusqu’au douzième paiement inclusivement, chaque paiement subséquent diminuant de R dollars. Le douzième paiement est de R dollars. Déterminons R. ACT Cours 15

31 Exemple 2: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:
ACT Cours 15

32 Exemple 2: (suite) L’équation de valeur à t = 0 est c’est-à-dire
Donc R = $. ACT Cours 15

33 Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquels les paiements sont en progression géométrique ACT Cours 15

34 Annuité en progression géométrique:
Considérons une annuité de fin de période ayant n paiements, dont le premier est de 1$ et pour laquelle les paiements forment une progression géométrique de raison (1 + k), où k > -1, c’est-à-dire les paiements sont obtenus en multipliant successivement le paiement précédent par (1 + k) . ACT Cours 15

35 Annuité en progression géométrique: (suite)
Ainsi le premier paiement est de 1 dollar, le second est de (1 + k) dollars, le troisième est de (1 + k)2 dollars et ainsi de suite. Le me paiement est de (1 + k)(m - 1) dollars. Le dernier paiement est de (1 + k)(n - 1). ACT Cours 15

36 Annuité en progression géométrique: (suite)
Dans ce qui suivra, nous noterons par i: le taux d’intérêt par période de paiement, par L: la valeur actuelle de cette annuité au début de la première période et par X: la valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période. ACT Cours 15

37 Annuité en progression géométrique: (suite)
Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant: ACT Cours 15

38 Annuité en progression géométrique: (suite)
Nous obtenons algébriquement que la valeur actuelle L est ACT Cours 15

39 Annuité en progression géométrique: (suite)
Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant: ACT Cours 15

40 Annuité en progression géométrique: (suite)
Nous obtenons algébriquement que la valeur accumulée X est ACT Cours 15