29/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-quatrième cours.

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1 29/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-quatrième cours

2 29/11/07 Rappel du dernier cours Formule basique du prix dune obligation

3 29/11/07 Rappel du dernier cours Formule basique du prix dune obligation Formule Prime/escompte du prix dune obligation

4 29/11/07 Rappel du dernier cours Formule basique du prix dune obligation Formule Prime/escompte du prix dune obligation Formule du montant de base du prix dune obligation

5 29/11/07 Rappel du dernier cours Formule basique du prix dune obligation Formule Prime/escompte du prix dune obligation Formule du montant de base du prix dune obligation Formule de Makeham du prix dune obligation

6 29/11/07 Rappel du dernier cours Formule basique du prix dune obligation Formule Prime/escompte du prix dune obligation Formule du montant de base du prix dune obligation Formule de Makeham du prix dune obligation Valeur comptable dune obligation

7 29/11/07 Rappel du dernier cours Formule basique du prix dune obligation Formule Prime/escompte du prix dune obligation Formule du montant de base du prix dune obligation Formule de Makeham du prix dune obligation Valeur comptable dune obligation Amortissement dune obligation

8 29/11/07 Rappel: La formule basique pour le prix dune obligation est

9 29/11/07 Rappel: La formule prime/escompte pour le prix dune obligation est

10 29/11/07 Rappel: La formule du montant de base pour le prix dune obligation est

11 29/11/07 Rappel: La formule de Makeham pour le prix dune obligation est

12 29/11/07 Rappel: Si P > C, nous disons que lobligation est vendue à prime. Si P < C, alors nous disons que lobligation est vendue à escompte.

13 29/11/07 Rappel de notations: la valeur comptable de lobligation après le versement du k e coupon sera notée par B k la portion dintérêt du k e coupon sera notée par I k lajustement à être apporté à la valeur comptable de lobligation dans le k e coupon sera notée P k

14 29/11/07 Rappel: Si lobligation a n versements de coupon, alors B 0 = P et B n = C.

15 29/11/07 Rappel: La valeur comptable B k immédiatement après le k e coupon est obtenue en utilisant une des formules (formule basique ou encore formule prime/escompte ou les deux autres) du prix de lobligation au taux de rendement i obtenu lors de lachat de lobligation. Il faut considérer la somme des valeurs actuelles des coupons et de la valeur de remboursement.

16 29/11/07 Rappel: La portion dintérêt I k du k e coupon est iB (k- 1). Cest ce que doit nous rapporter lobligation pour une période au taux i. Lajustement P k à apporter à la valeur comptable dans le k e coupon est P k = Fr - I k. Nous avons B k = B k-1 - P k.

17 29/11/07 Considérons maintenant la table damortissement dune obligation dont la valeur de remboursement C = 1$ et les montants des coupons sont égaux. Par la définition de taux modifié dintérêt, les coupons sont au montant de g dollars. Le prix de lobligation est (1 + p) dollars, où p peut être négatif ou positif.

18 29/11/07 À cause de la formule prime/escompte, nous avons où i est le taux de rendement.

19 29/11/07 Mais nous aurions aussi pu utiliser la formule basique et obtenir où i est le taux de rendement.

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21 Exemple 1: Considérons lobligation 5.625 May 08n du Département du Trésor américain achetée le 22 novembre 2004 au prix de 107.80 pour un taux de rendement de 1.625% par six mois. Le coupon est de 5.625/2 = 2.8125$ à chaque semestre. La table damortissement est alors

22 29/11/07 Période de capitalisation CouponIntérêt I k Ajustement P k Valeur comptable B k 0107.80 12.81251.751751.06075106.74 22.81251.7345251.077975105.66 32.81251.7169751.095525104.56 42.81251.69911.1134103.45 52.81251.68106251.1314375102.32 62.81251.66271.1498101.17 72.81251.64401251.1684875100

23 29/11/07 Exemple 2: Considérons une obligation dont la valeur nominale est 1000$, la valeur de remboursement de 1100$, le taux facial est de 5% par année et les coupons sont versés une fois par année. La durée de vie de cette obligation est de 7 ans. Celle-ci est achetée pour obtenir un rendement de 6% par année. Déterminons son prix et sa table damortissement. Le coupon est de 1000 (0.05) = 50$ à chaque année.

24 29/11/07 Exemple 2: (suite) En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix Cette obligation est achetée à escompte, car son prix P = 1010.68 est inférieur à sa valeur de remboursement C = 1010.

25 29/11/07 Période de capitalisation CouponIntérêt I k Ajustement P k Valeur comptable B k 01010.68 15060.6408-10.64081021.32 25061.2792-11.27921032.60 35061.956-11.9561044.56 45062.6736-12.67361057.23 55063.4338-13.43381070.66 65064.2396-14.23961084.90 75065.094-15.0941010

26 29/11/07 Dans lexemple précédent, si nous voulons calculer la valeur comptable B 4, nous utilisons la formule basique et obtenons puisquil reste 3 périodes de capitalisation et 3 coupons de 50$. Donc

27 29/11/07 Nous aurions aussi pu calculer cette valeur comptable B 4, retrospectivement. Dans ce cas nous utilisons la valeur accumulée du prix au taux de rendement à la date du 4 e coupon, auquel nous soustrayons la somme des valeurs accumulées des coupons versés à la même date, à savoir celle du 4 e coupon. Il faut inclure le 4 e coupon. Donc

28 29/11/07 Ainsi nous avons deux approches pour calculer la valeur comptable B k dune obligation: prospectivement ou encore rétrospectivement.

29 29/11/07 Prospectivement il suffit dutiliser une des formules du prix pour calculer la somme des valeurs actuelles des (n - k) coupons non versés et la valeur actuelle de la valeur de remboursement pour ( n - k ) périodes de capitalisation. Ces calculs sont faits avec le taux de rendement i obtenu lors de lachat

30 29/11/07 Rétrospectivement il suffit de calculer la valeur accumulée du prix dachat P de lobligation après le k e coupon, auquel nous soustrayons la somme des valeurs accumulées des k premiers coupons. Ces calculs sont faits avec le taux de rendement i obtenu lors de lachat

31 29/11/07 Exemple 3: Reprenons lexemple 1 du 23 e cours. Considérons une obligation dont la valeur nominale est 75000$ dune durée de vie de 15 ans ayant des coupons semestriels au taux facial: le taux nominal de 8% par année capitalisée semestriellement et qui sera remboursé à 78000$ si cette obligation est achetée pour que le taux de rendement soit 10% par année capitalisé semestriellement.

32 29/11/07 Exemple 3: (suite) Avec nos notations précédentes, nous avons F = 75000$ C = 78000$ r = 8%/2 = 4% par semestre n = 15 x 2 = 30 semestres i = 10%/2 = 5% par semestre Nous avons aussi calculé le prix P = 64164.79$

33 29/11/07 Exemple 3: (suite) Déterminons la valeur comptable B 17 immédiatement après le 17 e coupon, la portion dintérêt I 18 de la 18 e période et lajustement à apporter P 18 à la valeur comptable au 18 e coupon.

34 29/11/07 Exemple 3: (suite) Prospectivement nous obtenons que Rétrospectivement nous obtenons que

35 29/11/07 Exemple 3: (suite) La portion dintérêt I 18 de la 18 e période est Lajustement P 18 à apporter à la valeur comptable est

36 29/11/07 Exemple 3: (suite) Conséquemment la valeur comptable à la fin de la 18 e période est B 18 = B 17 - P 18 = 69545.78 - (-477.29) = 70023.07. Nous pourrions vérifier aussi ceci. Prospectivement ou encore rétrospectivement

37 29/11/07 Lorsque les coupons de lobligation sont égaux, nous pouvons remarquer que les ajustements P k de la valeur comptable forment une suite géométrique de raison (1 + i).

38 29/11/07 Lamortissement est tout à fait similaire à ce qui se produit pour lamortissement des prêts. Lorsque les coupons sont égaux pour lobligation et que les paiements sont égaux pour le prêt. La valeur comptable de lobligation au k e coupon est similaire au solde restant du prêt après le k e paiement. La portion dintérêt de la k e période pour lobligation correspond à la portion dintérêt du k e paiement.

39 29/11/07 Finalement lajustement pour lobligation est similaire à la portion de principal. Cependant pour lobligation, lajustement peut être négatif ou positif; alors que la portion de principal pour les prêts est toujours positive.

40 29/11/07 Nous avons décrit jusquà maintenant la méthode actuarielle pour la construction de la table damortissement de lobligation. Il existe une seconde méthode beaucoup plus simple: la méthode linéaire.

41 29/11/07 Dans la méthode linéaire, lajustement à apporter à chaque valeur comptable est constant à chaque période et est égal à sil y a n coupons. La portion dintérêt de chaque coupon est constante et égale à Fr - P k = Fr - [(P-C)/n].

42 29/11/07 Exemple 4: Reprenons lexemple de lobligation 5.625 May 08n du Département du Trésor américain considérée à lexemple 1. Cette obligation achetée le 22 novembre 2004 au prix de 107.80 pour un taux de rendement de 1.625% par six mois. Le coupon est de 5.625/2 = 2.8125$ à chaque semestre. Dans ce cas, lajustement sera toujours (107.80 - 100)/7 = 1.1143$ La table damortissement est alors

43 29/11/07 Période de capitalisation CouponAjustement P k Valeur comptable B k 0107.80 12.81251.1143106.69 22.81251.1143105.58 32.81251.1143104.47 42.81251.1143103.36 52.81251.1143102.25 62.81251.1143101.11 72.81251.1143100

44 29/11/07 Nous allons maintenant considérer le prix dune obligation entre des paiements de coupon. Avant danalyser plus en détail ceci, nous allons illustrer ce prix en faisant lhypothèse que le taux de rendement demeure constant pour toute la durée de vie de lobligation.

45 29/11/07 Considérons le prix P(x) dune obligation au moment x de sa durée de vie dont les valeurs nominale et de remboursement sont de 100$, le taux facial est r = 4% par période de capitalisation, dune durée de vie de 8 périodes de capitalisation en supposant que le taux de rendement est 6% par période de capitalisation. Ici x est compris entre 0 et 8.

46 29/11/07 Alors P(x) est obtenu prospectivement en considérant la somme des valeurs actuelles des coupons de 4$ et de la valeur actuelle de la valeur de remboursement de 100$. Nous obtenons donc que Nous avons illustré cette fonction sur le graphe suivant:

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48 Notons quil y a un saut à chaque x égal à un entier et il est égal à -4. En effet,

49 29/11/07 À cause de ces sauts, il est nécessaire de considérer deux prix: le prix uniforme (« flat price ») et le prix du marché (« market price ») ou encore la valeur comptable de lobligation.