MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Sixième cours ACT Cours 6

2 Rappel: Échéance moyenne ACT Cours 6

3 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée ACT Cours 6

4 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée
Duplication du capital ACT Cours 6

5 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée
Duplication du capital Règle de 72 ACT Cours 6

6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée
Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital ACT Cours 6

7 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée
Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital Règle de 114 ACT Cours 6

8 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée
Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital Règle de 114 Méthode de bissection ACT Cours 6

9 Exemple 1: Dans un prêt, Antoine emprunte 10000$ à Barnabé. Il remboursera ce prêt en faisant trois versements: le premier au montant de 4000$ à la fin de la 3e année, le second au montant de 5000$ à la fin de la 4e année et 3000$ à la fin de la 6e année. Déterminer le taux d’intérêt par la méthode de bissection. ACT Cours 6

10 Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:
Exemple 1: (suite) Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT Cours 6

11 Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:
Exemple 1: (suite) Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: L’équation de valeur à la date de comparaison t = 6 est 10000(1 + i)6 = 4000(1 + i) (1 + i) ACT Cours 6

12 f(i) = 10000(1 + i)6 - 4000(1 + i)3 - 5000(1 + i)2 - 3000 = 0
Exemple 1: (suite) Cette équation de valeur 10000(1 + i)6 = 4000(1 + i) (1 + i) peut être réécrite sous la forme f(i) = 10000(1 + i) (1 + i) (1 + i) = 0 ACT Cours 6

13 f(x) = 10000(1 + x)6 - 4000(1 + x)3 - 5000(1 + x)2 - 3000
Exemple 1: (suite) Ainsi le taux d’intérêt recherché est un zéro de la fonction f(x) = 10000(1 + x) (1 + x) (1 + x) ACT Cours 6

14 a < b tels que f(a) et f(b)
Exemple 1: (suite) Pour utiliser la méthode de bissection, il nous faut premièrement déterminer deux nombres a < b tels que f(a) et f(b) sont de signes opposés. ACT Cours 6

15 a < b tels que f(a) et f(b)
Exemple 1: (suite) Pour utiliser la méthode de bissection, il nous faut premièrement déterminer deux nombres a < b tels que f(a) et f(b) sont de signes opposés. Ici nous procédons par tatonnement pour trouver deux tels nombres a et b. ACT Cours 6

16 Exemple 1: (suite) En évaluant la fonction f aux deux taux d’intérêt: 4.3% par année et 4.9% par année, nous remarquons que f(4.3%) = et f(4.9%) = ACT Cours 6

17 Exemple 1: (suite) En évaluant la fonction f aux deux taux d’intérêt: 4.3% par année et 4.9% par année, nous remarquons que f(4.3%) = et f(4.9%) = Conséquemment la fonction f aura un zéro entre 4.3% et 4.9%. Ceci est la première étape de la méthode de bissection. ACT Cours 6

18 Exemple 1: (suite) Nous aurons pu prendre d’autres valeurs que 4.3% et 4.9%. Cependant il est important de vérifier que la fonction f évaluée à ces valeurs connait un changement de signe. ACT Cours 6

19 La deuxième étape de la méthode est de calculer le point milieu
Exemple 1: (suite) La deuxième étape de la méthode est de calculer le point milieu du segment [a, b] et d’évaluer la fonction f à ce point milieu. ACT Cours 6

20 Dans notre cas, nous avons que le point milieu est
Exemple 1: (suite) Dans notre cas, nous avons que le point milieu est et la fonction f évaluée à ce point milieu est f(4.6%) = 49.19 ACT Cours 6

21 Exemple 1: (suite) Comme f n’a pas le même signe lorsque évaluée à a et à b, alors seulement une et une seule des extrémités du segment [a, b]: a ou b est telle que lorsque nous évaluons à la fonction f à ce point, cette valeur a un signe différent de celui de ACT Cours 6

22 Exemple 1: (suite) Si f(a) et f((a + b)/2) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: a et (a + b)/2 . ACT Cours 6

23 Exemple 1: (suite) Si f(a) et f((a + b)/2) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: a et (a + b)/2 . Si f((a + b)/2) et f(b) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: (a + b)/2 et b . ACT Cours 6

24 Exemple 1: (suite) Nous avons dans notre exemple
f(4.3%) = , f(4.9%) = , f(4.6%) = 49.19 Comme f prend des valeurs de signes différents à 4.3% et 4.6%, nous poursuivons la méthode en répétant l’étape 2 mais avec le segment [4.3%, 4.6%]. ACT Cours 6

25 Exemple 1: (suite) Nous avons le tableau suivant x f(x) 4.3% -103.98
4.9% 205.27 4.6% = (4.3% + 4.9%)/2 49.19 4.45% = (4.3% + 4.6%)/2 -27.76 4.525% = (4.45% + 4.6%)/2 10.63 ACT Cours 6

26 Exemple 1: (suite) Nous avons le tableau suivant x f(x)
4.4875% = (4.45% %)/2 -8.59 % = (4.4875% %)/2 1.01 % = (4.4875% %)/2 -3.79 % = ( % %)/2 -1.39 % = ( % %)/2 -0.19 ACT Cours 6

27 Exemple 1: (suite) Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le taux d’intérêt recherché est approximativement i ≈ 4.50% ACT Cours 6

28 Exemple 1: (suite) Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le taux d’intérêt recherché est approximativement i ≈ 4.50% Du tableau, nous ne pouvons être plus précis pour la décimale suivante (celle de millième), c’est-à-dire tout ce que nous savons concernant le taux d’intérêt i est que % < i <  % ACT Cours 6

29 Exemple 1: (suite) Mais nous ne pouvons pas pour l’instant répondre si
i ≈ 4.503%, i ≈ 4.504%, i ≈ 4.505%, i ≈ 4.506% ACT Cours 6

30 Exemple 1: (suite) Mais nous ne pouvons pas pour l’instant répondre si
i ≈ 4.503%, i ≈ 4.504%, i ≈ 4.505%, i ≈ 4.506% Pour être en mesure de préciser cette troisième décimale, il aurait fallu poursuivre la méthode jusqu’au moment où celle-ci, la troisième décimale, ne changerait plus avec les étapes subséquentes. En poursuivant, nous obtiendrions le taux d’intérêt i = % ACT Cours 6

31 Pour clore ce chapitre, il nous reste à considérer les différentes façons de mesurer le temps dans le cas de prêt ou de placement de courte durée. ACT Cours 6

32 Méthode « actuel/actuel »:
Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour la durée du prêt ou de l’investissement et une année est de 365 jours. Ainsi ACT Cours 6

33 Méthode « 30/360 »: Le temps t est déterminé par la convention que chaque mois a 30 jours et chaque année 360 jours où A1 (resp. A2) est l’année du début (resp. de la fin) de l’investissement, M1 (resp. M2) est le mois du début (resp. de la fin) de l’investissement et J1 (resp. J2) est le jour du début (resp. de la fin) de l’investissement. ACT Cours 6

34 Méthode « actuel/360 » ou règle du banquier:
Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour la durée du prêt ou de l’investissement et une année est de 360 jours. Ainsi ACT Cours 6

35 Remarque 1: L’intérêt est capitalisé seulement pour le premier ou le dernier jour d’un placement, mais pas les deux. Pour une année bissextile, le 29 février est compté dans certains cas et pas dans d’autres. Pour une année bissextile, l’année a 366 jours dans certains cas et 365 dans d’autres. ACT Cours 6

36 Exemple 2: Déterminons l’intérêt versé dans le cas d’un placement rémunéré au taux d’intérêt simple de 5% par année si 7800$ est investi le 20 juin 2003 et retiré le 17 janvier 2004 selon chacune des méthodes précédentes. ACT Cours 6

37 Exemple 2: (suite) Méthode « actuel/actuel »:
Il y a entre le 20 juin 2003 et le 17 janvier 2004: 211 jours (10 jours en juin 2003; 31 jours en juillet, août, octobre, décembre; 30 jours en septembre, novembre; 17 jours en janvier). Ainsi et l’intérêt versé est ACT Cours 6

38 Méthode « 30/360 »: Dans ce cas, nous avons
Exemple 2: (suite) Méthode « 30/360 »: Dans ce cas, nous avons et l’intérêt versé est ACT Cours 6

39 Méthode « actuel/360 »: Dans ce cas,
Exemple 2: (suite) Méthode « actuel/360 »: Dans ce cas, et l’intérêt versé est ACT Cours 6

40 CHAPITRE III Annuités simples
ACT Cours 6

41 Définition 1: Une annuité est une série de paiements (souvent égaux) faits à des intervalles de temps égaux. Parfois on parle de rente au lieu d’annuité. ACT Cours 6

42 Types d’annuité: Annuités certaines ACT Cours 6

43 Types d’annuité: Annuités certaines Annuités éventuelles
ACT Cours 6

44 La période de paiement d’une annuité est l’intervalle entre deux paiements.
ACT Cours 6

45 Qu’entendons-nous par le terme simple dans le titre du chapitre?
Nous allons supposer que les paiements de l’annuité sont tous égaux ACT Cours 6

46 Qu’entendons-nous par le terme simple dans le titre du chapitre?
Nous allons supposer que les paiements de l’annuité sont tous égaux la période de capitalisation de l’intérêt coïncide avec la période de paiement de l’annuité ACT Cours 6

47 Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. ACT Cours 6

48 Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. Nous dirons que c’est une annuité simple constante de fin de période. En anglais, ceci est dénommé « annuities-immediate ». ACT Cours 6

49 La valeur actuelle (c’est-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par
ACT Cours 6

50 La valeur actuelle (c’est-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par
La valeur accumulée (c’est-à-dire à la fin de la dernière période) de cette annuité sera notée par ACT Cours 6

51 La valeur actuelle (c’est-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par
La valeur accumulée (c’est-à-dire à la fin de la dernière période) de cette annuité sera notée par Nous laisserons tomber l’indice i de ces notations lorsqu’il n’y aura aucune confusion sur ce qu’est le taux d’intérêt i. ACT Cours 6

52 Nous avons alors le diagramme d’entrées et sorties suivant:
ACT Cours 6

53 Calcul de la valeur actuelle de l’annuité:
Nous obtenons que ACT Cours 6

54 Calcul de la valeur actuelle de l’annuité:
Nous obtenons que En utilisant la formule connue suivante: ACT Cours 6

55 Calcul de la valeur actuelle: (suite)
Nous obtenons que ACT Cours 6

56 Exemple 3: Zénon fait l’achat d’une moto et finance son achat en empruntant 12000$. Dans la première option pour le prêt, il fera 24 paiements mensuels égaux et le taux nominal d’intérêt est i(12) = 9% par année capitalisé mensuellement . Dans la deuxième option pour le prêt, il fera 36 paiements mensuels égaux et le taux nominal d’intérêt est i(12) = 10% par année capitalisé mensuellement. Dans les deux options, les paiements débuteront un mois après l’achat. Déterminer le paiement mensuel, ainsi que le montant total d’intérêt payé pour chacune des options. ACT Cours 6

57 Exemple 3: (suite) Dans la première option, le taux d’intérêt par mois est i = i(12)/12 = 9%/12 = 0.75% ACT Cours 6

58 Exemple 3: (suite) Dans la première option, le taux d’intérêt par mois est i = i(12)/12 = 9%/12 = 0.75% Ici il ne faut pas confondre le taux d’intérêt i par mois avec le taux effectif d’intérêt par année! ACT Cours 6

59 Le diagramme d’entrées et sorties est
Exemple 3: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est où le paiement mensuel est noté par P1 ACT Cours 6

60 L’équation de valeur est
Exemple 3: (suite) L’équation de valeur est où ACT Cours 6

61 Exemple 3: (suite) Donc le paiement mensuel est P1 = 548.22 $
et le montant total d’intérêt est 24(548.22) = $ ACT Cours 6

62 Exemple 3: (suite) Dans la deuxième option, le taux d’intérêt par mois est i = i(12)/12 = 10%/12 = % ACT Cours 6

63 Exemple 3: (suite) Dans la deuxième option, le taux d’intérêt par mois est i = i(12)/12 = 10%/12 = % Là aussi il ne faut pas confondre le taux d’intérêt i par mois avec le taux effectif d’intérêt par année! ACT Cours 6

64 Le diagramme d’entrées et sorties est
Exemple 3: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est où le paiement mensuel est noté par P2 ACT Cours 6

65 L’équation de valeur est
Exemple 3: (suite) L’équation de valeur est où ACT Cours 6

66 Exemple 3: (suite) Donc le paiement mensuel est P2 = 387.21 $
et le montant total d’intérêt est 36(387.21) = $ ACT Cours 6