MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Deuxième cours ACT Cours 2

2 Rappel: Intérêt ACT Cours 2

3 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation ACT Cours 2

4 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d’accumulation
ACT Cours 2

5 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d’accumulation
Taux effectif de l’intérêt ACT Cours 2

6 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d’accumulation
Taux effectif de l’intérêt Intérêt simple ACT Cours 2

7 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d’accumulation
Taux effectif de l’intérêt Intérêt simple Intérêt composé ACT Cours 2

8 Rappel: Pour l’intérêt simple, la fonction de capitalisation est
et la fonction d’accumulation est ACT Cours 2

9 Rappel: Pour l’intérêt composé, la fonction de capitalisation est
et la fonction d’accumulation est ACT Cours 2

10 Considérons maintenant quelques exemples pour illustrer les concepts d’intérêt simple et d’intérêt composé ACT Cours 2

11 Exemple 1: La valeur accumulée par un capital de 7 500$ investi pendant 3 mois au taux d’intérêt simple de 6% par année est égale à Notons que la période de 3 mois correspond à la valeur t = 3/12 = 0.25 ACT Cours 2

12 Exemple 2: Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% par année d’intérêt composé pour 4 ans. Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année d’intérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant le montant accumulé à la fin de la 9e année ACT Cours 2

13 Exemple 2: Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% par année d’intérêt composé pour 4 ans. Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année d’intérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant le montant accumulé à la fin de la 9e année le montant d’intérêt gagné pendant la 7e année ACT Cours 2

14 Calcul du montant accumulé
Le montant accumulé après 4 ans sera ACT Cours 2

15 Calcul du montant accumulé
Le montant accumulé après 4 ans sera Le montant accumulé après 9 ans sera ACT Cours 2

16 Calcul du montant d’intérêt
Le montant accumulé après 7 ans sera ACT Cours 2

17 Calcul du montant d’intérêt
Le montant accumulé après 7 ans sera Le montant accumulé après 6 ans sera ACT Cours 2

18 Calcul du montant d’intérêt
Le montant accumulé après 7 ans sera Le montant accumulé après 6 ans sera Le montant d’intérêt gagné pendant la 7e année sera ACT Cours 2

19 Comparaison: Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les cas de l’intérêt simple et de l’intérêt composé pour le même taux i, nous obtenons le graphique suivant ACT Cours 2

20 ACT Cours 2

21 Nous avons ACT Cours 2

22 Nous avons et ACT Cours 2

23 Jusqu’à maintenant nous avons considéré la valeur accumulée d’un placement, mais il est aussi important de considérer la valeur actuelle d’un capital futur. On dit aussi la valeur présente ou encore la valeur escomptée. ACT Cours 2

24 Exemple 3: Bobby veut investir un capital dans un compte d’épargne rémunéré au taux d’intérêt composé de 4% par année pour 6 ans et au terme de la sixième année avoir $. Quel est le capital qu’il doit investir? ACT Cours 2

25 Solution: Notons ce capital par k. Nous avons maintenant l’équation
ACT Cours 2

26 Solution: Notons ce capital par k. Nous avons maintenant l’équation
Donc k = (1.04)-6 = $ ACT Cours 2

27 Le facteur d’accumulation est (1 + i)
Notation: Le facteur d’accumulation est (1 + i) ACT Cours 2

28 Le facteur d’accumulation est (1 + i)
Notation: Le facteur d’accumulation est (1 + i) Le facteur d’escompte est ACT Cours 2

29 Définition de la fonction d’actualisation
Cette fonction correspond à la valeur actuelle d’un capital de 1$ payable au temps t Remarque: Si nous voulons connaitre la valeur actuelle d’un capital de k dollars après une période de temps t, il suffit de multiplier cette fonction d’actualisation par k. ACT Cours 2

30 Formule: Si nous connaissons la fonction de capitalisation a(t), alors la fonction d’actualisation a-1(t) est obtenue en divisant par la fonction de capitalisation: ACT Cours 2

31 Dans le cas de l’intérêt simple, la fonction d’actualisation est
Exemple 4: Dans le cas de l’intérêt simple, la fonction d’actualisation est ACT Cours 2

32 Dans le cas de l’intérêt composé, la fonction d’actualisation est
Exemple 4 (suite): Dans le cas de l’intérêt composé, la fonction d’actualisation est ACT Cours 2

33 Propriétés anticipées de la fonction d’actualisation:
Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar ACT Cours 2

34 Propriétés anticipées de la fonction d’actualisation:
Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar Décroissance par rapport au taux d’intérêt. Si le taux d’intérêt augmente, il nous faut moins de principal à investir pour obtenir à terme 1 dollar ACT Cours 2

35 Exemple 5: (Obligation sans coupon)
Si le taux effectif d’intérêt est de 5% par année, quel est le prix d’obligation sans coupon dont la valeur à l’échéance est de 25000$ et l’échéance est dans 7 ans? ACT Cours 2

36 Solution: Nous voulons calculer la valeur actuelle de 25000$ payable dans 7 ans au taux effectif d’intérêt de 5% par année. Nous obtenons 25000 (1.05)-7 = $ ACT Cours 2

37 Voyons maintenant une autre mesure de l’intérêt: taux effectif d’escompte
ACT Cours 2

38 Taux effectif d’escompte pour la 1e période:
Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période. ACT Cours 2

39 Taux effectif d’escompte pour la 1e période:
Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période. En formule, nous obtenons ACT Cours 2

40 Taux effectif d’escompte pour la ne période:
Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la ne période sur le montant accumulé à la fin de la ne période. En formule, nous obtenons ACT Cours 2

41 Si nous connaissons les taux effectifs d’escompte pour toutes les périodes, de la 1e à la ne , et le capital initial, alors nous pouvons calculer le montant accumulé à la fin de la ne période, i.e. A(n) ACT Cours 2

42 En effet, ACT Cours 2

43 En effet, et ainsi de suite. ACT Cours 2

44 Finalement nous obtenons la valeur accumulée:
ACT Cours 2

45 Finalement nous obtenons la valeur accumulée:
ainsi que la valeur actuelle ACT Cours 2

46 Exemple 6: Dans un placement, le taux effectif d’escompte est de 5% pour la première année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75% pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année. Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans? ACT Cours 2

47 Exemple 6: Dans un placement, le taux effectif d’escompte est de 5% pour la première année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75% pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année. Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans? Quel est le principal à investir si nous voulons accumuler 10000$ après 4 ans? ACT Cours 2

48 Solution: (a) Nous voulons calculer la valeur accumulée après 5 ans. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera 8000(0.95)-1(0.945)-1(0.94)-1(0.9425)-1(0.9475)-1 = $ ACT Cours 2

49 Solution: (b) Nous voulons calculer la valeur actuelle de payable à la fin de la 4e année. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera 10000(0.95)(0.945)(0.94)(0.9425) = $ ACT Cours 2

50 Équivalence de taux: Deux taux d’intérêt ou d’escompte sont dits équivalents si les valeurs accumulées d'un même principal investi pendant une période à ces deux taux sont égales. ACT Cours 2

51 Équivalence de taux: (approche équivalente)
Deux taux d’intérêt ou d’escompte sont dits équivalents si les valeurs actuelles d'un même capital à la fin d’une période à ces deux taux sont égales. ACT Cours 2

52 Équivalence des taux d’intérêt et d’escompte
Étant donné le taux d’escompte d , alors le taux d’intérêt i équivalent est ACT Cours 2

53 Explication de la formule:
Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est (1 - d) ACT Cours 2

54 Explication de la formule (suite) :
Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) ACT Cours 2

55 Explication de la formule (suite) :
Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) Capital accumulé à la fin de la période: ACT Cours 2

56 Explication de la formule (suite) :
Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) Capital accumulé à la fin de la période: Intérêt: d ACT Cours 2

57 Explication de la formule (suite) :
Donc ACT Cours 2

58 Équivalence des taux d’intérêt et d’escompte
Étant donné le taux d’intérêt i, alors le taux d’escompte d équivalent est ACT Cours 2

59 Explication de la formule:
Considérons un capital de 1 dollar investi au début de la période. Dans ce cas, sa valeur accumulée est (1 + i) à la fin de la période ACT Cours 2

60 Explication de la formule (suite) :
Nous avons Capital investi au début de la période: ACT Cours 2

61 Explication de la formule (suite) :
Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i) ACT Cours 2

62 Explication de la formule (suite) :
Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i) Intérêt: i ACT Cours 2

63 Explication de la formule (suite) :
Donc ACT Cours 2

64 Exemple 7: Si le taux effectif d’escompte est de 2.25% par année, alors le taux effectif d’intérêt équivalent est soit %. ACT Cours 2

65 Exemple 8: Si le taux effectif d’intérêt est de 5% par année, alors le taux effectif d’escompte équivalent est soit %. ACT Cours 2

66 Nous allons illustrer la formule
Exemple 9: Nous allons illustrer la formule au moyen d’un exemple numérique. ACT Cours 2

67 Supposons que nous voulons prêter 10000$ au taux effectif d’escompte de 6% par année et qu’il y a autant d’emprunteurs que nous le désirons. ACT Cours 2

68 Le premier emprunteur recevra 10000(1 - 0
Le premier emprunteur recevra 10000( ) = 9400$ au début de l’année et remboursera 10000$ à la fin de l’année. Du 10000$, il nous reste = 600$ à prêter. Le second emprunteur recevra 600( ) = 564$ au début de l’année et remboursera 600$ à la fin de l’année Du 600$, il nous reste = 36$ à prêter. Le troisième emprunteur recevra 36( ) = 33.84$ et remboursera 36$ à la fin de l’année. Ainsi de suite à l’infini ACT Cours 2

69 Montant reçu au début de l’année Montant remboursé à la fin de l’année
En résumé, nous avons Emprunteur Montant reçu au début de l’année Montant remboursé à la fin de l’année 1er 9400 10000 2e 564 600 3e 33.84 36 . ACT Cours 2

70 À la fin de l’année, nous recevrons
Cette somme est égale à Nous pouvons calculer cette dernière somme. ACT Cours 2

71 Nous avons si - 1 < x < 1. Donc ACT Cours 2

72 Finalement nous obtenons que l’intérêt est
et le taux d’intérêt est c’est-à-dire %. ACT Cours 2

73 Plus généralement, nous avons que l’intérêt est égal à
si le capital prêté est k et et le taux d’escompte est d. ACT Cours 2

74 Donc le taux d’intérêt est
ACT Cours 2