27/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Huitième cours.

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1 27/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Huitième cours

2 27/09/07 Rappel du dernier cours Valeur accumulée dune annuité simple constante de fin de période

3 27/09/07 Rappel du dernier cours Valeur accumulée dune annuité simple constante de fin de période Annuité simple constante de début de période

4 27/09/07 Rappel du dernier cours Valeur accumulée dune annuité simple constante de fin de période Annuité simple constante de début de période Valeur actuelle dune annuité simple constante de début de période

5 27/09/07 Rappel du dernier cours Valeur accumulée dune annuité simple constante de fin de période Annuité simple constante de début de période Valeur actuelle dune annuité simple constante de début de période Valeur accumulée dune annuité simple constante de début de période

6 27/09/07 Rappel du dernier cours Nous avons ainsi vu quatre formules:

7 27/09/07 Rappel du dernier cours Nous avons ainsi vu quatre formules:

8 27/09/07 Rappel du dernier cours Nous avons ainsi vu quatre formules:

9 27/09/07 Rappel du dernier cours Nous avons ainsi vu quatre formules:

10 27/09/07 Ces différentes valeurs sont représentées dans le diagramme suivant:

11 27/09/07 Ce dernier diagramme nous permet de relier ces différentes valeurs.

12 27/09/07 Rappel du dernier cours Nous avons les formules:

13 27/09/07 Rappel du dernier cours Nous avons les formules:

14 27/09/07 Rappel du dernier cours Nous avons les formules:

15 27/09/07 Rappel du dernier cours Nous avons les formules:

16 27/09/07 Il est parfois nécessaire de connaitre la valeur dune annuité à dautres moments quà t = 0 et t = n.

17 27/09/07 La bonne stratégie est dutiliser ce que nous avons développé jusquà maintenant pour exprimer ces valeurs.

18 27/09/07 Annuité différée: Valeur dune annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci

19 27/09/07 Annuité différée: Valeur dune annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci Valeur dune annuité plusieurs périodes de capitalisation après le dernier paiement de celle-ci

20 27/09/07 Annuité différée: Valeur dune annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci Valeur dune annuité plusieurs périodes de capitalisation après le dernier paiement de celle-ci Valeur dune annuité à un paiement de celle-ci

21 27/09/07 Premier cas: Déterminons la valeur actuelle dune annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$ dont le début est différé de m périodes.

22 27/09/07 Le diagramme dentrées et sorties de cette situation est le suivant:

23 27/09/07 La valeur de cette annuité à t = 0 est donnée par la formule:

24 27/09/07 Exemple 1: Yvan Sankrédi a fait lachat dune chaine de magasins au montant de 20 000 000$. Il finance cet achat en faisant un prêt au même montant, prêt quil remboursera par 30 versements annuels égaux au montant de R dollars. Il commencera ces versements dans quatre ans. Le taux effectif du prêt est de 7% par année. Quel est le paiement annuel R fait par Yvan?

25 27/09/07 Le diagramme dentrées et sorties de cette situation est le suivant:

26 27/09/07 Nous avons bien une annuité simple constante. La période de paiement est la même que la période de capitalisation de lintérêt. Le taux dintérêt est de 7% par période de capitalisation.

27 27/09/07 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est

28 27/09/07 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est ou encore

29 27/09/07 Peu importe que nous utilisions la première ou la seconde équation, nous obtenons

30 27/09/07 Deuxième cas: Déterminons la valeur accumulée m périodes après le dernier paiement dune annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$. Nous supposons que le montant accumulé au moment du dernier paiement est investi dans un placement rémunéré au même taux dintérêt que lannuité.

31 27/09/07 Le diagramme dentrées et sorties de cette situation est le suivant:

32 27/09/07 La valeur de cette annuité à t = m + n est donnée par la formule:

33 27/09/07 Exemple 2: Anastasia déposera dans un compte de banque 100$ par mois pendant 15 ans. Elle fait ces versements à la fin de chaque mois et le taux dintérêt auquel ce compte est rémunéré est le taux nominal dintérêt i (12) = 6% par année capitalisé mensuellement. Si elle compte retirer complètement le capital accumulé 4 ans après le dernier versement, quel montant retirera-t-elle?

34 27/09/07 Exemple 2: (suite) Le taux dintérêt par mois est

35 27/09/07 Exemple 2: (suite) Le taux dintérêt par mois est Il y aura 15 x 12 = 180 versements dans le compte de banque. Ensuite Anastasia retire son capital 4 x 12 = 48 périodes plus tard.

36 27/09/07 Le diagramme dentrées et sorties de cette situation est le suivant:

37 27/09/07 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 228 périodes de capitalisation est

38 27/09/07 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 228 périodes de capitalisation est ou encore

39 27/09/07 Peu importe que nous utilisions la première ou la seconde équation, nous obtenons que le capital accumulé est

40 27/09/07 Exemple 3: Barnabé emprunte 50000$ quil remboursera en faisant 32 versements trimestriels: les 8 premiers paiements sont au montant de R dollars, les 16 suivants sont au montant de 0.9R dollars et les 8 derniers au montant de (R + 1000) dollars. Les paiements sont faits à la fin de chaque trimestre, le premier est fait trois mois après le prêt. Le taux dintérêt est le taux nominal i (4) = 8% par année capitalisé à tous les 3 mois. Déterminer R.

41 27/09/07 Exemple 3: (suite) Le taux dintérêt par trimestre est

42 27/09/07 Le diagramme dentrées et sorties de cette situation est le suivant:

43 27/09/07 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est

44 27/09/07 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est Nous obtenons alors que

45 27/09/07 Mais nous aurions aussi pu écrire cette équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 sous la forme Nous obtenons aussi alors que

46 27/09/07 Troisième cas: Déterminons la valeur au m e paiement dune annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$.

47 27/09/07 Le diagramme dentrées et sorties de cette situation est le suivant:

48 27/09/07 La valeur de cette annuité à t = m est donnée par la formule:

49 27/09/07 Rente perpétuelle: Une annuité pour laquelle les paiements ne sarrêtent jamais est une rente perpétuelle. Les paiements sont faits à la fin de chaque période. Il est possible de calculer sa valeur actuelle. Cependant il ny a pas de valeur accumulée parce quil ny a pas de dernier paiement.

50 27/09/07 Le diagramme dentrées et sorties de cette situation est le suivant:

51 27/09/07 Rente perpétuelle: (suite) Nous notons la valeur actuelle de cette rente perpétuelle par

52 27/09/07 Rente perpétuelle: (suite) Nous pouvons calculer la valeur actuelle de cette rente. Il est facile par des moyens élémentaires dobtenir que

53 27/09/07 Interprétation: Nous pouvons interpréter la formule au moyen de rentes perpétuelles.

54 27/09/07 Interprétation: (suite) Une annuité de fin de période consistant en des paiements de 1$ peut être vu comme une rente perpétuelle auquel nous soustrayons une rente perpétuelle différée de n périodes.