PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

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1 PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

2 Intégration numérique
Introduction Intégration numérique Méthode du trapèze (Cas discret) Polynômes d’interpolation et d’approximation Exemple: Cotes Boursières Examen final

3 Introduction L’intégration d’une fonction f(x) dans un intervalle [a,b] représente l’aire sous la courbe Le calcul de l’intégrale peut se faire soit de façon discrète ou de façon continue

4 Introduction La méthode du trapèze est une méthode discrète par laquelle nous approximons l’aire sous la courbe d’une fonction représentée par un ensemble de points de contrôle, en additionnant l’aire des tra-pèzes associés à chaque paire de points adjacents Lorsque nous avons la forme analytique de la fonc-tion f(x) le calcul de l’intégrale peut s’effectuer de façon explicite

5 Intégration numérique (Méthode du trapèze)
La méthode du trapèze consiste à additionner l’aire de chaque trapèze adjacent permettant l’approxima-tion de l’aire sous la courbe d’une fonction f(x) N: nombre d’intervalles N+1: nombre de points de contrôle

6 Intégration numérique (Cas continu)
Illustration graphique

7 Intégration numérique (Cas continu)
Règle du trapèze Si nous utilisons la règle du trapèze N − 1 fois, pour faire l’intégration de chaque intervalle (x1, x2), (x2, x3), , (xN−1, xN), et accumulons les résultats, on obtient la forme “extended” ou “composite” de cette formule de l’intégration entre x1 et xN.

8 Intégration numérique (Cas continu)
Règle du trapèze (Implémentation dans Numerical Recipes in C)

9 Intégration numérique (Splines cubiques)
Splines cubiques (forme générale)

10 Intégration numérique (Splines cubiques)
L’intégrale prend alors la forme générale suivante: n-1: Nombre d’intervalles n: Nombre de points de contrôle

11 Intégration numérique (Splines cubiques)
Lorsque la borne supérieure n’est pas une des valeurs de xi x*

12 Intégration numérique (Splines cubiques)
Lorsque la borne supérieure n’est pas une des valeurs de xi Localiser l’intervalle de x* (intervalle 3) Calculer l’intégrale suivante:

13 Intégration numérique (Polynômes d’approximation)
Polynômes d’approximation (degré 1)

14 Intégration numérique (Polynômes d’approximation)
Polynômes d’approximation (degré 2)

15 Intégration numérique (Polynômes d’approximation)
Polynômes d’approximation (degré 3)

16 Exemple: Cotes boursières
Dérivation de polynômes d’approximation (Cas APPLE VS MICROSOFT)

17 Examen final Voir comment améliorer l’efficacité de la cons-truction de la matrice A des termes sommatifs utilisée pour déterminer les coefficients des polynômes d’approximation

18 Examen final Bien comprendre comment localiser des maxima à partir d’une fonction dérivée Bien comprendre le calcul des intégrales dans les cas où nous utilisons des splines et que les bornes d’intégration sont quelconques