FONCTION EXPONENTIELLE ET LOGARITHMIQUE

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1 FONCTION EXPONENTIELLE ET LOGARITHMIQUE
cours 27

2 Au dernier cours, nous avons vu

3 Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmiques

4 Calculons la dérivée de ces fonctions
Si cette limite existe, c’est une constante. Reste à savoir ce que vaut cette limite.

5 Malheureusement, nous n’avons pas les outils pour évaluer cette limite
Nous allons au moins tenter une approche numérique.

6 Naturellement cette démarche ne démontre absolument rien.
Tout ce qu’elle fait est de laisser entendre que l’égalité suivante est peut-être vrai. Dans le cas particulier où la base est le nombre Exemple: Exemple:

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8 On peut commencer par définir l’exponentielle
Approche alternative Historiquement les fonctions exponentielle et logarithmique ont été étudier indépendamment. On peut commencer par définir l’exponentielle et définir le logarithme comme sa fonction inverse. Ou bien on commence par définir le logarithme et on défini l’exponentielle comme sa fonction inverse.

9 Historiquement le logarithme est apparue pour
transformer les produits en sommes.

10 On peut définir le logarithme comme la fonction qui donne l’aire sous la courbe de 1 à x de la fonction tel que l’aire = 1 On défini

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12 À l’aide de cette dérivée, on trouve
Si Si Donc la fonction qu’on a nommée ln possède bien la propriété voulue.

13 Essayons de comprendre la fonction réciproque.
Par définition Car pour

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15 Donc on a bien que

16

17 Similairement on peut trouver la dérivée de
Une constante

18 Exemple: Exemple: Exemple: Exemple:

19 Faites les exercices suivants
# 24 et 25

20 Exemple:

21 Exemple:

22 Faire l’analyse complète de
Exemple: Faire l’analyse complète de pt. cr. : pt. cr. :

23 Exemple:

24 Faites les exercices suivants
# 26

25 Aujourd’hui, nous avons vu

26 Devoir: #24 à 30