Mesures et incertitudes... Qu’en faire avec les élèves ?

Présentation au sujet: "Mesures et incertitudes... Qu’en faire avec les élèves ?"— Transcription de la présentation:

1 Mesures et incertitudes... Qu’en faire avec les élèves ?
“La connaissance progresse en intégrant en elle l'incertitude, non en l'exorcisant.” Edgar Morin Tristan Rondepierre, lycée René Descartes Jacques Vince, lycée Ampère, IFÉ

2 Les incertitudes et moi
Tour de table Les incertitudes et moi Une difficulté d’élèves identifiée Un avantage à enseigner un tel sujet Un mot que j’associe aux incertitudes

3 En guise de préambule Ce qui était discutable Ce qu’il va falloir changer Ce qu’on va pouvoir garder …

4 En guise de préambule… Partons d’un exemple classique : Le titrage de l’aspirine contenu dans un cachet Tous calculs faits, le titrage donne : m = 478 mg Et alors ??? Tout ce que l’on peut dire, c’est que la valeur mesurée… est différente de celle donnée par l’étiquette !

5 En guise de préambule… Partons d’un exemple classique : Le titrage de l’aspirine contenu dans un cachet Une conclusion classique : le calcul d’écart relatif 𝜀= 𝑚 𝑒𝑥𝑝 − 𝑚 𝑟𝑒𝑓 𝑚 𝑟𝑒𝑓 ? Valeur théorique ? Utilise-t-on la mesure pour « valider » l’indication de l’étiquette ? Ou au contraire, utilise-t-on la valeur affichée par l’étiquette pour évaluer la qualité de la mesure ?

6 Valeur entachée d’erreurs de mesures
En guise de préambule… À propos de l’écart relatif Autre exemple : la mesure de la vitesse du son Valeur entachée d’erreurs de mesures Relation obtenue en supposant : - que l’air est le gaz parfait ; - qu’il est homogène ; - que la propagation est adiabatique ; - … et réversible ; - Etc. Les élèves disposent : - de la valeur qu’ils ont mesurée : 𝑣 𝑒𝑥𝑝 ; - d’une valeur calculée à l’aide de la relation : 𝑣 𝑐𝑎𝑙𝑐 = 𝛾𝑅𝑇 𝑀 ≈331,5+0,607 𝜃 On n’a aucun moyen de savoir laquelle de ces deux valeurs est digne de constituer « la référence » !

7 Quelques raisons de bannir l’écart relatif
En guise de préambule… Quelques raisons de bannir l’écart relatif On ne sait pas quoi choisir comme « valeur de référence ». Le choix systématique de la valeur attendue comme « référence » est une erreur (cf tout ce qui relève du contrôle qualité : c’est la mesure qui valide ou non un cahier des charges, pas l’inverse). Le choix d’une valeur calculée assoit chez nos élèves l’idée fausse selon laquelle ce qui provient « d’une formule », souvent appelé à tort « valeur théorique » est forcément plus crédible que ce qui vient de la mesure. Et surtout : on obtient une valeur dont on ne sait absolument pas quoi faire ! Exemple : un écart relatif de 9%, est-ce bon au mauvais ? Et si l’on considère que c’est mauvais… qu’est-ce qui est mauvais : la mesure ou la valeur « de référence » ?

8 Pourquoi évaluer les incertitudes ?
En guise de préambule… Pourquoi évaluer les incertitudes ? Parce que c’est dans les programmes ? Parce que les élèves doivent savoir le faire ? Parce que c’est inhérent à toute activité scientifique ? Parce qu’on ne peut pas connaitre la valeur d’une grandeur physique avec une précision infinie ? Parce que c’est la mode ?

9 Aujourd’hui: 11 compétences
Parenthèse historique… Aujourd’hui: 11 compétences En ST, une de plus : comparer le poids des différentes sources d’erreur

10 Pourtant… Parenthèse historique…
BO spécial n° 6 du 28 août 2008 (Collège)

11 Pourtant… Parenthèse historique… BO spécial n° 3 du 17 mars 2011
Mesure et instrumentation en classe de première de la série STL

12 Demain Parenthèse historique… 2nde 1ère
En ST, une de plus : comparer le poids des différentes sources d’erreur 1ère

13 Pourquoi évaluer les incertitudes ?
En guise de préambule… Pourquoi évaluer les incertitudes ? Parce qu’on ne peut pas connaitre la valeur d’une grandeur physique avec une précision infinie. Mesurer c’est comparer ! 2 sources d’erreur : l’étalon la sensibilité de l’appareil Caussarieu A. & Tiberghien A. (2017)

14 Pourquoi évaluer les incertitudes ?
En guise de préambule… Pourquoi évaluer les incertitudes ? Mesurer pour comparer ! Caussarieu A. & Tiberghien A. (2017)

15 Sommaire Utiliser la dispersion des valeurs mesurées pour évaluer une incertitude Évaluer une incertitude lors d’une mesure unique Identifier et comparer entre elles les sources d’erreur Quand l’erreur ne vient pas des appareils utilisés…

16 Sommaire Utiliser la dispersion des valeurs mesurées pour évaluer une incertitude Expériences avec la verrerie en chimie. Un peu de théorie sur les incertitudes De théorie pure et dure : l’incertitude de type A Que dire aux élève ? Qu’attendre d’eux ? Évaluer une incertitude lors d’une mesure unique Identifier et comparer entre elles les sources d’erreur Quand l’erreur ne vient pas des appareils utilisés…

17 1 Expériences sur la verrerie en chimie
Utiliser la dispersion des valeurs 1 Expériences sur la verrerie en chimie Une activité qui peut être traitée en 2nde : Effectuer 5 prélèvements de 25 mL d’eau distillée et peser le prélèvement avec : Saisir les valeurs obtenues dans une feuille de calcul. On donne aux stagiaires un énoncé papier. L’exploitation est réalisée directement à partir de la feuille de calcul en ligne.

18 Utiliser la dispersion des valeurs
1 Un peu de théorie

19 Utiliser la dispersion des valeurs
1 Un peu de théorie

20 1 Un peu de théorie Utiliser la dispersion des valeurs
Fidèle ? Juste ? Juste Fidèle Exacte = Fidèle + Juste

21 1 Un peu de théorie Utiliser la dispersion des valeurs
Erreur aléatoire : constatée lors d’un grand nombre de mesurages dans les conditions de répétabilité. Origine : maladresse, instabilité. Un mesurage est fidèle si pas d’erreur aléatoire. Erreur systématique : 𝑚 − 𝑀 𝑣𝑟𝑎𝑖 On ne peut en faire qu’une estimation Causes : appareil, protocole. Augmenter le nombre de mesurage ne change rien Un mesurage est juste si pas d’erreur systématique.

22 1 Un peu de théorie Utiliser la dispersion des valeurs
Erreur - incertitude l’erreur est la différence entre la valeur mesurée 𝑥 et la valeur vraie (que l’on ne connaît pas) l’incertitude 𝑢(𝑥) 𝑢 (pour uncertainty) traduit les tentatives scientifiques pour estimer l’importance de l’erreur commise lors de la mesure. L’écriture du résultat d’une mesure doit faire apparaître cette incertitude. Par convention, le résultat d’une mesure s’écrit : 𝑥= 𝑥 ±𝑢(𝑥) où 𝑥 est la meilleure estimation de la grandeur et 𝑢(𝑥) l’incertitude correspondante.

23 Comme aujourd’hui, avec les élèves on s’autorisera quelques entorses !
Utiliser la dispersion des valeurs 1 De la théorie pure et dure : l’évaluation de type A On procède à une évaluation de type A si incertitude évaluable par une méthode statistique. Comme aujourd’hui, avec les élèves on s’autorisera quelques entorses ! C’est le cas (en toute rigueur) lors d’une mesure répétée : Par le même opérateur Avec le même matériel En appliquant le même protocole

24 Cas d’une mesure répétée
Utiliser la dispersion des valeurs 1 D’où viennent ces courbes « en cloche » ? Cas d’une mesure répétée Variable aléatoire : théorème de la limite centrale

25 1 Utiliser la dispersion des valeurs
D’où viennent ces courbes « en cloche » ? Variable aléatoire : théorème de la limite centrale Si l’instrument est juste, alors la distribution est centrée sur la valeur vraie Source : N. Reverdy

26 1 Utiliser la dispersion des valeurs La loi normale ou loi gaussienne
La probabilité de trouver une valeur X pour une mesure m comprise entre a et b s’écrit: 𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 où 𝑓(𝑥) est la fonction densité de probabilité : 𝑓 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 exp − 𝑥−𝑚 𝜎 2 Variable aléatoire : théorème de la limite centrale

27 Deux grandeurs pour caractériser une loi normale
Utiliser la dispersion des valeurs 1 La loi normale ou loi gaussienne Deux grandeurs pour caractériser une loi normale = 1 𝜎 2𝜋 exp − 𝑥−𝑚 𝜎 2 L’écart-type Variable aléatoire : théorème de la limite centrale Valeur centrale : la plus probable

28 Deux grandeurs pour caractériser une loi normale
Utiliser la dispersion des valeurs 1 La loi normale ou loi gaussienne Deux grandeurs pour caractériser une loi normale Variable aléatoire : théorème de la limite centrale 𝑚 est la moyenne : 𝑚= −∞ +∞ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 σ est l’écart-type ou écart quadratique moyen… à ne pas confondre avec l’écart-type expérimental !

29 1 Utiliser la dispersion des valeurs La loi normale ou loi gaussienne
On montre que : 𝑚−𝜎 𝑚+𝜎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥≈0,68 la probabilité de trouver UNE mesure dans l’intervalle [𝑚−𝜎;m+𝜎] vaut 68% Variable aléatoire : théorème de la limite centrale

30 1 Utiliser la dispersion des valeurs La loi normale ou loi gaussienne
On montre que : 𝑚−𝟐𝜎 𝑚+𝟐𝜎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥≈0,95 la probabilité de trouver UNE mesure dans l’intervalle [𝑚−𝟐𝜎;m+𝟐𝜎] vaut 95% Variable aléatoire : théorème de la limite centrale

31 1 Utiliser la dispersion des valeurs La loi normale ou loi gaussienne
On montre que : 𝑚−𝟑𝜎 𝑚+𝟑𝜎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥≈0,99 la probabilité de trouver UNE mesure dans l’intervalle [𝑚−𝟑𝜎;m+𝟑𝜎] vaut 99% Variable aléatoire : théorème de la limite centrale

32 L’intervalle de confiance
Utiliser la dispersion des valeurs 1 La loi normale ou loi gaussienne L’intervalle de confiance Le niveau de confiance Variable aléatoire : théorème de la limite centrale Le résultat d’une mesure a : 68% de chances de se trouver dans l’intervalle 𝑚−𝜎 ;𝑚+𝜎 95% de chances de se trouver dans l’intervalle [𝑚−2𝜎 ;𝑚+2𝜎] 99% de chances de se trouver dans l’intervalle [𝑚−3𝜎 ;𝑚+3𝜎] 68% 𝑚−𝜎 ;𝑚+𝜎

33 Mesures multiples d’une grandeur
Utiliser la dispersion des valeurs 1 L’évaluation de type A Mesures multiples d’une grandeur Mais, au fait, on n’a pas réalisé une infinité de mesures ?! L’écart-type de la série ou « écart type expérimental », que l’on peut estimer par : 𝑠 𝑒𝑥𝑝 = 1 𝑁−1 . 𝑖=1 𝑁 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 La courbe que l’on aurait obtenue en réalisant une infinité de mesures 𝑥

34 Mesures multiples d’une grandeur
Utiliser la dispersion des valeurs 1 L’évaluation de type A Mesures multiples d’une grandeur L’estimation à partir d’une moyenne de N mesures est « meilleure » que sur une mesure seule… distribution pour une moyenne de N mesures distribution pour une mesure 𝑥

35 Mesures multiples d’une grandeur
Utiliser la dispersion des valeurs 1 L’évaluation de type A Mesures multiples d’une grandeur L’estimation à partir d’une moyenne de N mesures est « meilleure » que sur une mesure seule… C’est 𝑢 𝑥 , l’incertitude de la moyenne de N mesures, évaluée par une méthode de type A 𝑥

36 1 Utiliser la dispersion des valeurs
L’évaluation de type A : récapitulons ! Série de N mesures d’une grandeur X à l’aide d’un instrument qui donne les résultats : x1, x2, x3,…, xi, …, xN : c’est l’échantillon Dans ce cas : La meilleure estimation correspond à la valeur moyenne: écart type de la série (ou écart-type expérimental): 𝑠 𝑒𝑥𝑝 = 1 𝑁−1 𝑖=1 𝑁 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 L’incertitude-type est égale à l’écart type sur la moyenne : 𝑥 = 𝑥 1 + 𝑥 2 +…+𝑥 𝑁 𝑁 = 𝑥 𝑖 𝑁 noté aussi 𝜎 𝑛−1 𝑢= 𝑠 𝑒𝑥𝑝 𝑁 = 1 𝑁 𝑁−1 𝑖=1 𝑁 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 Incertitude-type

37 1 Utiliser la dispersion des valeurs L’évaluation de type A
La calculatrice et ses deux écarts-types… Une consigne simple : Si la calculatrice ou le tableur propose deux écarts – types… Choisir le plus élevé ! TI-82 TI-83 À diviser par 𝑛 pour avoir l’incertitude-type

38 1 Utiliser la dispersion des valeurs 𝑉=(24,823±0,032) mL, (68%)
L’évaluation de type A Revenons à notre activité verrerie… On a trouvé : 𝑉 =24,823 mL 𝑢 𝑉 = 𝜎 𝑒𝑥𝑝 𝑁 =0,032 mL Incertitude – type Notée 𝑢(𝑚) Variable aléatoire : théorème de la limite centrale INCERTITUDE ELARGIE : k=2 ou k=3 Écriture du résultat : 𝑉=(24,823±0,032) mL, (68%) 𝑉= 24,823±0,064 mL, (95%) Incertitude élargie 𝑈 𝑚 =𝑘×𝑢(𝑚) Ici : 𝑘 95% =1,96≈2

39 1 Utiliser la dispersion des valeurs
Que dire aux élèves ? Qu’attendre d’eux ? Programme de 2nde 2019 : À partir de la rentrée prochaine : on ne parle plus que de l’incertitude – type Plus d’élargissement : cela revient à considérer qu’un niveau de confiance de 67% suffit si la distribution est normale.

40 1 Utiliser la dispersion des valeurs
Que dire aux élèves ? Qu’attendre d’eux ? L’écriture « rigoureuse » : 𝑉=(24,823±0,032) mL, (68%) Elle signifie : Si la valeur de V suit une loi de distribution gaussienne, la valeur de V a une probabilité égale à 68% de se trouver dans l’intervalle [24,791 mL ; 24,855 mL] Pour les élèves : 𝑉=(24,8𝟐±0,0𝟒) mL 1 CS seulement u arrondie à la valeur supérieure On ne fait pas mention du niveau de confiance La dernière décimale est celle sur laquelle porte u

41 3 façons d’écrire le résultat
Utiliser la dispersion des valeurs 1 Que dire aux élèves ? Qu’attendre d’eux ? 3 façons d’écrire le résultat  𝑥 𝜖 𝑥 1 ; 𝑥 2 à 68 %   𝑥= 𝑥 ±u(𝑥) à 68 %

42 Sommaire Utiliser la dispersion des valeurs mesurées pour évaluer une incertitude Évaluer une incertitude lors d’une mesure unique Identifier et comparer entre elles les sources d’erreur Quand l’erreur ne vient pas des appareils utilisés…

43 Sommaire Utiliser la dispersion des valeurs mesurées pour évaluer une incertitude Évaluer une incertitude lors d’une mesure unique Identifier et comparer entre elles les sources d’erreur Quand l’erreur ne vient pas des appareils utilisés…

44 Une situation expérimentale
Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique 2 Une situation expérimentale Source :

45 Deux types d’évaluation
Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique 2 Deux types d’évaluation Évaluation de type A : Si incertitude évaluable par une méthode statistique Évaluation de type B : Dans les autres cas Caractéristiques de l’instrument Estimation par l’expérimentateur (graduations…)

46 Deux types d’évaluation
Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique 2 Deux types d’évaluation La seule nouveauté de première

47 Mais dans tous les cas… les lois de la probabilité…
Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique 2 Mais dans tous les cas… les lois de la probabilité… Estimation de la grandeur Par des moyens statistiques Par un modèle probabiliste (quelle probabilité la mesure a-t-elle de…) Évaluation de type A de l’incertitude-type Évaluation de type B de l’incertitude-type

48 Mais dans tous les cas… les lois de la probabilité…
Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique 2 Mais dans tous les cas… les lois de la probabilité… Fonction distribution de probabilité à partir d’une distribution d’effectifs - observée (type A) - supposée (type B) Randomisation : on explique la variabilité des résultats déterministes (pas d’aléatoires) comme s’ils étaient des réalisations d’une variable aléatoire. L’incertitude-type correspond à l’écart-type de la fonction distribution de probabilité

49 Adopter un modèle probabiliste c’est supposer une statistique
Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique 2 Adopter un modèle probabiliste c’est supposer une statistique Variable aléatoire : théorème de la limite centrale Si l’instrument est juste, alors la distribution est centrée sur la valeur vraie Source : N. Reverdy

50 Petit détour théorique
Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique 2 Petit détour théorique La probabilité de trouver une valeur X pour une mesure m comprise entre a et b s’écrit: 𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 où f(x) est la fonction densité de probabilité qui en physique est généralement une fonction uniforme (rectangle): 𝑓 𝑥 = 1 𝑏−𝑎 pour 𝑎≤𝑥≤𝑏 et 𝑓 𝑥 =0 sinon

51 Petit détour théorique : distribution uniforme
Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique 2 Petit détour théorique : distribution uniforme 𝜎= 𝑏−𝑎 2 3 Variable aléatoire : théorème de la limite centrale INCERTITUDE ELARGIE : k=2 ou k=3 Le résultat de la mesure a 57% de chances de se trouver dans l’intervalle 𝑚−𝜎 ;𝑚+𝜎 Le résultat de la mesure a 95% de chances de se trouver dans l’intervalle 𝑚−1,65𝜎 ;𝑚+1,65𝜎 𝑚−1,65𝜎 ;𝑚+1,65𝜎

52 Petit détour théorique : distribution triangulaire
Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique 2 Petit détour théorique : distribution triangulaire 𝜎= 𝑏−𝑎 2 6 Variable aléatoire : théorème de la limite centrale INCERTITUDE ELARGIE : k=2 ou k=3 Le résultat de la mesure a 57% de chances de se trouver dans l’intervalle 𝑚−𝜎 ;𝑚+𝜎 Le résultat de la mesure a 95% de chances de se trouver dans l’intervalle 𝑚−1,65𝜎 ;𝑚+1,65𝜎 𝑚−1,65𝜎 ;𝑚+1,65𝜎

53 2 Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique
situation Loi de proba associée Appareil à graduation, résolution a Appareil numérique, résolution affichage a, précision a (x% de valeur affichée + y dernier digit) Indication a (sans autre info) Instrument classe de valeur a Incertitude de détermination (ressentie opérateur) Valeur donnée sans incertitude : unité du dernier chiffre = largeur de l’intervalle Variable aléatoire : théorème de la limite centrale INCERTITUDE ELARGIE : k=2 ou k=3 𝐼𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒−𝑡𝑦𝑝𝑒 : 𝑢 𝑥 =𝜎= 𝑎 3 =0,58𝑎 Incertitude élargie 𝑈 𝑥 pour un intervalle de confiance à 95% : 𝑈 𝑥 =1,65 𝑢(𝑥) pour une distribution rectangulaire (Rappel : 𝑈 𝑥 =1,96 𝑢(𝑥) pour une distribution normale)

54 Cas d’une échelle digitale
Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique 2 Cas d’une échelle digitale 𝑈=6,08 V Si on change la sensibilité du voltmètre pour avoir 4 chiffres significatifs, quelle est la probabilité d’obtenir 𝑈=6,082 V ? Calculer l’incertitude-type Une chance sur 10 : 10%

55 En pratique pour un instrument gradué…
Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique 2 En pratique pour un instrument gradué… On réalise la mesure d’une grandeur X à l’aide d’un instrument qui situe la valeur 𝑥 de cette grandeur entre 𝑥𝑚𝑖𝑛 et 𝑥𝑚𝑎𝑥. Si a est la demi-largeur de l’intervalle (soit la demi-graduation) 𝑥 𝑚𝑖𝑛 ≤𝑥 ≤ 𝑥 𝑚𝑎𝑥 𝑚= 𝑥 𝑚𝑎𝑥 + 𝑥 𝑚𝑖𝑛 2 a= 𝑥 𝑚𝑎𝑥 − 𝑥 𝑚𝑖𝑛 2 𝑢 𝑥 = a 3 = 1 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 12 Environ un quart de graduation !

56 2 En pratique… Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique
(Hachette TS)

57 2 En pratique… Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique
- Détermination à la goutte près : 0,04 mL - Burette de classe A (0,02 mL) V = 7,35  0,03 mL On divise les deux par racine(3) : 0,023 et 0,012 puis somme quadratique 0,026 (Hachette TS)

58 2 Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique
En pratique : mesure directe d’une grandeur à l’aide d’un instrument à affichage digital… L’incertitude maximale est donnée par le fabricant dans la notice de l’instrument. La notation la plus courante s’écrit sous la forme : ± %+ où  est un pourcentage de la valeur lue et  est un coefficient multiplicateur du dernier digit affiché. ou encore ± p%lecture +𝑛𝑈𝑅 où UR est l’unité de lecture du plus petit digit. Le calcul de l’incertitude s’appuie sur la méthode précédente. ici, on écrit donc : u(R) = 88,9 𝜁 100 +0,1 

59 2 Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique
En pratique : mesure directe d’une grandeur à l’aide d’un instrument à affichage digital… EXEMPLE Loi de Boyle-Mariotte P = 1452 hPa

60 Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique
2 ... et que dire aux élèves ? Je divise par 3 … … puis je multiplie par 2 … … ah oui, faut pas oublier d’arrondir à la fin… zut alors, du coup c’est comme si j’avais rien fait ! tout ça pour ça… pff…

61 Évaluer l’incertitude lors d’une mesure unique
2 ... et que dire aux élèves ? Les élèves n’ont à connaître aucune des relations qui expriment les incertitudes – types. C’est au professeur de les leur donner. L’objectif est davantage de permettre aux élève d’interpréter la valeur de l’incertitude que de l’évaluer précisément. Au lycée, on peut s’autoriser quelques entorses à l’orthodoxie de la métrologie, par exemple « l’incertitude, c’est une demi-graduation ».

62 Sommaire Utiliser la dispersion des valeurs mesurées pour évaluer une incertitude Évaluer une incertitude lors d’une mesure unique Identifier et comparer entre elles les sources d’erreur Quand l’erreur ne vient pas des appareils utilisés…

63 Sommaire Utiliser la dispersion des valeurs mesurées pour évaluer une incertitude Évaluer une incertitude lors d’une mesure unique Identifier et comparer entre elles les sources d’erreur Quand l’erreur ne vient pas des appareils utilisés…

64 3 Identifier et comparer les sources d’erreur
Plusieurs sources d’erreurs sur une mesure Commençons par une première expérience Chronométrons la durée du record du monde de Usain Bolt…

65 Certainement la source d’erreur la plus faible.
Identifier et comparer les sources d’erreur 3 Plusieurs sources d’erreurs sur une mesure Pourquoi trouvons-nous tous une durée différente et différente de celle affichée par France 3 ? Certainement la source d’erreur la plus faible. Les sources d’erreur : l’instrument utilisé la simultanéité du start et du son perçu ? le temps de réaction au départ le temps de réaction à l’arrivée Non documentée Certainement la source d’erreur la plus importante… qui évolue si on s’entraine ! Plus faible que la précédente car on peut anticiper le franchissement de la ligne d’arrivée

66 3 Les 5 M… Moyens Méthode Main d’œuvre Matière Milieu
Identifier et comparer les sources d’erreur 3 Plusieurs sources d’erreurs sur une mesure Les 5 M… Instruments Protocole Moyens Méthode Nombre de mesures Choix du protocole Justesse Etalonnage Durée de la mesure Fidélité Choix des appareils Résultat de mesure Mesurande Température Lecture Température Formation Etat Magnétisme Pression Pression Rayonnements Expérience Hygrométrie Parallaxe Main d’œuvre Matière Milieu Opérateur Variabilité du phénomène Paramètres extérieurs

67 3 Identifier et comparer les sources d’erreur
Plusieurs sources d’erreurs sur une mesure Chaque source d’erreur est quantifiée par une valeur d’incertitude. Deux possibilités : Une incertitude dépasse largement les autres : on ne conserve qu’elle. Plusieurs incertitudes 𝑢 𝑖 𝑥 ont des valeurs voisines. On somme les différentes contributions : 𝑢(𝑥)= 𝑖 ( 𝑢 𝑖 (𝑥)) 2

68 Conséquence : mesure double
Identifier et comparer les sources d’erreur 3 Conséquence : mesure double Si a est la demi-graduation et que le mesurage nécessite une double lecture : 𝑢(𝑥)= 𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑑 1 𝑥 2 + 𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑑 2 𝑥 2 = 2 𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑥 2 = 𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑥) 𝟐

69 3 Identifier et comparer les sources d’erreur
Plusieurs sources d’erreurs sur une mesure Revenons à Usain Bolt… 𝑢 Δ𝑡 = 𝑢 départ 2 + 𝑢 arrivée 2 + 𝑢 chrono 2 = 0, , , =0,509 s

70 3 Identifier et comparer les sources d’erreur
Cas de la mesure indirecte Un exemple classique : la mesure de la vitesse du son D mesurée au mètre ruban

71 Le choix des élèves a priori
Identifier et comparer les sources d’erreur 3 Cas de la mesure indirecte Un exemple classique : la mesure de la vitesse du son D mesurée au mètre ruban Question : pour améliorer la mesure, faut-il de préférence : mesurer D avec un télémètre laser ; augmenter la distance D changer la source sonore Le choix des élèves a priori

72 3 𝑢 𝑋 𝑋 Identifier et comparer les sources d’erreur
Cas de la mesure indirecte L’incertitude relative 𝑢 𝑋 𝑋 sans unité souvent exprimée en pourcentage utile pour comparer entre elles les précisions de mesures de grandeurs différentes

73 3 Identifier et comparer les sources d’erreur
Cas de la mesure indirecte La composition des incertitudes Dans le cas d’une relation de type « produit et quotients » : 𝑋= 𝑎𝑏 𝑐 L’incertitude relative de 𝑋 vaut : 𝑢 𝑋 𝑋 = 𝑈 𝑎 𝑎 𝑈 𝑏 𝑏 𝑈 𝑏 𝑏 2 +… Mais au fait… d’où vient cette formule ?

74 Petit détour théorique : La propagation des incertitudes
Identifier et comparer les sources d’erreur 3 Petit détour théorique : La propagation des incertitudes Si 𝑌=𝑓 𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑛 avec 𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑛 indépendantes, alors on admet généralement : 𝑢 𝑐 𝑦 2 = 𝑖=1 𝑛 𝜕𝑓 𝜕 𝑥 𝑖 2 𝑢 𝑥 𝑖 2 𝑢(𝑥 𝑖 ) : incertitude – type de 𝑥 𝑖 et 𝑢 𝑐 (𝑦) : incertitude – type composée de y Cas fréquent : sommes et différences Si plusieurs mesures x, …, w servent au calcul de la grandeur : 𝑞 = 𝑥 + … + 𝑧 − 𝑦 − … −𝑤 alors l’incertitude sur q est la somme quadratique des incertitudes sur les grandeurs dont elle provient : u(q) ≃ 𝑢(𝑥) 2 +…+ 𝑢(𝑧) 𝑢(𝑦) 2 +…+ 𝑢(𝑤) 2

75 Petit détour théorique : La propagation des incertitudes
Identifier et comparer les sources d’erreur 3 Petit détour théorique : La propagation des incertitudes Si 𝑌=𝑓 𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑛 avec 𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑛 indépendantes, alors on admet généralement : 𝑢 𝑐 𝑦 2 = 𝑖=1 𝑛 𝜕𝑓 𝜕 𝑥 𝑖 2 𝑢 𝑥 𝑖 2 𝑢(𝑥 𝑖 ) : incertitude – type de 𝑥 𝑖 et 𝑢 𝑐 (𝑦) : incertitude – type composée de y Cas le plus fréquent : produits et quotients 𝑞= 𝑥×…×𝑧 𝑦×…×𝑤 𝑢 𝑞 𝑞 = 𝑢 𝑥 𝑥 …+ 𝑢 𝑧 𝑧 𝑢 𝑦 𝑦 …+ 𝑢 𝑥 𝑥 2

76 Petit détour théorique : La propagation des incertitudes
Identifier et comparer les sources d’erreur 3 Petit détour théorique : La propagation des incertitudes Autres cas fréquents Puissances Si une mesure x d’incertitude u(x) sert au calcul de la grandeur : q = 𝑥 𝑛 alors la précision relative sur q est n fois celle sur x : u(q) q ≃n . u(x) x Multiplication par un nombre exact Si une mesure x d’incertitude u(x) sert au calcul de la grandeur : 𝑞=𝑁×𝑥 où N est un nombre exact alors l’incertitude q est n fois celle sur x : 𝑢 𝑞 = 𝑁 ×𝑢(𝑥)

77 Petit détour théorique : La propagation des incertitudes
Identifier et comparer les sources d’erreur 3 Petit détour théorique : La propagation des incertitudes Autres cas fréquents Si q =k 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 alors : u(q) q = 𝑎 2 𝑢(𝑥) 𝑥 𝑏 2 𝑢(𝑦) 𝑦 2 Si q =𝐴𝑥+𝐵𝑦 alors : u q = 𝐴 2 𝑢(𝑥) 2 + 𝐵 2 𝑢(𝑦) 2

78 3 Intermède théorique… Cas fréquents Si q =k 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 alors :
u(q) q = 𝑎 2 𝑢(𝑥) 𝑥 𝑏 2 𝑢(𝑦) 𝑦 2 Si q =𝐴𝑥+𝐵𝑦 alors : u q = 𝐴 2 𝑢(𝑥) 2 + 𝐵 2 𝑢(𝑦) 2

79 Terme majoritaire : c’est sur lui qu’il faut agir !
Identifier et comparer les sources d’erreur 3 Cas de la mesure indirecte Revenons au clap sonore : 𝑢 𝑣 𝑣 = 𝑈 𝐷 𝐷 𝑈 Δ𝑡 Δ𝑡 2 𝑣= 𝐷 Δ𝑡 ≈ 𝒖 𝚫𝒕 𝚫𝒕 𝑢 𝐷 = 𝑢 instrument 2 + 𝑢 repérage 2 ≈ 𝑢 repérage ≈0,5 cm Montrer aux collègues la mesure de Dt sous Latis pro Terme majoritaire : c’est sur lui qu’il faut agir ! 𝑢 𝐷 𝐷 =0,005=𝟎,𝟓% 𝑢 Δ𝑡 = 𝑢 instrument 2 + 𝑢 lecture graphique 2 ≈ 𝑢 lecture graphique ≈100 µ𝑠 𝑢 Δ𝑡 Δ𝑡 = 0,1 2,82 =𝟑,𝟓 %

80 3 Identifier et comparer les sources d’erreur
Cas de la mesure indirecte Revenons au clap sonore : Montrer aux collègues la mesure de Dt sous Latis pro

81 3 Identifier et comparer les sources d’erreur
Cas de la mesure indirecte Un exemple classique : la mesure de la vitesse du son D mesurée au mètre ruban Question : pour améliorer la mesure, faut-il de préférence : mesurer D avec un télémètre laser ; augmenter la distance D changer la source sonore presque inutile !

82 3 Identifier et comparer les sources d’erreur
Cas de la mesure indirecte Détermination de g ℓ compris entre ….. et ….. 𝑔= 4 𝜋 2 ℓ 𝑇 2 𝑇 compris entre ….. et ….. 1ère méthode Montrer aux collègues la mesure de Dt sous Latis pro 𝑢 𝑔 𝑔 = On peut faire calculer un très grand nombre de valeur de g en choisissant aléatoirement des valeurs possibles pour ℓ et 𝑇 2e méthode

83 3 Identifier et comparer les sources d’erreur Avec les élèves…
On donne toutes les relations utiles. On automatise les calculs quand c’est possible (tableur, GUM_MC, voire programmation…). L’intérêt est : d’avoir un regard critique sur les instruments choisis ; de comprendre pourquoi le maniement de certains instruments est à ce point contraint (exemple : la pipette jaugée) d’avoir un regard critique sur un protocole ; d’être en capacité de proposer des améliorations. Hors programme en 2nde et 1ère… mais sans doute au programme de terminale.

84 Sommaire Utiliser la dispersion des valeurs mesurées pour évaluer une incertitude Évaluer une incertitude lors d’une mesure unique Identifier et comparer entre elles les sources d’erreur Quand l’erreur ne vient pas des appareils utilisés…

85 Sommaire Utiliser la dispersion des valeurs mesurées pour évaluer une incertitude Évaluer une incertitude lors d’une mesure unique Identifier et comparer entre elles les sources d’erreur Quand l’erreur ne vient pas seulement des appareils utilisés…

86 Retour sur la mesure du 200m
L’expérimentateur, un instrument particulier… 4 Retour sur la mesure du 200m On perçoit que le repérage à l’œil est une source d’erreur… Mais on sait aussi qu’elle peut être minimisée…  anticiper  limiter la parallaxe  s’entrainer  mettre ses lunettes  utiliser des instruments plus précis ?…

87 Retour sur le clap sonore
L’expérimentateur, un instrument particulier… 4 Retour sur le clap sonore Même avec une instrumentation en apparence précise, l’erreur de repérage persiste La qualité des appareils ne fait pas tout !

88 4 L’expérimentateur, un instrument particulier…
Diminuer l’erreur de repérage… Mesure de la période d’un pendule pesant assimilé à un pendule simple (Activité 2 – partie A) Choisir une méthode Faire 10 mesures au moins et estimer l’incertitude-type

89 L’erreur de repérage est souvent grande, voire prédominante
L’expérimentateur, un instrument particulier… 4 L’erreur de repérage est souvent grande, voire prédominante estimation de la netteté En concurrence (?) avec  entraxe du cavalier  lecture sur le banc

90 Bibliographie Sommaire
Documents officiels éducation nationale : Mesure et incertitudes (juin 2012) Nombres, mesures et incertitudes (août 2012) GUM : guide to the expression of uncertainty in measurement : texte de référence mondial, en français

91 Bibliographie Sommaire
• Articles BUP : – Variabilité, incertitude, erreur, Treiner, janvier 2011 – Introduction aux incertitudes de mesure, Boilley-Lallouet, sept 2013

92 Quelques règles… peu opératoires
Extrait d’un article du BUP n°925

93 Quelques règles… plus opératoires
Document IGEN août 2012 Exemple : On mesure r = 100,25139 W On a déterminé U(R)=0,81235 W On en déduit….

94 On calcule la valeur de la vitesse : 𝑣=1,30.107 m.s-1
EXEMPLE Sujet0 (TaleS-Exo3) « Quand les astrophysiciens voient rouge… » On calcule la valeur de la vitesse : 𝑣=1, m.s-1 On calcule la valeur de l’incertitude à l’aide de la relation donnée : U(𝑣) = 8,3.105 m.s-1 Avec la règle précédente : ● on garde un CS pour la valeur de l’incertitude : U(𝑣) = 0, = 0, m.s-1 ● on arrondie la valeur au CS de même position :𝑣 = 1, m.s-1 D’où, 𝑣=(1,30  0,09).107 m.s−1

95 4. L’incertitude sur g étant de : 10-8 m.s-2 = 0,00000001 m.s-2
EXEMPLE Annales 0 (TaleS-Sujet2-Exo2) « Prévision des séismes par gravimétrie » 4. L’incertitude sur g étant de : 10-8 m.s-2 = 0, m.s-2 il faut donc mesurer g avec 9 chiffres significatifs car g est donné avec 8 décimales.

96 6 Et pour le résultat d’un calcul ? Exemple

97 évaluer la qualité d’une mesure
Incertitude relative

98 Incertitude relative Écart relatif évaluer la qualité d’une mesure
La qualité d’une mesure peut être évaluée à l’aide de la précision relative. Il s’agit d’une grandeur sans dimension, qui s’écrit u(𝑥) 𝑥 . Plus cette gradeur est petite, meilleure est la qualité de la mesure. Écart relatif À ne pas confondre ! La qualité d’une mesure peut être évaluée à l’aide de l’écart relatif si une valeur de référence est connue. 𝐸= 𝑥 𝑟é𝑓 − 𝑥 𝑥 𝑟é𝑓 Cette grandeur s’exprime souvent en %. Plus cette grandeur est petite, meilleure est la qualité de la mesure.

99 Modélisation numérique
Vérification d’une loi : ajustement de données expérimentales par une fonction

100 Modélisation numérique
? Vérification d’une loi : ajustement de données expérimentales par une fonction La loi n’est pas linéaire accord Bally F.-X. & Berroir J.-M. (2010)

101 Modélisation numérique
Attention, le coefficient de corrélation n’est pas un bon indicateur pour discuter la validité d’une modélisation numérique

102 Régression linéaire

103 Paradigme de l’ensemble
Deux paradigmes sur la mesure d’une grandeur Paradigme du point  (point de vue majoritaire des élèves) Le processus de mesure permet de déterminer la vraie valeur du mesurande Paradigme de l’ensemble (point de vue scientifique) Le processus de mesure fournit une information incomplète sur le mesurande Les “erreurs” associées au processus de mesure peuvent être réduites à zéro. Toutes les mesures sont sujettes à des incertitudes et ne peuvent être réduites à zéro Une seule prise de mesure a le potentiel d’être la vraie valeur Toutes les données disponibles sont utilisées pour construire les distributions à partir desquelles la meilleure approximation du mesurande et un intervalle d’incertitude sont déduites (déterminées).

104 … et leur lien avec la perception de la nature de la Science
Vues sur la nature de la science Vues sur la mesure en science La Nature a ses propres lois que les scientifiques doivent découvrir, et les données expérimentales ont la priorité sur la théorie en cas de conflit. Paradigme du point Une mesure peut en principe conduire à une valeur unique, « vraie » sans erreur. La Science est fondée sur les inventions de l’homme (les théories construites), et il y a besoin de réviser à la fois la théorie et les données expérimentales en cas de conflits. Paradigme de l’ensemble Une résultat de mesure est seulement une approximation de la « vraie » valeur qui est inaccessible.