Taux de variation liés. 2 Utilités de la leçon Δ Lorsque deux variables sont reliées à une troisième, il devient difficile d’isoler une des variables.

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1 Taux de variation liés

2 2 Utilités de la leçon Δ Lorsque deux variables sont reliées à une troisième, il devient difficile d’isoler une des variables. (exemple: x et y deux fonctions de t ) Δ À partir d’un énoncé mathématique, il devient nécessaire de développer l’habileté d’en extraire les informations pertinentes; permettant la résolution du problème.

3 3 Un spectateur assiste au lancement d’une fusée, il est posté à Δ Un spectateur assiste au lancement d’une fusée, il est posté à une distance de 1 200 m(mètres) de la rampe de lancement. une distance de 1 200 m(mètres) de la rampe de lancement. Si la fusée s’élève verticalement et que sa vitesse est de Si la fusée s’élève verticalement et que sa vitesse est de 175m/s lorsqu’elle atteint une altitude de 1000m, à quelle vitesse la distance entre le spectateur et la fusée varie-t-elle à ce moment précis? Comment résoudre le problème ci-dessous?

4 4 Méthodologie proposée 1. 1. Attribuer un nom à chacune des variables qui dépendent du temps. 2. 2. Faire un croquis. 3. 3. Exprimer l’information obtenue sous forme de valeur de variable ou de taux de variation par rapport à t. 4. 4. Identifier le taux de variation recherché. 5. 5. Formuler une équation qui lie les variables. 6. 6. Dériver implicitement chaque membre de l’équation par rapport à t. 7. 7. Remplacer les variables et leurs dérivées par les valeurs obtenues (en 3 et 5) afin de résoudre l’équation découlant de l’étape 6.

5 5 1. Attribuer un nom à chacune des variables qui dépendent du temps. Un spectateur assiste au lancement d’une fusée, il est posté à une distance de 1 200 m(mètres) de la rampe de lancement. Si la fusée s’élève verticalement et que sa vitesse est de 175m/s lorsqu’elle atteint une altitude de 1000m, à quelle vitesse la distance entre le spectateur et la fusée varie- t-elle à ce moment précis? Posons y : l’altitude de la fusée à l’instant t et x : la distance entre le spectateur et le fusée à l’instant t

6 6 2. Faire un croquis y x 1200 m

7 7 3. Exprimer l’information obtenue sous de valeur de variable ou de taux de variation par rapport à t. Nous savons qu’à un moment précis: Δ Nous savons qu’à un moment précis: = 175 y = 1000 et δy/ δt = 175

8 8 4. Identifier le taux de variation recherché. Nous recherchons Δ Nous recherchons δx / δt à ce même moment. x

9 9 5 5. Formuler une équation qui lie les variables du problème. Δ Selon Pythagore(1) x 2 = y 2 + 1200 2 Ainsi lorsque y = 1000, x= (1000 2 + 1200 2 ) 1/2 ≈ 1 562,05. x y 1200

10 10 6. Dériver implicitement chaque membre de l’équation par rapport à t. L’équation initiale est (1) : x 2 = y 2 + 1200 2 Δ L’équation initiale est (1) : x 2 = y 2 + 1200 2 Dérivons l’équation (1) par rapport à t Δ Dérivons l’équation (1) par rapport à t => 2x = 2y => 2x δx/ δt = 2y δx/ δt = car x et y sont deux fonction de t. δx/ δt = (y/x) (δy/ δt) car x et y sont deux fonction de t.

11 11 7. Remplacer les variables et leurs dérivées par les valeurs obtenues(en 3 et 5) afin de résoudre l’équation découlant de l’étape 6. Il reste à substituer x = 1562,05; y = 1 000 et δy/ δt = 175 Δ Il reste à substituer x = 1562,05; y = 1 000 et δy/ δt = 175 dans l’équation obtenue à l’étape 6. dans l’équation obtenue à l’étape 6. => δx/ δt = (1 000/1562,05)(175) ≈ 112,03. => δx/ δt = (1 000/1562,05)(175) ≈ 112,03. Interprétation du résultat obtenue: Δ Interprétation du résultat obtenue: Lorsque la fusée atteint une altitude de 1000 m et que sa vitesse est de 175 m/s, la distance entre le spectateur et la fusée augmente selon un taux de 112,03 m/s. Lorsque la fusée atteint une altitude de 1000 m et que sa vitesse est de 175 m/s, la distance entre le spectateur et la fusée augmente selon un taux de 112,03 m/s.

12 12 ! À l’étape 6, ne pas remplacer les variables par les valeurs obtenues à l’étape 3 et 5 avant de dériver l’équation initiale.

13 13 Pouvez-vous résoudre le problème ci- dessous en appliquant la méthodologie proposée ?(en équipe de deux) Δ Une échelle de 6 mètres appuyée sur un mur se met à glisser. À quelle vitesse le haut de l’échelle glisse-t-il au moment où le pied l’échelle se retrouve à 3,5 m du mur, sachant que l’échelle s’écarte du mur à une vitesse de 1,5m ?

14 14 Les taux de variation liés Diaporama PowerPoint réalisé dans le cadre du cours: TIC dans l’enseignement aux moyens et grands groupes FPE7650 groupe 30 Travail présenté à Mme Suzanne Roy et Mme Sophie Gosselin Par Serge Dufour sergedufour40@hotmail.com Session hiver 2009 UQAM