Réseaux complexes.

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1 Réseaux complexes

2 Qu’est-ce qu’un réseau ?
Points/sites reliés par des liens individus ordinateurs pages web aéroports molécules .... relations sociales (ex:collaborations scientifiques) câbles hyperliens connexions aériennes réactions chimiques .... Autoorganisation Evolution dynamique

3 Etude des réseaux complexes
Etude phénoménologique: dégager des caractéristiques générales Modélisation: comprendre les mécanismes Conséquences: comprendre l’importance des différentes caractéristiques pour différents phénomènes, par exemple la propagation d’épidémies, la fragilité en face de pannes ou d’attaques...

4 Réseaux sociaux: l’expérience de Milgram
Milgram, Psych Today 2, 60 (1967) Dodds et al., Science 301, 827 (2003) “Six degrés de séparation”: “petit-monde”

5 L’Internet: un autre “petit-monde”
Histogramme des distances entre deux sites: distances typiques très petites par rapport à la taille d’Internet Autres exemples: WWW, réseaux de transports, etc...

6 Une autre caractéristique répandue: “Clustering”
1 2 3 n Plus grande probabilité d’être connectés Clustering: Mes amis se connaissent très probablement entre eux (exemple typique: réseaux sociaux) Effet quantifié par le coefficient de clustering, entre 0 et 1

7 Modèle le plus simple de réseaux: Erdös-Renyi (1960)
-N points, liés avec probabilité p: Réseau -statique, -homogène: nombre de voisins similaire pour tous -Modifications du modèle pour introduire le clustering

8 Réseau du transport aérien

9 Une vision d’Internet

10 Homogène vs. Hétérogène
Réseau homogène nombre de voisins similaire pour tous Réseau hétérogène: grandes variations du nombre de voisins

11 Architecture non-triviale Propriétés émergentes Phénomènes coopératifs
Principales caractéristiques des réseaux complexes Nombreux éléments en interaction Evolution dynamique Auto-organisation Internet, World-Wide-Web, Réseaux sociaux etc... petit-monde clustering hétérogénéité Architecture non-triviale Propriétés émergentes Phénomènes coopératifs

12 Modélisation des réseaux complexes
Physique Statistique Processus microscopiques des composants Propriétés statistiques et dynamiques au niveau macroscopique

13 Changement de point de vue
La modélisation commence par la compréhension des mécanismes de base de la formation du réseau La topologie complexe est générée dans les modèles, et non mise à la main de façon ad-hoc Meilleure compréhension de l’interaction entre dynamique, trafic, etc...

14 L’attachement préférentiel
Exemple de mécanisme: L’attachement préférentiel 1)Les réseaux croissent par l’addition de nouveaux sites Exemples: WWW : addition de nouvelles pages webs Internet : nouveaux ordinateurs, serveurs 2) Les nouveaux sites se connectent plutôt vers des sites ayant déjà de nombreux voisins Exemples: WWW : liens vers des pages webs connues Internet : liens vers des fournisseurs d’accès bien connectés 1) + 2) => réseau très hétérogène

15 Graphe aléatoire vs Attachement préférentiel

16 Autres niveaux de complexité
intensités des liens réseaux dynamiques (ex: peer-to-peer) réseaux dirigés (ex: WWW)

17 Exemple d’applications:
épidémiologie

18 Modèles de propagation d’épidémies
Description schématique des individus et de leur état: Les individus peuvent se trouver dans certains états: Sain/Susceptible * Infecté * Immunisé/Remis -Propagation par contact I I S I p -Guérison/immunisation I R

19 Modèles de propagation d’épidémies
Réseau de contacts: Individus=sites Liens=possibilité de propagation Réseau dont la topologie joue un rôle important

20 Importance de la topologie
du réseau de contacts Virus sur ordinateurs Topologie d’Internet Topologie du réseau d’ Computer worms Topologie du réseau de transports/déplacements Epidémiologie

21 Importance de la topologie
du réseau de contacts I I S I p Graphes homogènes Graphes hétérogènes L’épidémie meurt L’épidémie se propage L’épidémie se propage p p pc pc=0 (ou très petit)

22 Un autre exemple de modèle de propagation d’une épidémie
c d b a Ville A Ville B

23 Un autre exemple; propagation d’une épidémie
c d a b Ville A Ville B =>Importance du réseau de transport !

24 Une épidémie ancienne Peste Noire 14ème siècle Dec. 1350 June 1350

25 Une épidémie récente SARS Nov. 2002 Mar. 2003

26 Etudes possibles caractérisation du réseau de transport
(essentiellement: transport aérien) modèle simple d’épidémie reproduire a posteriori le déroulement de l’épidémie pour valider le modèle étude, dans le cadre du modèle, de l’influence des différents niveaux de complexité étude de la prédictabilité étude de mesures d’endiguement %Ninf

27 Conclusion -Importance études empiriques -Modélisation Physique
-Conséquences sur processus divers Physique Statistique (exemples: épidémies; fragilité des réseaux; ...) %Ninf Domaine interdisciplinaire: informatique, biologie, épidémiologie, sciences sociales...

28 Fraction of removed nodes, f
Robustness Robustness Complex systems maintain their basic functions even under errors and failures (cell  mutations; Internet  router breakdowns) fc 1 Fraction of removed nodes, f S S: fraction of giant component node failure

29 R. Albert, H. Jeong, A.L. Barabasi, Nature 406 378 (2000)
Case of Scale-free Networks Random failure fc =1 (2 < g  3) s Attack =progressive failure of the most connected nodes fc <1 fc 1 Internet maps R. Albert, H. Jeong, A.L. Barabasi, Nature (2000)

30 Topological error tolerance
Robust-SF Failures vs. attacks   3 : fc=1 (R. Cohen et al PRL, 2000) Failures Topological error tolerance 1 fc Attacks S f 1