Chapitre 03 : Systèmes à Plusieurs degré de liberté(SSDDL)

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1 Chapitre 03 : Systèmes à Plusieurs degré de liberté(SSDDL)
Introduction : Pour 1 DDL on a une équation du mouvement Pour + eurs DDL on a autant d’équation du mouvement (système d’équations) Sous forme matricielle N x N Le système discret à n masses concentrées est une approche pour l’évaluation de la réponse dynamique d’un système continu considéré.  A chaque instant t la position de la poutre est déterminée par x1(t), x2(t), … xn(t). (se sont les n degré de liberté correspondants à des déplacements verticaux) mesurés à partir de la position d’équilibre statique. Cas d’un bâtiment à N étage : Généralement, pour l’analyse dynamique des bâtiments, on pose que la masse est concentrée au niveau de chaque plancher et on considère son déplacement dans la direction latérale seulement. Dans ce cas, le nombre de degré de liberté est égal au nombre d’étage du bâtiment.

2 1.2. Equation du mouvement :
Un système réel comprend généralement plusieurs masses reliées entre elles par des éléments de types ressort et amortisseur. 1.2. Equation du mouvement : Pour chaque nœud (masse) : Excitation extérieur Pi(t) Force d’intertie fIi(t) Force élastique fKi(t) Force d’amortissement fai(t) Equation d’équilibre pour le nœud i : 𝑓 𝐼𝑖 + 𝑓 𝑎𝑖 + 𝑓 𝑘𝑖 = 𝑃 𝑖 (𝑡) (5.1) Pour les autres masses : Nœud 1 𝑓 𝐼1 + 𝑓 𝑎1 + 𝑓 𝑘1 = 𝑃 1 (𝑡) Nœud n 𝑓 𝐼𝑛 + 𝑓 𝑎𝑛 + 𝑓 𝑘𝑛 = 𝑃 𝑛 (𝑡) Forme matricielle : 𝑓 𝐼 + 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑘 = 𝑃(𝑡) (5.2)

3 𝑚 1 𝑚 2 𝑓 𝐼1 + 𝑓 𝑘1 − 𝑓 𝑘2 = 𝑃 1 𝑡 𝑓 𝐼2 + 𝑓 𝑘2 = 𝑃 2 𝑡
Exemple : Structure à deux étages soumise à deux forces extérieurs P1(t), P2(t) : Bâtiment en R+1 = 2 étages.  Équations différentielles du mouvement : 𝑚 1 𝑚 𝑓 𝐼1 + 𝑓 𝑘1 − 𝑓 𝑘2 = 𝑃 1 𝑡 𝑓 𝐼 𝑓 𝑘2 = 𝑃 2 𝑡   𝑚 1 𝑥 1 + 𝑘 1 𝑥 1 − 𝑘 2 ( 𝑥 2 − 𝑥 1 )= 𝑃 1 𝑡 𝑚 2 𝑥 𝑘 2 ( 𝑥 2 − 𝑥 1 ) = 𝑃 2 𝑡 𝑚 1 𝑥 1 +( 𝑘 1 + 𝑘 2 ) 𝑥 1 − 𝑘 2 𝑥 2 = 𝑃 1 𝑡 𝑚 2 𝑥 2 − 𝑘 2 𝑥 1 + 𝑘 2 𝑥 2 = 𝑃 2 𝑡 𝑚 𝑚 𝑥 𝑥 𝑘 1 + 𝑘 2 − 𝑘 2 − 𝑘 𝑘 𝑥 1 𝑥 2 = 𝑃 1 𝑃 2 Soit donc : 𝑀 𝑋 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = 𝑃  Avec : 𝑓 𝑘1 = 𝑘 11 𝑥 1 + 𝑘 12 𝑥 2 + 𝑘 13 𝑥 3 +…+ 𝑘 1𝑛 𝑥 𝑛 𝑓 𝑘2 = 𝑘 21 𝑥 1 + 𝑘 22 𝑥 2 + 𝑘 23 𝑥 3 +…+ 𝑘 2𝑛 𝑥 𝑛 𝑓 𝑘𝑛 = 𝑘 𝑛1 𝑥 1 + 𝑘 𝑛2 𝑥 2 + 𝑘 𝑛3 𝑥 3 +…+ 𝑘 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 (5.3) 𝑓 𝑘 = 𝐾 𝑋 (vecteur force de raideur) … (5.4)

4 𝑓 𝑘1 𝑓 𝑘2. 𝑓 𝑘𝑛 = 𝑘 11 𝑘 12 𝑘 13 … 𝑘 1𝑛 𝑘 21 𝑘 22 𝑘 23 … 𝑘 2𝑛
𝑓 𝑘1 𝑓 𝑘 𝑓 𝑘𝑛 = 𝑘 11 𝑘 12 𝑘 13 … 𝑘 1𝑛 𝑘 21 𝑘 22 𝑘 23 … 𝑘 2𝑛 𝑘 𝑛1 𝑘 𝑛2 𝑘 𝑛3 … 𝑘 𝑛𝑛 𝑥 1 𝑥 𝑥 𝑛 kij : Coefficient d’influence de rigidité fij : force correspondante à la coordonnée i produite par un déplacement unité de la coordonnée j [K] : matrice de rigidité du système. {X} : vecteur déplacement représentant le déplacement du système. Et de même : 𝑓 𝑎1 𝑓 𝑎 𝑓 𝑎𝑛 = 𝑐 11 𝑐 12 𝑐 13 … 𝑐 1𝑛 𝑐 21 𝑐 22 𝑐 23 … 𝑐 2𝑛 𝑐 𝑛1 𝑐 𝑛2 𝑐 𝑛3 … 𝑐 𝑛𝑛 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 (5.5) 𝑓 𝑎 = 𝐶 𝑋 (vecteur force d’amortissement) … (5.6) cij : Coefficient d’influence d’amortissement (amortissement visqueux) fij : force correspondante à la coordonnée i est provoquée par une vitesse unité suivant la coordonnée j [C] : matrice d’amortissement de la structure. { 𝑋 } : vecteur vitesse du système.

5 𝑓 𝐼 = 𝑀 𝑋 (vecteur force d’inertie) … (5.8)
Et de même : 𝑓 𝐼1 𝑓 𝐼 𝑓 𝐼𝑛 = 𝑚 11 𝑚 12 𝑚 13 … 𝑚 1𝑛 𝑚 21 𝑚 22 𝑚 23 … 𝑚 2𝑛 𝑚 𝑛1 𝑚 𝑛2 𝑚 𝑛3 … 𝑚 𝑛𝑛 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 (5.7) 𝑓 𝐼 = 𝑀 𝑋 (vecteur force d’inertie) … (5.8) mij : Coefficient d’influence de masse. fij : force correspondante à la coordonnée i est causée par une accélération unité suivant la coordonnée j [M] : matrice de masse de la structure. { 𝑋 } : vecteur accélération du système.   𝑀 𝑋 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = 𝑃(𝑡) (5.9) 2. Matrice de flexibilité d’une structure : Soit la poutre suivante qui est sollicitée par le système de force schématisé par le schéma ci-contre. On applique la méthode de superposition des forces, on aura : x1 = f11P1 + f12P2 + … + f1nPn x2 = f21P1 + f22P2 + … + f2nPn . xn = fn1P1 + fn2P2 + … + fnnPn

6 fij : coefficient d’influence de flexibilité.
xij : le déplacement correspondant au degré de liberté i produit par une force unitaire appliquée dans la direction du degré de liberté j. 𝑥 1 𝑥 𝑥 𝑛 = 𝑓 11 𝑓 12 𝑓 13 … 𝑓 1𝑛 𝑓 21 𝑓 22 𝑓 23 … 𝑓 2𝑛 𝑓 𝑛1 𝑓 𝑛2 𝑓 𝑛3 … 𝑓 𝑛𝑛 𝑃 1 𝑃 𝑃 𝑛 (5.10) 𝑋 = 𝑓 𝑃 (vecteur de déplacement) … (5.11) [ f ] : matrice de flexibilité ou matrice de souplesse.  Exemple :Détermination de fij,et kij pour une structure :

7 Remarque : Si le degré de liberté i est une rotation, pour déterminer les coefficients d’influence de flexibilité, on applique un moment unitaire M=1 suivant le degré de liberté i. [ f ] = [K]-1 ou bien [K] = [ f ]-1 ; Les matrices [ f ] et [K] sont des matrices symétrique : [K] = [K]T , [ f ] = [ f ]T

8 3. Vibrations libres non amorties : L’analyse d’un système (structures) à plusieurs degrés de liberté (SPDDL) en vibration libre non amortie, nous donne propriétés dynamiques les plus importants de ce système à savoir les fréquences propres, et les modes propres. Dans chaque mode propre de vibration, chaque point de la structure exécute un mouvement harmonique auteur de sa position d’équilibre. Tous les points passent simultanément par une position d’équilibre et par leur amplitude max. 3.1. Méthode de la matrice de rigidité : 𝑀 𝑋 + 𝐾 𝑋 =0 (6.1)  Pour un mouvement sinusoïdal pour chaque point de la structure. x1 = A1.sin(t+) x2 = A2.sin(t+) (6.2) . xn = An.sin(t+)   𝑥 = 𝐴 sin⁡(𝜔𝑡+𝜑) (6.3) 𝑥 =− 𝐴 ω 2 sin⁡(𝜔𝑡+𝜑) En reportant ces deux dernières expressions dans la 1ere équation, nous avons : 𝐾 − 𝜔 2 𝑀 𝐴 sin 𝜔𝑡+𝜑 = (6.5) Eq (6.5) = 0 t == > pour toute valeur de la fonction sin ; On a : 𝐾 − 𝜔 2 𝑀 𝐴 = (6.6)

9 𝜔 2 =? 𝐴 1 = ? 𝐴 2 = ? . 𝐴 𝑛 = ? == > donc on a un système de (n) équations à (n+1) inconnus
  𝑘 11 − 𝜔 2 𝑚 1 𝐴 1 + 𝑘 12 𝐴 2 +…+ 𝑘 1𝑛 𝐴 𝑛 =0 𝑘 21 𝐴 1 + 𝑘 22 − 𝜔 2 𝑚 2 𝐴 2 +…+ 𝑘 2𝑛 𝐴 𝑛 =0 . 𝑘 𝑛1 𝐴 1 + 𝑘 𝑛2 𝐴 1 +…+ 𝑘 𝑛𝑛 − 𝜔 2 𝑚 𝑛 𝐴 𝑛 = (6.7) Avec : 𝐾 = 𝑘 11 𝑘 12 𝑘 1𝑛 𝑘 21 𝑘 𝑘 𝑛1 . 𝑘 𝑛𝑛 et 𝑀 = 𝑚 𝑚 𝑚 𝑛 Le système d’équation homogène (6.6) ne peut admettre de solution non nulle due si le déterminent de la matrice carrée est nul. éq caractéristique: ∆ 𝜔 = 𝐾 − 𝜔 2 𝑀 =0 (6.8)   ∆ 𝜔 =𝑓 𝜔 2 𝑛 + 𝜔 2 𝑛−1 +…+ 𝜔 𝑐𝑠𝑡 Si on développe l’éq caractéristique on abouti à une éq polynomiale de degré ‘n’ en 2. Les n solutions en (2) sont les carrés des fréquences propres des n modes de vibration possible. Le 1er mode de vibration corresponde à 1, il est appelé mode fondamental. On met : 1< 2 < 3< … < n ou T1> T2 > T3> … > Tn

10 Donc pour chaque fréquence propre(𝜔), on calcule le mode propre correspondant :
𝜔= 𝜔 1 == > 𝐴 1 𝜔= 𝜔 2 == > 𝐴 2 ... 𝜔= 𝜔 𝑛 == > 𝐴 𝑛  Pour 𝜔= 𝜔 𝑖 ==> 𝑘 11 − 𝑚 1 𝜔 𝑖 2 𝐴 1 + 𝑘 12 𝐴 2 +…+ 𝑘 1𝑛 𝐴 𝑛 =0 𝑘 21 𝐴 1 + 𝑘 22 − 𝑚 2 𝜔 𝑖 2 𝐴 2 +…+ 𝑘 2𝑛 𝐴 𝑛 =0 . 𝑘 𝑛1 𝐴 1 + 𝑘 𝑛2 𝐴 1 +…+ 𝑘 𝑛𝑛 − 𝑚 𝑛 𝜔 𝑖 2 𝐴 𝑛 =0 (6.9) Le mode propre {Aj}i ne peut être déterminer que sa forme de rapport de déplacement non nuls. Les modes propres sont habituellement normalisés par rapport à la plus grande composante, si A1(i) est cette dernière. 𝜙 𝑘,𝑖 = 𝐴 𝑘 (𝑖) 𝐴 1 (𝑖) (6.10) == > 𝐴 1 𝐴 𝐴 𝑛 => 1 𝜙 𝜙 𝑛−1 = 𝜙 𝑖 {}i : nous donne l’allure ou bien la forme de la vibration propre correspondante à i.

11 Matrice spectrale : 𝜔 2 = 𝜔 1 2 0 0 0 𝜔 2 2 . 0 . 𝜔 𝑛 2
 Matrice modale : 𝜙 = 𝜙 𝜙 2 … 𝜙 𝑛 = 𝜙 11 𝜙 12 𝜙 1𝑛 𝜙 21 𝜙 𝜙 𝑛1 . 𝜙 𝑛𝑛 Exemple : Considère la structure à trois niveaux avec : m1 = m2 = 4000 kg , m3= 2000 kg. Rigidité pour chaque poteau : k1 = 1,5.106 N/m , k2 = 1,0.106 N/m , k3 = 0, N/m Déterminer les modes et les pulsations propres du système ? Solution :

12 𝐾 = 𝑘 1 + 𝑘 2 − 𝑘 −𝑘 2 𝑘 2 + 𝑘 3 − 𝑘 3 0 − 𝑘 3 𝑘 3 = 2. 1, − − , −2. 0, −2. 0, , 𝑀 = 𝑚 𝑚 𝑚 3 = 𝑘𝑔 𝐾 = −2 0 −2 3,5 −1,5 0 −1,5 1,5 𝑁/𝑚 𝐾 − 𝜔 2 𝑀 =0==> − 𝜔 2 − − , − 𝜔 2 −1, −1, , − 𝜔 2 On pose 2 = , on aura une équation cubique de 3ème ordre : |A.3 + B.2 + C.1 + D| = 0 1 = 164,4 == > 1 = 12,82 rad/sec ; 2 = 1000,0 == > 2 = 31,62 rad/sec 3 = 1710,6 == > 3 = 41,35 rad/sec 1, 2 et 3 sont les pulsations propres du système. Pour chaque valeur de , on cherche les valeurs de A ? Pour 1= rad/sec on a : − 𝜔 𝐴 1 (1) − 𝐴 2 (1) 𝐴 3 (1) =0 − 𝐴 1 (1) , − 𝜔 𝐴 2 (1) −1, 𝐴 3 (1) =0 0. 𝐴 1 (1) −1, 𝐴 2 (1) , − 𝜔 𝐴 3 (1) =0 On aura éq à 3 inconnus, il faut fixer un inconnu et on détermine les autres.

13 On choisi A1(1) = 1.00 donc : 𝐴 (1) = 𝐴 1 (1) 𝐴 2 (1) 𝐴 3 (1) = 1,00 2,17 2,78 de même, on fait pour 2 et 3 on aura : 𝐴 (2) = 1,00 0,50 −1,50 et 𝐴 (3) = 1,00 −0,92 0,72 Exemple : Calculer les vecteurs propres(Ø1,Ø2) et les valeurs propres(ω1,ω2) de la structure ci- dessous? : Calculer par MATLAB : % pour chercher les racines d’un polynôme : Y = [A B C D] % les facteurs du polynôme roots(Y) % les valeurs propres : K = [--- ;--- ;---] ; % matrice K M = [-00 ;0-0 ;00-] ; % matrice M [d, w] = eig(K,M) sqrt(w)