RÈGLE DE L’HOSPITAL cours 1.

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1 RÈGLE DE L’HOSPITAL cours 1

2 Révision du calcul différentiel
Dérivée logarithmique Règle de l’Hospital

3 La dérivée en un point est le taux de variation instantanée.

4 Formules de dérivation

5 Dérivée de fonction simple

6 Certaine formule sont sous-entendu comme:
Exemple:

7 En principe on sait dérivée n’importe quoi.
Ou presque! Ce n’est pas une fonction de la forme constantes ni de la forme Dérivée logarithmique.

8 La dérivation logarithmique est un astuce permettant de dérivée des fonctions de la forme
À l’instar des fonctions exponentielles, on peut difficilement déterminer le domaine d’une tel fonction si De plus, ce type de fonction n’apparait presque jamais dans la modélisation de problème concret. Les exemples et exercices qui suivent servent en grande partie à développer une aisance avec les manipulations algébriques.

9 Exemple: Exemple:

10 Faites les exercices suivants
Calculer la dérivée des fonctions suivantes 1) 2) 3)

11 Limites et règle de l’Hospital
Forme Limite Forme Limite

12 Donc f(x) tire l’expression vers 0 tandis que g(x) tire vers

13 Exemple: Malheureusement les outils à notre disposition pour lever les indéterminations sont essentiellement: Mise en évidence Division polynomiale Le conjugué Mettre sur le même dénominateur

14 Les formes indéterminées
D’une certaine façon, lever une indétermination revient à déterminer laquelle des deux expression va le plus vite vers sa limite On peut donc s’attendre, dans une indétermination, à ce qu’il y ait un lien entre la limite d’un rapport de fonction et la limite du rapport de leurs dérivée.

15 Théorème: Preuve: Soient , deux fonctions continue sur telle que pour
1) 2) sont continue en et 3) Alors Preuve:

16 Théorème: Preuve: Soient , deux fonctions continue sur telle que pour
1) 2) sont continue en et 3) Alors Preuve:

17 La règle de l’Hospital est valide si on est dans une indétermination
Exemple: Exemple: Exemple: NON! La règle de l’Hospital est valide si on est dans une indétermination

18 Exemple: Exemple: Remarque:

19 Faites les exercices suivants
Évaluer les limites suivantes 1) 2) 3)

20 La règle de l’Hospital reste valide pour
les indéterminations de la forme La démonstration est similaire mais légèrement plus technique.

21 Exemple: Exemple:

22 afin de pouvoir utiliser la règle de l’Hospital.
Il arrive très souvent qu’on puisse, à l’aide de manipulation algébrique, mettre une indétermination sous la forme ou afin de pouvoir utiliser la règle de l’Hospital.

23 Exemple:

24 Un autre astuce pour ramener une forme indéterminée à une forme
est de d’évaluer le log de la limite.

25 Exemple:

26 Aujourd’hui, nous avons vu
Révision des règles de dérivation Dérivée logarithmique Règle de l’Hospital

27 Devoir: Section 1.1