MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
(ACT2025) Robert Bédard ACT Cours 1

2 CHAPITRE I Intérêt et escompte
ACT Cours 1

3 L’intérêt et sa mesure L'intérêt est ce qu'un emprunteur d'un capital versera à un prêteur pour l'utilisation de cette somme pendant un certain temps. C'est aussi ce que le prêteur demande à l'emprunteur à titre de compensation pour ne pas pouvoir utiliser le montant prêté pendant la durée du prêt. Les deux parties doivent se mettre d'accord sur ce montant. ACT Cours 1

4 Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé:
Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur ACT Cours 1

5 Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé:
Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur ACT Cours 1

6 Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé:
Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur L'inflation ACT Cours 1

7 Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé:
Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur L'inflation Autres conditions afférentes: disposition permettant à l'emprunteur de régler son prêt plus tôt, … ACT Cours 1

8 Exemple 1: Alexandre emprunte 20000$ à la banque pour l’achat d’une automobile. Il rembourse ce prêt en faisant 48 paiements mensuels de 450$ à la fin de chaque mois. L’intérêt payé par Alex à la banque sera 48 X 450$ $ = 1600$. (Montant remboursé) - (montant emprunté) ACT Cours 1

9 Exemple 2: Bobby emprunte 5000$ à Cléo. Il rembourse ce prêt en faisant deux paiements: 2000$ après deux ans et 5000$ après six ans. L’intérêt payé par Bobby à Cléo sera (2000$ $) $ = 2000$. (Montant remboursé) - (montant emprunté) ACT Cours 1

10 Une transaction financière banale est l'investissement d'une somme d'argent à intérêt. Il suffit de penser à un dépôt dans un compte d’épargne à la banque. Dans une telle situation, le montant initial est appelé le principal ou le capital, le montant total reçu après une période de temps est appelé la valeur accumulée et la différence entre les deux: l'intérêt. ACT Cours 1

11 CONVENTION: Nous désignerons par t: le temps écoulé depuis la date de l'investissement avec comme convention que t = 1 signifie qu'une année s'est écoulée depuis l'investissement initial. Cette unité de temps est appelée la période (de capitalisation) et comme nous l'avons indiqué, celle-ci sera pour l’instant d'une année à moins d'avis contraire. ACT Cours 1

12 CONVENTION: Nous désignerons par t: le temps écoulé depuis la date de l'investissement avec comme convention que t = 1 signifie qu'une année s'est écoulée depuis l'investissement initial. Cette unité de temps est appelée la période (de capitalisation) et comme nous l'avons indiqué, celle-ci sera pour l’instant d'une année à moins d'avis contraire. Nous utiliserons le dollar comme unité monétaire dans ce cours. Mais nous aurions tout aussi bien pu utiliser l'euro, le yen,... Ceci n'a aucune incidence pour les concepts présentés. ACT Cours 1

13 Il existe plusieurs mesures de l’intérêt!
ACT Cours 1

14 Par exemple, Taux effectif d’intérêt ACT Cours 1

15 Par exemple, Taux effectif d’intérêt Taux nominal d’intérêt
ACT Cours 1

16 Par exemple, Taux effectif d’intérêt Taux nominal d’intérêt
Taux effectif d’escompte ACT Cours 1

17 Par exemple, Taux effectif d’intérêt Taux nominal d’intérêt
Taux effectif d’escompte Taux nominal d’escompte ACT Cours 1

18 Par exemple, Taux effectif d’intérêt Taux nominal d’intérêt
Taux effectif d’escompte Taux nominal d’escompte Taux instantané d’intérêt ou force de l’intérêt ACT Cours 1

19 L’intérêt peut aussi croître de plusieurs façons.
ACT Cours 1

20 Exemples de formes de capitalisation communes de l’intérêt:
Intérêt simple ACT Cours 1

21 Exemples de formes de capitalisation communes de l’intérêt:
Intérêt simple Intérêt composé ACT Cours 1

22 Exemples de formes de capitalisation communes de l’intérêt:
Intérêt simple Intérêt composé Escompte simple ACT Cours 1

23 Exemples de formes de capitalisation communes de l’intérêt:
Intérêt simple Intérêt composé Escompte simple Escompte composé ACT Cours 1

24 Pour définir tous ces concepts, il nous faut premièrement parler de la fonction de capitalisation.
ACT Cours 1

25 Considérons l'investissement de 1$ de principal et désignons alors par a(t) : le montant total accumulé au temps t. Alors a(t) est la fonction de capitalisation. ACT Cours 1

26 Exemple 3: (Intérêt simple) a(t) = (1 + it)
ACT Cours 1

27 Exemple 4: (Intérêt composé) a(t) = (1 + i)t
ACT Cours 1

28 Exemple 5: ACT Cours 1

29 Exemple 6: ACT Cours 1

30 Propriétés anticipées de la fonction de capitalisation:
ACT Cours 1

31 Propriétés anticipées de la fonction de capitalisation:
a(t) est une fonction croissante ACT Cours 1

32 Propriétés anticipées de la fonction de capitalisation:
a(t) est une fonction croissante a(t) est une fonction continue si l'intérêt croit continûment ACT Cours 1

33 Considérons l'investissement de k dollars de principal au lieu de 1 dollar et désignons alors par A(t): le montant total accumulé au temps t. Alors A(t) est la fonction d’accumulation. ACT Cours 1

34 CONVENTION: Nous supposerons dans ce cours à moins d’avis contraire que A(t) = k a(t) avec k = A(0) ACT Cours 1

35 Taux effectif d’intérêt pour la 1e période:
Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la première période sur le montant investi au début. En formule, nous obtenons où I1 est l’intérêt gagné pendant la première période ACT Cours 1

36 Taux effectif d’intérêt pour la ne période:
Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la ne période sur le montant investi au début de la ne période. En formule, nous obtenons où In est l’intérêt gagné pendant la ne période ACT Cours 1

37 Si nous connaissons les taux effectifs d’intérêt pour toutes les périodes, de la 1e à la ne, et le capital initial A(0), alors nous pouvons calculer le montant accumulé à la fin de la ne période, i.e. A(n) ACT Cours 1

38 En effet, A(1) = A(0) (1 + i1) ACT Cours 1

39 En effet, A(1) = A(0) (1 + i1) A(2) = A(1) (1 + i2) = A(0) (1 + i1) (1 + i2) ACT Cours 1

40 En effet, A(1) = A(0) (1 + i1) A(2) = A(1) (1 + i2) = A(0) (1 + i1) (1 + i2) et ainsi de suite pour obtenir finalement A(n) = A(0) (1 + i1) (1 + i2) ... (1 + in - 1) (1 + in) ACT Cours 1

41 Exemple 7: Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la 4e année. Si le principal investi est 8000$, alors ACT Cours 1

42 Exemple 7: Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la 4e année. Si le principal investi est 8000$, alors le montant accumulé après 4 ans est 8000( )( )( )( ) = $ ACT Cours 1

43 A(3) - A(2) = 8000(1.0575)(1.06)(1.055) - 8000(1.0575)(1.06) = 493.22$
Exemple 7: Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la 4e année. Si le principal investi est 8000$, alors le montant accumulé après 4 ans est 8000( )( )( )( ) = $ le montant d’intérêt gagné pendant la 3e année est A(3) - A(2) = 8000(1.0575)(1.06)(1.055) (1.0575)(1.06) = $ ACT Cours 1

44 Intérêt simple: (Description)
Considérons l'investissement de 1$ pour lequel le montant d’intérêt gagné à chacune des périodes est constant, disons égal à i. ACT Cours 1

45 Intérêt simple: (Description)
Considérons l’investissement de 1$ pour lequel le montant d’intérêt gagné à chacune des périodes est constant, disons égal à i. Noter que c’est le montant d’intérêt qui est constant et non le taux effectif d’intérêt! ACT Cours 1

46 Calculons la fonction de capitalisation:
a(1) = 1 + i a(2) = 1 + i + i = 1 + 2i et ainsi de suite pour obtenir a(n) = 1 + i n ACT Cours 1

47 Donc la fonction de capitalisation est
Si nous considérons plutôt la fonction d’accumulation, nous aurons ACT Cours 1

48 Dans ce qui précède, i désigne le taux d’intérêt simple. Nous avons
ACT Cours 1

49 Calculons le taux effectif d’intérêt pour chaque période:
Ainsi de suite, nous obtenons ACT Cours 1

50 Remarque 1: L’intérêt simple est surtout utilisé dans le court terme (semaine, mois) justement parce que le taux effectif d’intérêt décroit avec les périodes et ceci n’est pas intéressant comme investissement. ACT Cours 1

51 Intérêt composé: (Description)
Considérons l'investissement de 1$ pour lequel nous versons de l’intérêt sur le principal, mais aussi sur l’intérêt accumulé. Nous parlons d’intérêt sur l’intérêt. ACT Cours 1

52 Calculons la fonction de capitalisation.
et ainsi de suite pour obtenir ACT Cours 1

53 Donc la fonction de capitalisation est
Si nous considérons plutôt la fonction d’accumulation, nous aurons ACT Cours 1

54 Calculons le taux effectif d’intérêt pour chaque période:
Ainsi de suite, nous obtenons ACT Cours 1

55 Remarque 2: L’intérêt composé est surtout utilisé dans le long terme (années) justement parce que le taux effectif d’intérêt est constant tout au long de ces différentes périodes. ACT Cours 1

56 Remarque 2: L’intérêt composé est surtout utilisé dans le long terme (années) justement parce que le taux effectif d’intérêt est constant tout au long de ces différentes périodes. À moins d’avis contraire, nous allons toujours supposer que nous avons de l’intérêt composé! ACT Cours 1