Régression linéaire (STT-2400)

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1 Régression linéaire (STT-2400)
Section 3 Distributions des formes quadratiques Version: 12 février 2007

2 STT-2400; Régression linéaire
Introduction L’objectif de cette section est de cerner les distributions de probabilité de quantités telle De plus, on sera en mesure d’établir les distributions statistiques des différentes sommes de carrés dans la table d’ANOVA. On va justifier la distribution F du test global dans la table d’ANOVA. STT-2400; Régression linéaire

3 Remarque: hypothèse de normalité
Afin d’obtenir les distributions exactes on doit présumer: Pour un vecteur aléatoire on considère sa norme: La loi de la norme est telle que: C’est un exemple de distribution khi-carrée centrée: STT-2400; Régression linéaire

4 Distribution des estimateurs des moindres carrés
Considérons: On a vu que l’estimateur des moindres carrés est: STT-2400; Régression linéaire

5 STT-2400; Régression linéaire
Régions de confiance Puisque la matrice X’X est symétrique, inversible et par conséquent définie positive, on peut écrire: On rappelle que contient les valeurs propres de la matrice X’X. STT-2400; Régression linéaire

6 On rappelle: Ainsi: Ceci implique que:

7 Région de confiance quand la variance est connue
Considérons l’ensemble suivant: L’ensemble précédent est appelé une région de confiance de niveau de confiance 1 – a. En général il est difficile de représenter les régions de confiance graphiquement. Les régions de confiance sont des ellipsoïdes. STT-2400; Régression linéaire

8 Définition: distribution chi-carrée décentrée
Définition: Soit un vecteur aléatoire où le vecteur constant La loi de est une chi-carrée à n degrés de liberté et paramètre de décentralité On note STT-2400; Régression linéaire

9 Définition: distribution F de Fisher décentrée
Définition: Considérons U et V deux variables aléatoires indépendantes: La loi de la variable aléatoire: est dite une loi de Fisher décentrée de degrés de liberté (m,n) et paramètre de décentralité l. On note STT-2400; Régression linéaire

10 STT-2400; Régression linéaire
Propriété 3.10 Soit Soit A une matrice symétrique. Considérons la forme quadratique: Alors nous avons le résultat suivant: Dans un tel cas STT-2400; Régression linéaire

11 Propriété 3.11: Indépendance entre deux formes quadratiques
Soit Soient A1 et A2 deux matrices symétriques. Considérons les deux formes quadratiques suivantes: On a alors le résultat suivant: STT-2400; Régression linéaire

12 Propriété 3.12: Théorème de Cochran
Soit Considérons les p formes quadratiques suivantes: où: Le Théorème de Cochran affirme que sont mutuellement indépendantes, STT-2400; Régression linéaire