Construction du nombre au cycle II

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1 Construction du nombre au cycle II

2 Orientations pédagogiques faisant suite à l’évaluation CE1 en 2011 (Direction générale de l’enseignement scolaire - 07/09/2011) En mathématiques, c’est la connaissance des nombres et la maîtrise des opérations qui progressent le plus. La division et la multiplication sont mieux réussies, et plus généralement, les opérations mieux maîtrisées. Ce constat montre que l’effort doit être poursuivi pour les bases que sont la connaissance des nombre et une première maîtrise des opérations. L’approche de la division ne doit pas être négligée ; les évaluations laissent penser qu’elle est effectuée de manière trop tardive. Maîtrise du nombre, du calcul et résolution de problèmes sont intimement liées et doivent être menées de pair. L’ouvrage « le nombre au cycle 2 » est dans ce domaine une aide précieuse à la mise en œuvre complète et progressive des programmes. La compréhension en français comme en mathématiques requiert un entraînement spécifique, tout come l’automatisation des compétences de base. Très tôt les enfants sont placés face à des problèmes. En mathématiques, de petits problèmes de la vie courante doivent être proposés très tôt et régulièrement aux élèves. Le rôle du cahier de brouillon est essentiel : l’élève doit pouvoir tenter des solutions, en représentant au besoin la situation. La rédaction d’une solution au problème sur le cahier du jour ou le cahier de mathématiques est indispensable à la mémorisation de la stratégie ou de la méthode de résolution.

3 Evaluation CE1:les nombres
Exercice 1 : Ecris les nombres dictés en chiffres. 620 / 63 / 500 / 109 / 372 / 850 Item 60: Code 1 : au moins 5 nombres sur 6 Code 3 : 4 nombres correctement écrits et 2 nombres manquent Code 4 : 4 des 6 nombres corrects et 2 erreurs ou 1 erreur et 1 non réponse Code 9 : autre réponse Exercice 2 : Ecris les nombres en lettres. 562 / 191 / 106 Item 61 : Code 1 : correspondance grapho-phonétique correcte pour les 3 nombres Code 3 : 2 nombres corrects / 1 manque Code 4 : 2 nombres corrrects / 1 erroné Code 9 : autre réponse Exercice 3 : Ecris ces nombres du plus petit au plus grand. 184 / 241 / 109 / 89 / 210 Item 63 : Code 1 : réponse sans erreur Code 3 : Un nombre manque / reste correct Code 4 : du plus grand au plus petit Exercice 16 : Compter de 10 en 10, puis de 5 en 5, puis trouve la règle et continue à remplir les cases. Item 84 : Code 1 : de 10 en 10 réponse exacte / Code 3 : manque le dernier nombre / Code 4 : dernier nombre erroné / Code 9 : aucune réponse Item 85 : Code 1 : de 5 en 5 réponse exacte / Code 3 : absence de réponse dans les 2 dernières cases / Code 4 : erreur de réponse dans les 2 dernières cases / Code 0 : aucune réponse Item 86 : Code 1 : réponse exacte / Code 4 : suite croissante de multiples de 10 mais le point départ est erroné / Code 9 : aucune réponse

4 Exercice 22 : Complète en écrivant le signe qui convient : ≤ (est plus petit que) ou ≥ (est plus grand que) … Item 97 : Code 1 : inégalité correcte Code 9 : aucune réponse Exercice 23 : Indique avec précision où se trouvent les 5 nombres suivants 8 ; 19 ; 51 ; 78 ; 101 sur la droite graduée. Item 98 : Code 1 : réponse exacte Code 3 : 4 nombres correctement placés ; un nombre non placé Code 4 : 4 nombres correctement placés ; un nombre mal placé Code 9 : aucune réponse Exercice 24 : Complète les 2 phrases suivantes avec le nombre qui convient. (le double de 100 ; la moitié de 30) Item 99 : Code 1 : réponse exacte (200) Item 9 : aucune réponse Item 100 : Code 1 : réponse exacte (15) Item 9 : aucune réponse

5 Organisation : - Présentation des évaluations CE1 : - Orientations pédagogiques faisant suite à l’évaluation CE1 en Distribution des exercices sur le nombre (photocopie) - Etude des exercices avec consignes données et codes de correction - Echanges sur les compétences visées, le contenu des exercices et la forme des exercices. - Apprendre le nombre : - Socle commun et Programmes Connaître les nombres, c’est … - Les spécificités de notre système numérique - A quoi sert le nombre? Présentation des exercices 1 et 2. - Comment le concept se construit-il? - Construire le concept de nombre : - Reprise du diaporama « connaître les nombres, c’est… » : les enseignants se répartissent par groupe. (Un groupe par item) / Consigne : Proposer des activités avec supports et outils en fonction du niveau de classe pour atteindre la compétence liée à l’item retenu. (tableau à compléter / voir polycopié) ; (manuels à disposition / documents d’accompagnement / cahiers d’évaluations ) Mise en commun . Les tableaux seront récupérés, compilés et envoyés à chaque enseignant présent. - Problèmes additifs, soustractifs et multiplicatifs : - de la GS au CE1 / - dès la GS / - GS : problèmes de quantités et de nombres / GS : exemple de progression ( jeux proposés) - CP/CE1 : programmes 2008 / Différentes catégories de problèmes additifs et soustractifs Problèmes de multiplication au cycle II GS/CP : des problèmes de distribution et de partage

6 Ex 12

7 Ex 14

8 Ex 9

9 Ex 15

10 Connaître les nombres, c’est : -Savoir les utiliser pour résoudre des problèmes. Savoir les opérer. Savoir les désigner. Savoir les comparer. Savoir les utiliser pour mesurer.

11 Partie 2 Apprendre le nombre

12 IO 2008 et socle commun Les élèves mémorisent et utilisent les tables d’additions et de multiplications (par 2, 3, 4, et 5). Ils apprennent les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction et celle de la multiplication. Ils apprennent à résoudre des problèmes faisant intervenir ces opérations. Les problèmes de groupements et de partages permettent une première approche de la division pour des nombres inférieurs à 100. L’entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. Compétence 3 / palier 1 du socle commun / fin de CE1 : Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient est exact et entier), Restituer et utiliser les tables d’additions et de multiplications par 2, 3, 4 et 5, Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples.

13 Les spécificités de notre système numérique
La numération orale n’est pas positionnelle, elle est additive et multiplicative, On n’entend pas ce que l’on écrit / on n’écrit pas ce que l’on entend : 73, Irrégularités de 11, 12, ...,16, Jusqu’à 69 : numération orale de type additif, Après 69 : on n’utilise pas de nouveau mot, on ne comptabilise pas la nouvelle dizaine (ce qui n’est pas le cas des Belges), Entre 80 et 99 : la numération orale devient multiplicative et additive : 86 = (4 X 20) + 6

14 À quoi sert le nombre ? Le nombre est un outil de communication qui sert à : Mémoriser les quantités, pour construire des collections « équipotentes » sans la présence explicite de la collection de référence : Ex1 Agir sur les quantités, sans la présence explicite de celles-ci (à les transformer, anticiper sur leur réunion, les partager) Donc à calculer… Ex 2 Comparer les quantités, sans la présence explicite de celles-ci : Ex1 et Ex 2 Repérer des positions.

15 Comment le concept se construit-il ?
L’acquisition de la comptine est incontournable mais présente des difficultés. Le comptage-dénombrement : c’est l’association de la récitation de la chaîne orale (la comptine) et du pointage du doigt afin de désigner une quantité par un mot-nombre. La suite en chapelet : tous les mots sont attachés (l’élève récite sans pouvoir sélectionner), La suite insécable : les nombres sont différenciés mais le comptage s’effectue toujours à partir de « un ». La suite sécable : l’élève est capable de compter à partir de n’importe quel nombre et même à l’envers. La suite ne peut pas être stable. Notre comptine n’est pas facile à acquérir : (de 11 à 16, puis 70, 80, 90 …)

16 Dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus
une des méthodes pour dénombrer est- le comptage, c’est-à-dire l’utilisation de la chaine orale de un en un (un; deux; trois…) pour déterminer le cardinal d’une collection (ensemble d’objets). Pour arriver à dénombrer ainsi, la connaissance de la comptine ne suffit pas.

17 Dénombrement par comptage: compétences à développer
Enumérer: l’élève doit pointer une et une seule fois tous les éléments d’une collection, cette compétence peut être travaillée indépendamment de celle de la récitation de la comptine, elle implique la mise en place de procédures pour ne pas compter un élément plusieurs fois. Connaître la chaîne orale, c’est-à-dire la suite des mots-mots nombres. Synchronisation le pointage des éléments de la collection avec la récitation des mots nombres. Comprendre que le dernier mot nombre correspond au cardinal de la collection, c’est-à-dire le nombre d’objets présents. Comprendre que l’ordre de pointage est indifférent et qu’il conduit toujours à la même quantité.

18 Mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30
Cette mémorisation demande un apprentissage spécifique. Il convient d’aider les élèves à segmenter la chaine orale en variant les comptines, en fonction de la façon dont les nombres vont être dit. Un maniement correct de la chaîne orale est également nécessaire dans de nombreuses activités liées au nombre et aux première manipulations sur les quantités.

19 Proposition pour un maniement correct de la chaîne orale.
Arrêter la récitation de la comptine numérique à un nombre convenu d’avance (donne-moi 9 billes). Commencer la comptine numérique à n’importe quel nombre, cette action est utilisée lorsque l’élève doit surcompter. (lors d’un lancer de deux dés « 5 » et « 3 » l’élève peut tout recompter ou partir de 5). Réciter la comptine à l’envers, à partir de n’importe quel nombre, avec ou sans appui de la chaîne orale. Pour permettre le décomptage je suis sur la case 8, je recule de 3, donc je dis 7,6,5.

20 Quelques exemples de comptines
Les cubes 1 cube, 2 cubes 3 cubes 4 cubes 5 cubes 6 cubes 7 cubes 8 cubes 9 cubes, ça titube ! 10 cubes… PATATRAS ! 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 ET VOILÀ ! Tous les cubes Sont en tas… 1, 2, 3 nous irons au Bois Un deux trois nous irons au bois quatre cinq six cueillir des cerises sept huit neuf dans un panier neuf dix onze douze elles seront toutes rouges. Un, deux Un, deux, v'là les œufs Trois, quatre Faut les battre Cinq, six C'est Alice Sept, huit Qui les cuit Neuf, dix C'est Félix Onze, douze Qui les couve

21 Comment comparer deux très grandes quantités?
Exemple : collection A état initial Réponses : Avec la correspondance terme à terme, mais elle est fastidieuse et ne permet pas de communiquer. Avec le comptage dénombrement mais la mémoire est vite saturée … En « raréfiant » la collection … C’est-à-dire : en faisant des groupements puis des échanges contre des objets différents. 185 éléments Règle de groupement : 10  Collection A’ état final : 

22 Exercice 1 Le nombre sert à garder la mémoire de la quantité.
La variable du «banquier» permet le passage à la schématisation et à l’écrit. Schématisation par : le dessin d’une collection témoin, l’écriture du chiffre, le dessin de la bande numérique …

23 Le nombre sert à agir sur les quantités :
Un autre gobelet contenant 3 jetons. Un gobelet contenant 5 jetons. EX 2 L’enseignant retourne le gobelet, les jetons sont sur la table: « Combien y a-t-il de jetons? » De même pour le second gobelet : « Combien y-a-t-il de jetons? » Après la réponse, il replace les jetons dans le gobelet. Après la réponse, il replace les jetons dans le gobelet. « Maintenant, peux-tu deviner combien il y a de jetons cachés dans mes gobelets? »

24 Analyse de l’exercice 2 :
Dans cette situation, des mathématiques sont mises en œuvre par le sujet. Pourquoi ? parce que le réel s’est estompé, parce que le sujet est obligé d’anticiper une réponse, parce que la procédure, nécessaire pour obtenir une réponse, est à la charge du sujet et de lui seul, en outre, la validation reste tout de même, par un simple retour au réel (la vision des jetons en retournant les gobelets), parce qu’il est obligé de symboliser ou de schématiser la situation. Comment ? en utilisant ses doigts ou, plus tard, en faisant un dessin, qui est une représentation analogique du contenu des gobelets. Par exemple :

25 Construire le concept de nombre n’est pas QUE savoir réciter la comptine numérique :
Qu’est-ce qu’avoir conceptualisé le nombre « HUIT »? Connaître ce mot nombre, Savoir lire et écrire le chiffre « 8 », Savoir construire une collection de huit objets. Cela ne suffit pas : Savoir faire toutes ces tâches de différentes manières, Réunir 8 objets en les prenant 1 par 1 ? MAIS AUSSI En prendre 5 puis 3 ou selon la nécessité en réunir 6 puis encore 2, Frapper dans ses mains 8 fois mais en rythmant notre geste sous la forme 2 puis 2, 2 et encore 2.

26 Progressions GS GS CP CE1

27 Progressions GS

28 Progressions CP

29 Progressions CP

30 Progressions CE1

31 Problèmes additifs soustractifs et multiplicatifs.
Partie 3 Problèmes additifs soustractifs et multiplicatifs.

32 De la GS au CE1: Il s’agit de conduire les élèves à résoudre des problèmes essentiellement additifs et multiplicatifs en les amenant à automatiser le processus de reconnaissance de l’opération. Ce qui suppose d’être attentif à : La compréhension de l’énoncé, La diversité des formes de présentation, La progressivité dans l’élaboration des procédures et de l’automatisation des procédures utilisées.

33 Dès la GS : Il est nécessaire d’enseigner le passage de la situation à des représentations. Il est question de faire comprendre que l’énoncé d’un problème n’est souvent que l’habillage particulier d’une histoire que les élèves auraient pu vivre. Les énoncés demandent donc - pour leur compréhension -un travail particulier, une analyse spécifique (présentation des informations, contexte et vocabulaire). L’enseignant amènera les élèves à faire le lien entre les énoncés et des problèmes rencontrés antérieurement pour identifier progressivement les catégories de problèmes. Le passage de situations vécues à des problèmes évoqués permet de dégager progressivement l’élève des manipulations afin qu’il s’engage dans un processus de conceptualisation à l’aide d’une schématisation.

34 GS : problèmes de quantités et de nombres
Objectifs (Programmes 2008) : – comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités, – mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30, – dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus, – associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée. Les situations proposées doivent dépasser une approche perceptive globale des collections. Elles doivent prendre en compte les situations de distributions, de comparaisons, d’appariements.

35 GS :exemple de progression
Grande section : Progression le passage de la GS au CP doit conduire progressivement au passage du nombre à la numération : . Résoudre des problèmes : recherche de complément . Résoudre des problèmes de quantité : ajouter/retirer . Résoudre des problèmes de quantité : plus que, moins que, comparaison de quantités (exemple jeu de la bataille) . Résoudre des problèmes à l’aide d’un dessin . Résoudre des problèmes de partages . Résoudre des problèmes de déduction: Sudoku animaux

36 Procédures observées : Procédures observées :
Jeu de la tirelire: chaque joueur lance le dé une fois et obtient autant de jetons que de points indiqués sur le dé. Il place alors ses jetons dans sa tirelire. Problèmes d’ajout Problème 1 : « j’ai mis 4 jetons dans la tirelire, puis encore deux jetons. Vous devez trouver combien il y a de jetons dans la tirelire». Problème 2 : « j’ai mis 7 jetons dans la tirelire, puis encore 4 jetons. Vous devez trouver combien il y a de jetons  dans la tirelire». Procédures observées : Situation avec 4 jetons puis ajout de 2 : -Dessine les jetons puis compte. -Compte sur ses doigts. -Surcompte à partir de 4. -Connaît le résultat 4 et 2 : ça fait 6. Procédures observées : Situation avec 7 jetons puis ajout de 4 : -Dessine les jetons puis compte. Dessine 7 jetons puis 4 et dénombre l’ensemble. Compte sur ses doigts.

37 Etape 3 : Partager des collections dessinées
Etape 1 : Comprendre le problème Comment partager 15 jetons entre 3 pirates pour que le partage soit équitable? Etape 2 : Anticiper le résultat d’un partage équitable? Etape 3 : Partager des collections dessinées 1) Partager la collection de pions en 2 parties égales en les plaçant de chaque côté de la ligne. 2) Poser les pions dans la partie de droite pour avoir autant de pions de chaque côté de la ligne. 3) Sur chaque carte, tracer une ligne pour partager la collection en 2 parts égales. Exercices de consolidation

38 Partages équitables : exercices de consolidation.
Place autant de pièce d’or dans le sac de chaque pirate. Donne autant de pièce d’or à chaque pirate. Termine la distribution en donnant autant de pièce d’or à chaque pirate. Place autant de pièce d’or dans le sac de chaque pirate.

39 CP / CE1 Programmes 2008 : CP : résoudre des problèmes simples à une opération. CE1: résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication.

40 Les différentes catégories de problèmes additifs et soustractifs
Recherche de l’état final : « Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo ? » « Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant Léo ? » 2. Recherche de l’état initial : « Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo ? » « Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait-il de billes ? » 3. Recherche de la transformation positive : « Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 9 billes. Combien de billes Juliette a-t-elle données à Léo ? » 4. Recherche de la transformation négative : « Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de billes Léo a-t-il données à Juliette ? » 5. Recherche de la composition de deux états : « Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble? » 6. Recherche d’un état connaissant une composition composée de deux états : « Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a-t-il de billes ? » 7. Recherche d’un état par comparaison positive ou négative : « Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a-t-elle ? » « Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette a-t-elle ? » « Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette a-t-elle ? » « Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliette a-t- elle ? » « Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a-t-elle de plus que Léo ? » « Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a-t-elle de moins que Léo ? »

41 Problèmes de multiplication au cycle 2
Principales compétences attendues à la fin du cycle 2 (Palier 1 du socle commun) dans le champ multiplicatif : - calculer une multiplication, - diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient exact est entier), - restituer et utiliser les tables de multiplications par 2,3,4,5, - calculer mentalement en utilisant des multiplications simples, - résoudre des problèmes très simples. Problèmes de multiplication : deux types de problèmes sont à distinguer Problèmes relevant de l’addition réitérée : ex : Il y a 4 élèves. L’enseignante distribue 3 jetons à chaque élève. Combien distribue-t-elle de jetons en tout ? 2) Problèmes relevant de produit de mesures : Quel est le nombre de carreaux de chocolat que contient une tablette de 3 sur 4 ? Problèmes de division : deux types de problèmes sont à distinguer Problème de division quotition ex : L’enseignante a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe d’élèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y-t-il d’élèves ? 2) Problèmes de division partition : ex: L’enseignante a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves. Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de jetons a chaque élève ? Identification et choix des variables : La taille des nombres, la relation entre les nombres (double, moitié…), l’habillage de la situation et la présentation de l’énoncé (écrit, oral, dessin, schéma, matériel…) sont autant de variables qui peuvent moduler le niveau de complexité du problème proposé dans le cadre d’une pédagogie différenciée. C’est en faisant évoluer tour à tour chacun de ces paramètres que l’enseignant favorise chez l’élève la construction progressive des compétences en résolution de problèmes.

42 GS: des problèmes de distribution et de partage
Objectifs des programmes 2008 : Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. […]. À la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul. Compétences attendues à la fin de l’école maternelle : – comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités. Eléments de progression: En début d’année scolaire, ces activités sont conduites sous la forme de situations de découverte vécues et auto-validantes. Elles se prolongeront tout au long de l’année par des énoncés qui demanderont à être représentés pour ensuite être traités. En cours de GS, il s’agit de reprendre des problèmes de multiplication et de division avec un habillage nouveau et une présentation différente, pour amener l’élève à entrer pas à pas dans la symbolisation graphique (dessin, schéma, écriture chiffrée). La manipulation, initialement objet d’enseignement, devient alors progressivement un outil d’aide. Par ailleurs, l’enseignant s’autorisera à proposer, outre des situations vécues, des situations fictives en s’assurant qu’elles fassent sens pour l’élève. De même que pour les situations de découverte, les traces écrites collectives sont amenées à évoluer en fonction des procédures mises en œuvre par les élèves. En fin d’année scolaire, elles donneront lieu à une évaluation individuelle qui servira de repère à l’entrée au CP. Cette progressivité des situations d’apprentissage repose sur la continuité et la cohérence. Ces dernières nécessitent des traces écrites garantes des apprentissages des élèves (mémoire de la classe), traces que l’on interrogera tout au long de l’année.

43 Quelques exemples pour la grande section
L’enseignant propose aux élèves de jouer à un jeu de société qui nécessite des jetons. Il a quatre élèves autour de lui et il leur annonce ce qu’ils vont chercher. Vous allez chercher combien de jetons je dois prendre dans la boîte qui est devant moi. Chacun doit avoir trois jetons. Attention, je dois prendre les jetons en une seule fois. Je vous demande d’écrire le nombre de jetons que vous avez trouvé. Problème de multiplication (relevant de l’addition réitérée). En début de GS, cette situation est présentée oralement. Des jetons, une bande numérique individuelle (a minima nombres de 1 à 30) et une ardoise sont à la disposition éventuelle des élèves. L’enseignant annonce aux élèves qu’ils vont fabriquer un jeu de cartes. Vous allez chercher combien de cartes différentes on peut fabriquer avec trois formes géométriques (carré, rond, triangle) et quatre couleurs (jaune, rouge, vert, bleu). Attention, il y a une seule forme et une seule couleur par carte. Problème de multiplication (relevant du produit de mesures). L’enseignant a préparé des pots de peinture pour les ateliers. Il annonce aux élèves ce qu’ils vont chercher. Vous allez chercher combien d’ateliers fonctionneront cet après–midi. Il y a seize pots de peinture. Chaque groupe doit avoir quatre pots. Je vous demande d’écrire le nombre d’ateliers que vous avez trouvé. Problème de division quotition. L’école vient de recevoir des ballons en mousse. L’enseignant annonce aux élèves ce qu’ils vont chercher. Vous allez chercher combien de ballons le directeur va distribuer à chaque classe. Il y a quinze ballons et cinq classes. Bien évidemment chaque classe doit avoir le même nombre de ballons. Je vous demande d’écrire le nombre de ballons que vous avez trouvé. Problème de division partition.