Première S Programme transitoire de mathématiques année 2010/2011 En vert figurent les nouveautés. Sont de plus ajoutées les deux dernières sections du.

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1 Première S Programme transitoire de mathématiques année 2010/2011 En vert figurent les nouveautés. Sont de plus ajoutées les deux dernières sections du programme de seconde: Algorithmique (objectifs pour le lycée) Dans ce cadre, en particulier, lélève devra mettre en œuvre les notions de boucle et test. Les indications relatives à lutilisation de lalgorithmique sont précédés du signe. Notations et raisonnement mathématiques (objectifs pour le lycée)

2 ContenusModalités de mise en oeuvreCommentaires Analyse Valeur absolue: Définition de la valeur absolue dun nombre réel. Inégalité triangulaire. Fonctions usuelles: Définition dune fonction polynôme et de son degré. Résolution de léquation du second degré. Etude du signe dun trinôme. La valeur absolue permet de parler facilement de la distance entre deux nombres. On partira des fonctions étudiées en classe de seconde. Sur des exemples et selon le problème traité, on proposera plusieurs écritures dune même fonction trinôme, dune même fonction homographique. On aboutira ici aux formules usuelles donnant les racines et la forme factorisée dun trinôme du second degré. Létude de fonctions faisant intervenir la fonction « valeur absolue » nest pas un objectif du programme. Les transformations décriture seffectueront à loccasion de différentes activités (dérivation, recherche dasymptotes, résolutions déquations). On fera le lien entre les résultats et lobservation des représentations graphiques obtenues à laide dun grapheur.

3 ContenusModalités de mise en oeuvreCommentaires Dérivation: Approche cinématique ou graphique du concept de nombre dérivé dune fonction en un point. Nombre dérivé dune fonction en un point: définition comme limite de (f(a+h)-f(a))/h quand h tend vers 0. Fonction dérivée. Tangente à la courbe représentative dune fonction f dérivable; approximation affine associée de la fonction. Plusieurs démarches sont possibles: passage de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée pour des mouvements rectilignes suivant des lois horaires élémentaires (trinôme du second degré dans un premier temps); zooms successifs sur une représentation graphique obtenue à lécran dune calculatrice. A laide dun algorithme, on construira point par point un ou deux exemples dapproximation de courbe intégrale définie par y=f(t) et y(t0)=y0 en utilisant lapproximation affine. On ne donnera pas de définition formelle de la notion de limite. Le vocabulaire et la notation relatifs aux limites seront introduits sur des exemples puis utilisés de façon intuitive. Dans les cas usuels, la limite de (f(a+h)-f(a))/h sobtient, après transformation décriture, en invoquant des arguments très proches de lintuition. On ne soulèvera aucune difficulté à leur propos et on admettra tous les résultats utiles. La notion de développement limité à lordre 1 nest pas au programme. On pourra cependant évoquer le caractère optimal de lapproximation affine liée à la dérivée. On pourra observer sur grapheur ou tableur lerreur commise dans le cas où on connaît une expression de la fonction y.

4 ContenusModalités de mise en oeuvreCommentaires Dérivation (suite): Dérivée des fonctions usuelles: Puissance, racine carrée, cosinus et sinus. Dérivée dune somme, dun produit, dun quotient et de la composée dune fonction affine suivie dune fonction f. Lien entre signe de la dérivée et variations. On justifiera le résultat donnant la dérivée de uv et de 1/u. On étudiera, sur quelques exemples, le sens de variation de fonctions polynômes de degré 2 ou 3, de fonctions homographiques ou de fonctions rationnelles très simples. On introduira les notions et le vocabulaire usuels (extremums, majorant, minorant) et, de létude du sens de variation, on déduira des encadrements dune fonction sur un intervalle. On pourra admettre les dérivées des fonctions sinus et cosinus. On justifiera que la dérivée dune fonction monotone sur un intervalle est de signe constant; on admettra la réciproque. Létude de fonctions ne sera pas présentée comme une fin en soi, mais interviendra lors de la résolution de problèmes.

5 ContenusModalités de mise en oeuvreCommentaires Comportement asymptotique de certaines fonctions: Asymptotes verticales, horizontales ou obliques. On étudiera sur des exemples très simples (fonctions polynômes de degré 2 ou 3, fonctions rationnelles de type ax+b+h(x) avec h tendant vers 0 en linfini) les limites aux bornes de lintervalle de définition et les asymptotes éventuelles. On sappuiera sur lintuition; les résultats usuels sur les sommes et produits de limites apparaîtront à travers des exemples et seront ensuite énoncés clairement.

6 ContenusModalités de mise en oeuvreCommentaires Suites Modes de générations dune suite numérique. Suite croissante, suite décroissante. Suites arithmétiques et suites géométriques. Etude de lévolution de phénomènes discrets amenant à une relation de récurrence. Calcul des termes à laide dun algorithme donnant lieu à un programme sur calculatrice ou ordinateur; observation des vitesses de croissance (resp. de décroissance) pour des suites arithmétiques et des suites géométriques. Comparaison des valeurs des premiers termes des suites (1+t)^n et 1+nt pour différentes valeurs de t (en lien avec la notion de dérivée). On pourra étudier numériquement, sur ordinateur ou calculatrice, le temps de doublement dun capital placé à taux dintérêt constant, la période de désintégration duns substance radioactive, etc. On veillera à réaliser sur calculatrice ou ordinateur des programmes où interviennent boucle et test.

7 ContenusModalités de mise en oeuvreCommentaires Suites (et fin) Notion intuitive de limite infinie perçue à partir dexemples. Définition de la convergence dune suite, utilisation de cette définition. Limite dune suite géométrique. On utilisera au choix une des définitions suivantes pour la convergence dune suite vers a: Tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini dentre eux. Tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite à partir dun certain rang. On donne la définition dune suite divergente. Démonstration du théorème « des gendarmes »; les théorèmes sur la somme, le produit et le quotient de suites convergentes seront pour la plupart admis. On pourra mettre la définition en œuvre pour étudier une limite (exemple: suite wn=max(un,vn) ou pour montrer lunicité de la limite. On montrera avec des exemples la variété de comportement de suites convergeant vers une même limite. Le travail demandé ici à propos de la définition de la convergence est de nature épistémologique; il sera présenté comme tel aux élèves et pourra permettre damorcer une réflexion poursuivie en terminale, sur la nature des mathématiques. Toute définition en sigma et pi est exclue. La visualisation expérimentale du comportement asymptotique dune suite peut être faite sur ordinateur ou calculatrice soit à partir dun logiciel dédié (tableur, grapheur,…), soit par la mise en œuvre dun algorithme. On indiquera clairement quune fois la définition posée et les théorèmes établis, il est en général plus facile davoir recours aux théorèmes (ils sont là pour ça) plutôt quà la définition, sauf pour les contre- exemples. La définition dune limite infinie pourra être abordée ou non.

8 ContenusModalités de mise en oeuvreCommentaires Statistique Variance et écart-type. Diagramme en boîte; intervalle interquartile. Influence sur lécart-type et lintervalle interquartile dune transformation affine des données. Influence dune transformation affine des données sur la moyenne, la médiane, les quartiles car non traité en seconde ? On cherchera des résumés pertinents et on commentera les diagrammes en boîtes de quantités numériques associées à des séries simulées ou non. On observera linfluence des valeurs extrêmes dune série sur lécart-type ainsi que la fluctuation de lécart type entre séries de même taille. Lusage dun tableur ou la mise en œuvre dun algorithme adapté sur ordinateur ou calculatrice permettent dobserver dynamiquement et en temps réel les effets des modifications des données. Lobjectif est de résumer une série par un couple (mesure de tendance centrale; mesure de dispersion). Deux choix usuels sont couramment proposés: le couple (médiane; intervalle interquartile), robuste par rapport aux valeurs extrêmes de la série, et le couple (moyenne; écart-type). On démontrera que la moyenne est le réel qui minimise la somme des écarts quadratiques, alors quelle ne minimise pas la somme des écarts absolus. On notera s lécart type dune série, plutôt que sigma, réservé à lécart- type dune loi de probabilité.

9 ContenusModalités de mise en oeuvreCommentaires Probabilités Définition dune loi de probabilité sur un ensemble fini. Espérance, variance et écart-type dune loi de probabilité. Variable aléatoire, loi dune variable aléatoire, espérance, variance, écart-type. Modélisation dexpériences aléatoires de référence (lancers dun ou plusieurs dés ou pièces indiscernables ou non, tirage au hasard dans une urne, choix de chiffres au hasard, etc.) Le lien entre loi de probabilité et distributions de fréquences sera éclairé par un énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres. On expliquera ainsi la convergence des moyennes vers lespérance et des variances empiriques vers les variances théoriques. Par la mise en œuvre sur ordinateur ou calculatrice dun algorithme, on illustrera ceci par des simulations dans des cas simples. On pourra aussi illustrer cette loi avec les diagrammes en boîtes obtenus en simulant par exemple 100 sondages de taille n, pour n=10; 100; 1000. Par la mise en œuvre dalgorithmes, on simulera des lois de probabilités simples obtenues comme images dune loi équirépartie par une variable aléatoire (sondage, somme des faces de deux dés, etc.). On pourra par exemple choisir comme énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres la proposition suivante: Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les distributions de fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de P quand n devient grand. On indiquera que simuler une expérience consiste à simuler un modèle de cette expérience. La modélisation avec des lois ne découlant pas dune loi équirépartie est hors programme. On évitera le calcul systématique et sans but précis de lespérance et de la variance de lois de probabilité.

10 ContenusModalités de mise en oeuvreCommentaires Géométrie Sections planes: Sections planes dun cube, dun tétraèdre. Repérage: Repérage polaire dans le plan et trigonométrie; mesures des arcs, des angles orientés, radian. Mesure principale dun arc, dun angle, définition dune rotation. Relation de Chasles, lignes trigonométriques des angles associés. Pour aborder ces problèmes, les élèves pourront saider de manipulations de solides et dun logiciel de géométrie. Repérage dabord dun point sur le cercle trigonométrique, à laide dun réel défini à un multiple de 2pi près; lien entre repérage polaire et repérage cartésien. Le cadre de la géométrie repérée offre la possibilité de traduire numériquement des propriétés géométriques et permet de résoudre certains problèmes par la mise en œuvre dalgorithme simples. On utilisera les règles dincidence vues en classe de seconde pour justifier les constructions des différentes sections planes possibles. Ce travail en consolidant la perception de lespace, facilitera lintroduction du repérage cartésien en Terminale. Cest en « enroulant R » sur le cercle trigonométrique que les élèves ont défini en seconde le cosinus et le sinus dun nombre réel. On gardera ici cette vision dynamique de lenroulement.

11 ContenusModalités de mise en oeuvreCommentaires Géométrie vectorielle plane: Calcul vectoriel dans le plan. Barycentre de quelques points pondérés dans le plan. Associativité du barycentre. Produit scalaire dans le plan: définition, propriétés. Applications du produit scalaire: projeté orthogonal dun vecteur sur un axe; calculs de longueurs. On utilisera la notion de barycentre pour établir des alignements de points, des points de concours de droites. Propriétés de bilinéarité, de symétrie et expression analytique dans un repère orthonormal. Equation dune droite à laide dun vecteur normal, équation dun cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre. Calculs dangles, de longueurs et daires sur des figures planes en liaison avec le produit scalaire. Reprise du programme de seconde. La notion de barycentre, utile en physique et en statistique, illustre lefficacité du calcul vectoriel. On évitera toute technicité. On pourra faire le lien avec le travail dune force. Pour certains exercices, il pourra être utile de disposer des formules reliant les sinus des angles, les côtés et laire dun triangle. En exercice, on pourra établir et utiliser la formule dite dAl Kashi, le théorème de la médiane et les formules daddition et de duplication pour les fonctions cosinus et sinus.

12 ContenusModalités de mise en oeuvreCommentaires Transformations: Translations, rotations et homothéties dans le plan: définitions; image dun couple de points; effet sur lalignement, les angles orientés, les longueurs, les aires; image dune figure (segment, droite, cercle). Lieux géométriques dans le plan Toutes les transformations connues seront utilisées dans létude des configurations, la détermination des lieux géométriques et dans la recherche de problèmes de construction, en particulier au travers des logiciels de géométrie. Les logiciels de géométrie dynamique ou de programmation seront utilisés pour visualiser certains lieux. On choisira quelques exemples mettant en évidence la diversité des méthodes de recherche (propriétés des configurations, vecteurs, produit scalaire, transformations, géométrie analytique). On veillera à traiter des cas nécessitant de démontrer une double inclusion. Les symétries axiales et centrale vues au collège déjà vues au collège nont pas à faire lobjet dun chapitre particulier. La problématique des lieux géométriques sera présente dans tous les paragraphes de géométrie. Elle ne fera pas lobjet dun chapitre indépendant. Il sagit de ne pas sen tenir à une simple observation mais de mobiliser les connaissances pour établir mathématiquement diverses caractéristiques géométriques. On sappuiera, le cas échéant, sur le caractère bijectif des transformations ou sur une démarche danalyse-synthèse.

13 Les points supprimés: Dans lancien chapitre « Généralités sur les fonctions »: les opérations sur les fonctions (somme, produit par une constante, produit, quotient, composée) et les propriétés de stabilité de certaines familles par certaines opérations, les contre exemples sur les variations de u+v ou uv, le sens de variation dune fonction de la forme u+k ou ku, la fonction u étant connue et k étant une constante réelle, le sens de variation de la composée de deux fonctions monotones, les courbes des fonctions associées. Probabilité dun événement, de la réunion et de lintersection dévénements, et le cas de léquiprobabilité car déjà traité en seconde. Le calcul vectoriel dans lespace et la notion de barycentre dans lespace. Le repérage cartésien dans lespace, la distance entre deux points en repère orthonormal, les équations de quelques objets de lespace. Les transformations de lespace et leurs effets sur les volumes.