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Fonction exponentielle
Etabli : (P) : f non nulle dérivable sur R telle que f(x + y) = f(x).f(y) équivaut à : (Q) : f non nulle dérivable sur R telle que : f’ = f et f(0) = 1 Théorème : Il existe une unique fonction f non nulle, définie et dérivable sur R telle que : f ‘= f et f (0) = 1. Cette fonction est la fonction exponentielle notée : exp Conséquences directes : exp’ = exp et exp(0) = 1 exp(0)= 1 donc exp’(0) = 1. La tangente à (Cf) au point (0 ; 1) a pour équation réduite : (existence admise) y = x + 1
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ex-y = Propriétés : Pour tous réels x et y : exp(x + y) = (1) exp (-x) = (2) exp (x - y) = (3) exp (nx) = (4) exp(x).exp(y) [exp(x)]n Autre notation (introduite par Euler) (4) pour x = 1 : exp (n) = [exp (1)]n On note e le nombre exp (1) . Alors : exp (n) =en On étend cette notation à tout réel x. Ainsi : exp (x) =ex e-x = En particulier : = 1 et = e0 e1 e On réécrit avec cette notation les propriétés ci-dessus : ex+y = ex . ey
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