Nombres et calcul Quelles modifications apportées par les programmes 2002 et 2005 ?

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2 Nombres et calcul Quelles modifications apportées par les programmes 2002 et 2005 ?

3 Quelques points forts  Des changements à l’école primaire : ce que savent les élèves en entrant en 6ème a changé (dans les textes).  Une insistance sur le calcul mental  La construction de connaissances se fait par la recherche de problèmes, en s’appuyant sur les acquis des élèves.

4 Les changements à l’école primaire  L’introduction des décimaux  Signification des écritures fractionnaires  Les opérations sur les décimaux  La division  Le calcul réfléchi

5 Extrait du programme 2002 du cycle 3 Le programme de 6ème s’inscrit dans la continuité du point de vue de la place et de l’importance du calcul mental. « La diffusion maintenant généralisée des calculatrices rend moins nécessaire la virtuosité des élèves dans les techniques opératoires (calcul posé) [...] Le calcul mental sous toutes ses formes (résultats mémorisés, calcul réfléchi) occupe la place principale et accompagne l'usage intelligent d'une calculatrice ordinaire. »

6 Extrait du programme 2005 de 6 ème résolution de problème « La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problème, l’élève étant capable de faire le choix du moyen de calcul le plus approprié dans une situation donnée. Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée. priorité La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l’objet d’activités régulières. »

7 Différentes formes de calcul Calcul automatisé Calcul réfléchi Calcul mental Calcul papier crayon Calcul instrumenté Résultats mémorisés Procédures automatisées Technique opératoire Calcul usuel Résultats reconstruits Procédures personnelles Adaptation à la machine Exercices spécifiques

8 Calcul mental

9 Le calcul mental est...  utile dans la vie ordinaire  nécessaire pour un calcul posé  un outil de contrôle  le lieu d ’établissement de relations entre calcul et raisonnement  un moyen de progresser dans la résolution de problèmes

10 Des objectifs en calcul mental Automatisation de certains résultats ou procédures On vise la rapidité

11 Le calcul mental Quelques exemples en cinquième Tables de multiplication 9x7 mais aussi 42 : 6 Addition, soustraction de nombres relatifs -5+2 -60 – 40150 - (- 850) Mais aussi : calculer la somme de 6 et du produit de 5 par 4 Opérations sur les fractions 9 2 - 5 2 2 5 x 4 3 3 x 1 7 etc… 5 8 + 3 8

12 Le calcul mental Quelques exemples en quatrième -2 5 x 4 3 3 : 1 7 etc… 1 2 - 5 2 - Opérations sur les fractions Calcul littéral Développer 5 x (2- x ) Statistiques Calculer la moyenne des valeurs 8 ; 10 ; 15 10 3 x 10 8 Opérations sur les puissances de 10 etc… 10 5 10 7

13 Des objectifs en calcul mental Production de nouveaux résultats à partir d’anciens. On vise la prise de confiance et l’autonomie. Chaque item est un problème de calcul. Les élèves explicitent différentes procédures de calcul.

14 Enchaînements d’opérations 1 + 2 x 3 60 – (20 + 30) 9+39+3 4 Calcul d’aires Conversions Convertir en m² : 5 dm² Convertir en cm 3 :12 m 3 Le calcul mental Quelques exemples en cinquième Calcul d’angles 30° 40° Équations Tester si l’égalité est vraie pour a=3 2a – 2 = 2x2 Calcul sur les fractions 2 + 1 3

15 Le calcul mental Quelques exemples en quatrième Calcul littéral Si x = 5, calculer 5 x – 3 Si a= 10 et b = -2, calculer 5a – 2b Calcul de volumes 3 m 4 m Équations Résoudre l’équation -7x = 35 Résoudre l’équation 2x + 10 = 15 48 362 6418 94 4912 10016 81 6 114 Carrés Associer le carré et le double d’un même nombre Calcul sur les fractions 1 - : 0,25 5 3 3 7

16 Des objectifs en calcul mental Résolution de problème. On vise la disponibilité des procédures de calcul. On peut donner oralement les énoncés et demander simplement résultat et procédure de calcul.

17 Proportionnalité : 2,5 kg de figues coûtent 10 €. Combien coûtent 1,2 kg de figues ? Le calcul mental Quelques exemples en cinquième Fractions : de l’aire du jardin est occupée par un bassin à poissons. de l’aire du jardin est occupée par le potager. Quelle fraction de l’aire du jardin reste-t-il pour la pelouse ? 1 6 1 3

18 Le calcul mental Quelques exemples en quatrième Vitesse moyenne : Un escargot parcourt 20 cm en 15 secondes. Quelle distance parcourt-il en 1 minute ? En 1 heure ? Pourcentages : Les prix sont baissés de 10 %. Calculer le nouveau prix d’un article coûtant 130 € au départ. Inégalités : Proposer 3 valeurs de x pour lesquelles l’inégalité x + 5 < 3x est vérifiée x a y Trigonométrie : Dans ce triangle rectangle, sachant que cos a = 0,5 et x = 6, calculer y

19 Pistes pour travailler régulièrement  Rythme : Quelques questions en début de chaque cours, fixer un jour par semaine, le plus souvent possible au cours des séances,…  Pour les questions : oralement, sur un vidéo projecteur, sur une fiche, l’utilisation d’un logiciel en salle pupitre, jeux de calcul,…  Pour les réponses : Une ardoise pour chaque élève, le cahier, une fiche, l’ordinateur, à la maison en auto-entraînement,…  Penser à la correction, remédiation, notation.

20 Places des problèmes dans les apprentissages numériques

21 Problèmes pour apprendre, découvrir, enrichir une notion, une technique un ou plusieurs  Avant le cours, un ou plusieurs problèmes de recherche ad hoc situations problèmes ->situations problèmes

22 Problèmes faisant suite aux apprentissages de notions et techniques  Des problèmes pour entraîner et réinvestir ces notions problème d’application -> problème d’application

23 Problèmes de réinvestissement plus complexes  Dont la résolution nécessite la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances problèmes complexes -> problèmes complexes

24 Problèmes centrés sur le développement des capacités à chercher  En général, pour ce genre de problèmes, les élèves ne connaissent pas de solution experte problèmes ouverts -> problèmes ouverts