La démonstration en mathématiques

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1 La démonstration en mathématiques
En géométrie, des constatations ou des mesures sur un dessin n'est pas suffisant. Elles permettent seulement d'établir des conjectures : Définition : Une conjecture est un énoncé qui semble vrai alors qu'on ne l'a pas encore prouvé. Pour prouver que des énoncés de géométrie sont vrais, il faut effectuer des démonstrations. Pour cela, il faut suivre plusieurs étapes :

2 Avec un exemple… Soit une droite (u) et deux points A et B de (u) . Par A tracer la droite (d) perpendiculaire à (u) et par B la droite (d’) perpendiculaire à (u) . Que peut-on dire des droites (d) et (d’) ? (conjecture) (d) (d’) (u) A B Conjecture: (d)//(d’)

3 HYPOTHESES ou INFORMATIONS:
B (d) (d’) Démonstration BUT : (d) // (d’) HYPOTHESES ou INFORMATIONS: Conclusion Donc (d) // (d’)

4 C’est bien cette fiche . Quels théorèmes contient-elle ?
Pour construire une démonstration, l’ouvrier mathématicien a besoin d’outils Ces outils portent entre autres le nom de théorèmes Ces théorèmes nombreux sont réunis sur des fiches par thème Laquelle de ces fiches contient-elle le précieux théorème ? C’est bien cette fiche . Quels théorèmes contient-elle ? Fiche :Comment démontrer qu’un triangle est isocèle Fiche :Comment démontrer que deux distances sont égales Fiche :Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires Fiche :Comment démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle Fiche :Comment démontrer que deux droites sont parallèles Fiche :Comment démontrer qu’un triangle est rectangle (u) A B (d) (d’) BUT : (d) // (d’) Hypothèses: A  (u) B  (u) (d)  (u) B  (d’) (d’)  (u) A  (d)

5 Comment démontrer que deux droites sont parallèles
·         Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles . ·         Si deux droites déterminent avec une sécante des angles alternes-internes de même mesure alors elles sont parallèles ·         Si deux droites déterminent avec une sécante des angles alternes-externes de même mesure alors elles sont parallèles ·         Si deux droites déterminent avec une sécante des angles correspondants de même mesure alors elles sont parallèles ·         Si un quadrilatère est un trapèze alors ses bases sont parallèles ·         Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles ·         Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles ·         Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles Quel théorème semble être le mieux adapté à ce problème ? C’est sûrement le bon théorème . Observons le (u) A B (d) (d’) BUT : (d) // (d’) Hypothèses: A  (u) B  (u) (d)  (u) B  (d’) (d’)  (u) A  (d)

6 l’on a deux droites perpendiculaires à une même droite
Mais il faut savoir que … Hypothèses l’on a deux droites perpendiculaires à une même droite   Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles Théorème Ce théorème permet de démontrer que deux droites …. Conclusion Sont parallèles

7 prop riété hypothèses conclusion
Rédigeons notre première démonstration : hypothèses Les deux droites (d) et (d’) sont perpendiculaires à la même droite (u) On a les hypothèses: prop Alors Or si : deux droites sont perpendiculaires à une même droite riété elles sont parallèles conclusion Donc les droites (d) et (d’) sont parallèles