Triangulation de Delaunay

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1 Triangulation de Delaunay
Mastère photogrammétrie, positionnement, mesures de déformation Triangulation de Delaunay Yves EGELS

2 Triangulation de Delaunay
Les MNT grille ont une topologie très simple : La gestion informatique est élémentaire : tableau bidimensionnel d ’altitudes Mais la taille de la maille doit être proportionnelle à la plus grande fréquence spatiale représentée On peut implémenter des grilles à pas variable (Quadtree par exemple) Charles Eugène Delaunay

3 Triangulation de Delaunay
Une autre solution : joindre les points de mesure par des triangles Une triangulation simple et unique : Delaunay/Voronoï

4 Triangulation de Delaunay
Propriété caractéristique : aucun sommet n ’est intérieur aux cercles circonscrits aux triangles de Delaunay O appartient à 3 cellules de Voronoï ses 3 plus proches voisins sont A,B C. Donc D est plus éloigné, donc hors du cercle circonscrit A B C O A B C D D Conséquence : la somme des angles opposés à une arête de Delaunay est inférieure à  : AD convient, BC non (B+C < ), soit

5 Triangulation de Delaunay
Toutes les triangulations complètes comprennent le même nombre de triangles : 2n-2-k triangles, 3n-3-k arêtes, n : nb de points; k : nb de sommets de l’enveloppe convexe. Très nombreux algorithmes de génération, de complexité très variable

6 Triangulation de Delaunay
Un exemple : addition récursive [en O(n*ln(n))] Trier les sommets suivant une coordonnée (tout sommet est alors extérieur à l ’enveloppe convexe des précédents) Relier un sommet aux précédents sommets de l ’EC visibles Tester récursivement la contrainte angulaire sur les triangles formés, inverser les quadrilatères mal conformés

7 Triangulation de Delaunay
Usage : trouver en tout point la valeur d ’une fonction connue sur des points isolés : MNT construit sur des point cotés par exemple Il est indispensable de gérer une topologie pour éviter de balayer tous les triangles 1 : A,B,C,2,-,- 2 : B,C,D,4,3,1 3 : B,D,F,5,-,2 4 : D,E,F,-,3,4 5 : C,D,E,5,-,2 Pour chaque triangle: les 3 sommets les 3 triangles opposés au sommet correspondant A B C D E F 1 2 3 4 5 M Pour aller de A à M, on est à l ’intérieur de l ’angle A, donc on sort dans le triangle 2. On coupe le coté CD, opposé à B, on passe au triangle 4, on coupe DE opposé à C, on passe à 5, arrivé!

8 Triangulation de Delaunay
Saisie d ’un MNT pour triangulation : Lignes caractéristiques : crêtes, talwegs, haut et bas de talus Importer les objets au sol : routes, limites de culture… Applications cartographiques Orthophoto par facettes modèles de surface très irréguliers (MNE) réalité virtuelle Semis de points au scanner laser Ces triangulations sont 2,5D. En 3D complet (architecture…) il n ’est pas simple de reconstruire la surface sans information complémentaire. La densité des points doit être proportionnelle à la courbure de la surface (théorème de la croûte)

9 Triangulation de Delaunay
Pour représenter la surface topographique, cette triangulation est insuffisante: il faut tenir compte de lignes contenues dans la surface (lignes de contrainte)

10 Triangulation de Delaunay
Objet VRML : IndexedFaceSet IndexedFaceSet { coord Coordinate { point [ , , , 1 0 1, ] } coordIndex [ # face A, right # face B, back # face C, left # face D, front ] # face E, bottom

11 Triangulation de Delaunay
OpenGL : pas de support direct On peut générer une liste de triangles, mais les sommets sont redondants La triangulation doit être décomposée en objets plus simples: Hélice : 1,2,3 1,3,4 1,4,5 1,5, N+2 sommets décrivent N triangles Bande de triangles : 1,2,3 3,2,4 3,4,5 5,4, Mais les algos de découpe automatique sont np-complets…