Modalités des discours et courbures des figures Séminaire Mamuphi Samedi 15 mars 2008 René Guitart Université de Paris 7

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1 Modalités des discours et courbures des figures Séminaire Mamuphi Samedi 15 mars 2008 René Guitart Université de Paris 7 guitart@math.jussieu.fr

2 Nous soutiendrons ceci : la modélisation mathématique qualitative n’a pas à choisir entre l'approche logique et l'approche géométrique, entre dire et voir —point de ‘pulsation’ du travail mathématique — puisqu'au point de vue diagrammatique ces méthodes s'identifient l'une à l'autre. Nous rapprocherons de façon précise la démarche « logicienne » par spécification de modalités, et la démarche « homologicienne », par spécification de conditions sur la courbure ou l’homologie. Ce rapprochement sera exposé de deux façons, d'abord en termes d’assimilations et de conditions différentielles générales et puis en termes d’homologie générale. Modalités des discours et courbures des figures

3 La première partie reprendra l'unification par le calcul des assimilations qui permet de comprendre l’écriture de conditions différentielles générales, incluant les conditions de modalités spéculatives et les conditions de courbure. Question du réglage direct de comment les discours changent, de comment les figures changent. La deuxième partie affirmera encore que d’un point de vue suffisamment éloigné la logique comme question des quantifications et modalités discursives et la cohomologie comme théorie du calcul qualitatif de la courbure et des déformations, se rejoignent ; et cette fois pour le voir il sera fourni une définition générale du concept d'homologie dont dérive aussi bien les techniques de logique intuitionniste que les techniques d'algèbre homologique abélienne classique. On est alors dans une problématique plus vaste que dans la première partie, puisqu'il s'agit non plus d'un simple réglage du changement, mais de l'analyse de la forme même des changements, des changements de changements, etc.

4 Références : 1)Images et modalités, Résumé d'une conférence au SIC à Amiens, le samedi 10 novembre 2001, 2 p. 2) Calcul d’assimilations, modalités et analyse d’images, in Calculs et formes, Ellipses, 2003, Actes du Colloque « Mathématiques : calculs et formes », Université Toulouse Le Mirail, septembre 2000, 175-189. 3) An anabelian definition of abelian homology, CTGDC XXXXVIII, 4, 2007, 261-269.

5 0 - COURBURE ET MODALITÉ

6 Courbure  (x,y) R T N Équation naturelleRepère mobile Abscisse curviligne

7 Modalité p  (q  p) (p  (q  r))  ((p  q)  (p  r)) (p  q)  p (p  q)  qp  (q  (p  q)) p  (p  q) q  (p  q) (p  r)  ((q  r)  ((p  q)  r))  p p  (p   ) Calcul propositionnel classique Règles : MP f, f  g / g Subst f /fs Nécessité : ff Possibilité :  f =    f Négation :  f = f   K = Cl + (  (p  q))  (  p   q)+(RN) Règle : RN f/  f S4 = K +  p  p +  p   p Rm : le calcul propositionnel intuitionniste se représente dans S4.

8 Courbure Modalité p  (q  p) (p  (q  r))  ((p  q)  (p  r)) (p  q)  p (p  q)  qp  (q  (p  q)) p  (p  q) q  (p  q) (p  r)  ((q  r)  ((p  q)  r))  p p  (p   ) Calcul propositionnel classique Règles : MP f, f  g / g Subst f /fs Nécessité : ff Possibilité :  f =    f Négation :  f = f   K = Cl + (  (p  q))  (  p   q)+(RN) Règle : RN f/  f S4 = K +  p  p +  p   p Unifications ?  1- Calcul d’assimilations  2 - Calcul d’homologie

9 1 - ASSIMILATIONS

10 Assimilation x, y  E :   E  E, ou   P(E  E) y   x  (x, y)   X, Y  E : X   = { y ;  x (y   x & x  X)} Y   = { x ;  y (y   x  y  Y)} Augmentation Diminution La relation d’adjonction : X    Y  X  Y   La variation   X :   X =  -  X   +  X  -  X = X\(X   )    +  X = ((X   )   )\X Condition différentielle :   X = D Régime d’assimilations a : F  P(E  E) + b : G  P(F  F) + etc. Axiome de passage :  x,y  E  i  F ( y  a(i) x  r  G {  j  F}[j  b(r) i  y  a(j) x ] )

11 Régime métrique du plan et courbure E = R 2 F = R y  a(  ) x  la distance de y à x est inférieure à  R R+  Propagation des ondes et courbes parallèles : Cela donne à voir la courbure, les caustiques (points br û lants) X X X  distance de Hausdorff D(A, B) = {  ; A  B   et B  A   } d(A, B) = inf D(A, B) d(X, E\ (X   )) = 

12 Modalités Soit R  E  E un « cadre » Alors en interprétant une proposition f par une partie X f de E, la sémantique de Kripke donne avec  = R:  f   R X f = X f    f   R X f = X f   op Un élément x de E est pensé comme un monde où une proposition peut être valide ou non ; (x,y)  R signifie que le monde y est accessible depuis x

13 Assimilation et logique spéculaire G un graphe, X  obj(G) X b  X  X  X b = sous-crible maximum X  = sur-crible minimum Analogue à (X   )    X  (X   )   a b, b  C Crible : a  C

14 2 - HOMOLOGIES

15 Courbure de surface : R Les sections normales ont un rayon de courbure R qui varie entre R 1 et R 2. La courbure gaussienne est Courbure et homologie Gauss-Bonnet : Avec et aussi

16 Extensions, satellites et homologies A B K V F A B K V F A B K V F ? = Lan K F Ran K F VAVA VBVB Lan K Exact à droite VAVA VBVB Ran K Exact à gauche M X J C P C F L R M X J C P C F R L PMPM LMLM CMCM RMRM CMCM CXCX Lan J PMPM RMRM CMCM LMLM CMCM CXCX Ran J H * [X,F] = Ran L M (Lan J° R M )(F)(X)H * [X,F] = Lan R M (Ran J° L M )(F)(X)

17 Homologies H * [X,F] = Ran L M (Lan J° R M )(F)(X) H * [X,F] = Lan R M (Ran J° L M )(F)(X) Y M X C PC I J L R F Y M X C PC I J R L F B A a b a b A B X C B X C B ** ** H * [X,F] = lim  *

18 Homologies H * [X,F] = Ran L M (Lan J° R M )(F)(X) H * [X,F] = Lan R M (Ran J° L M )(F)(X) Y M X C PC I J L R F Y M X C PC I J R L F B A a b a b A B X C B X C B ** ** H * [X,F] = lim  *

19 Homologie et cohomologie abélienne H * [X,F] = Ran L M (Lan J° R M )(F)(X) H * [X,F] = Lan R M (Ran J° L M )(F)(X) Y M X C PC I J L R F 0  C  B  A  0 C A Ext Ab L R M’ Top AbExt Ab L R F M Analyse d’espace Analyse de groupe

20 Logique Spéculaire Y M X C PC I J L R F B A a b Y M X C PC R L F a b A B IJ H * [X,F] P  obj(S)  S E : S op  Ens E P : P  S op  Ens (Sub E P ) n (Sub E) n (Sub E Q ) n Sub E P Sub E Sub E Q (P)Q(P)Q PP  (Sub E P ) n (Sub E) n (Sub E Q ) n Sub E P Sub E Sub E Q (  bP )  Q  bP  Q  obj(S)  S E Q : Q  S op  Ens Sub E Sub E P EPEP PP bP Sub E Sub E P EQEQ QQ bQ (   P )  Q = H * [-,  ] (  bP )  Q = H * [-,  ]