Chapitre 1 : Transmission numérique en bande de base

Chapitre 1 : Transmission numérique en bande de base
Table des matières Chapitre 1 : Transmission numérique en bande de base {d'j} {dj} uR(t) Décodage de canal Puits Régénérateur Source Codage de canal {dj} {ai} {a'i} Canal p(t) Emetteur Récepteur 1.1 Codage de canal 1.1.1 Analyse spectrale 1.1.2 Récupération de l'horloge 1.1.3 Analyse des principaux codes 1.1.4 Séquence binaire pseudo-aléatoire 1.2 Influence du canal 1.2.1 Régénération 1.2.2 Interférence entre les symboles 1.2.3 Performances en présence de bruit 1.2.4 Influence combinée des interférences et du bruit 1.3 Capacité du canal Télécommunications Numériques SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Introduction uBE(t) t A  uE(t,1) {ai} 1 uE(t,2) uE(t,N) Le signal uE(t), issu du codeur, est un signal aléatoire dans la mesure où sa valeur instantanée est imprévisible (elle dépend de la suite binaire à l'entrée du codeur) La nature aléatoire de uE(t) est essentielle car seuls les signaux ayant un caractère aléatoire peuvent transmettre de l'information. Un signal observé doit être considéré comme une réalisation particulière d'un ensemble de signaux similaires qui sont tous susceptibles d'être produits par le codeur. Ces signaux peuvent être caractérisés par leurs propriétés statistiques et fréquentielles. Processus aléatoire Un processus aléatoire peut être défini comme une famille de fonctions réelles (ou complexes) à deux variables x(t,) notée souvent, plus simplement, x(t). t représente le temps et  est un élément de l'espace des expériences. Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Processus aléatoire (1)
x(t,) t t1 x2 t2 1 2 3 4 x1 Interprétation de x(t) Selon le contexte, x(t) désigne : une famille de fonctions du temps : t et  variables une fonction du temps : t variable et  fixé une variable aléatoire : t fixé et  variable un nombre : t et  fixés Caractérisation de x(t) D'une manière générale, un processus aléatoire est défini par : sa fonction de répartition d'ordre N (N et ti quelconques) La connaissance de la fonction d'ordre N entraîne la connaissance des fonctions d'ordre N-1 Dans le cas continu, on définit également la densité de probabilité d'ordre N : Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

x(t,) t t1 x2 t2 1 2 3 4 x1 Interprétation de x(t) Selon le contexte, x(t) désigne : une famille de fonctions du temps : t et  variables une fonction du temps : t variable et  fixé une variable aléatoire : t fixé et  variable un nombre : t et  fixés Exemple : pour t=t1 fixé, densité de probabilité d'ordre 1 gaussienne 1 F(x,t1) 0,5 0,399 0,242 f(x,t1) x µ-3 µ-2 µ- µ+ µ+2 µ+3 Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

x(t,) t t1 x2 t2 1 2 3 4 x1 Interprétation de x(t) Selon le contexte, x(t) désigne : une famille de fonctions du temps : t et  variables une fonction du temps : t variable et  fixé une variable aléatoire : t fixé et  variable un nombre : t et  fixés En pratique, on caractérise un processus aléatoire par ses statistiques d'ordre 1 et 2 (moyennes d'ensemble) Statistique d'ordre 1 - Moyenne - Valeur quadratique moyenne - Fonction d'autocorrélation - Fonction d'autocovariance Statistique d'ordre 2 Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Stationnarité Un processus aléatoire est stationnaire au sens strict (d'ordre N) si toutes ses propriétés statistiques sont invariantes dans le temps : f ( x1, x2, …, xN ; t1, t2, …, tN ) = f ( x1, x2, …, xN ; t1 + t0, t2 + t0, …, tN + t0 ) pour t0 et pour N Cas particuliers : - un processus est stationnaire d'ordre 1 si : f ( x ; t ) = f(x) pour t  µx(t) = µx = constante et x2 (t) = x2 = constante - un processus est stationnaire d'ordre 2 si : f ( x1, x2 ; t1, t2) = f ( x1, x2 ; t1 + t0, t2 + t0 ) = f (x1, x2 ;  ) avec  = t2 – t1 pour t1,t2  Rx ( t1 , t2 ) = Rx () = Cx () + µx2 Un processus est stationnaire au sens large si : µx(t) = µx = constante Rx ( t1 , t2 ) = Rx () = Cx () + µx2 Un processus stationnaire d'ordre 2 est évidemment stationnaire au sens large. L'inverse n'est en général pas vrai. Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Pour un processus stationnaire (au sens large), on a : Rx() = Rx(-) | Rx() |  Rx (0)=x2 + µx2 pour un processus aléatoire sans composantes périodiques, l'interdépendance entre x (t) et x (t+) diminue lorsque || augmente: les variables x(t) et x(t+) sont non corrélées si Cx() = 0. Elles sont indépendantes si f (x1,x2;t,t+) = f (x1;t).f(x2;t+) L'indépendance implique la non corrélation, l'inverse n'étant, en général pas vrai. Cx() Rx()  µx2 x2 Ergodicité Un processus aléatoire est ergodique si on peut identifier les valeurs moyennes statistiques (moyennes d'ensemble) aux valeurs moyennes temporelles. Un processus ergodique est entièrement défini par une seule observation x(t). Pour un processus stationnaire et ergodique, on peut donc écrire : Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Exemple Moyennes d ’ensemble x(t) = A sin (t+) avec  = VA [0,2] Moyennes temporelles Conclusions x(t) est stationnaire au sens large Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Densité spectrale de puissance (1)
t xT(t,i) x(t,i) rect(t/T) 1 Soit x(t,i) une réalisation du processus aléatoire x(t). En général, la transformée de Fourier de x(t,i) n'existe pas car x(t,i) n'est pas un signal à énergie finie. Considérons la fonction xT(t,i) constituée par un segment de x(t,i) défini dans l'intervalle –T/2 < t < T/2 : xT(t,i) = x(t,i) . rect(t/T) Propriétés de xT(t,i) : - transformée de Fourier : - énergie : XT(f,i) et ET(i) sont des variables aléatoires Puissance moyenne du processus xT(t) : Puissance moyenne du processus x(t) : Remarque : Px résulte de la moyenne temporelle du moment d'ordre 2, T2(t) = E[|xT(t,i)|2]. Pour un processus stationnaire (au sens large), T2 est une constante. Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Densité spectrale de puissance (2)
Théorème de Wiener-Khintchine La densité spectrale de puissance d'un processus aléatoire stationnaire (au sens large) est la transformée de Fourier de sa fonction d'autocorrélation. =-T/2 -3T/2 rect(t/T) t T/2 -T/2 T 3T/2 -T rect(t+/T) =0 =T/2 T.tri(/T)  1 Démonstration : autocorrélation de deux rectangles Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Densité spectrale de puissance d'un signal numérique (1)
Densité spectrale de puissance de : uE(t,1) {ai} 1 A t uE(t,2) uE(t,N) A/2 E(t)  uBE(t) t A  Hypothèse : {ai}est une suite stationnaire de variables aléatoires avec : moyenne : µa = E[ai]= constante autocorrélation : Ra(k) = E[aiai+k] autocovariance : Ca(k) = E[(ai-µa)(ai+k-µa)]=Ra(k)-µa2 En général, uE(t) n’est pas stationnaire uE(t) est un processus cyclostationnaire au sens large de période  Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Théorème Si x(t) est un processus cyclostationnaire au sens large, de période , et si  est une variable aléatoire uniformément répartie sur l’intervalle (0,) et indépendante de , alors le processus translaté obtenu en décalant aléatoirement l’origine du temps est stationnaire au sens large. uE(t,1) {ai} A t uE(t,2) uE(t,N) A/4 E(t)  1 1 2 3 uE(t,1) {ai} 1 A t uE(t,2) uE(t,N) A/2 E(t)  la moyenne du processus translaté est la moyenne sur  de la moyenne du processus initial l'autocorrélation du processus translaté est la moyenne sur  de l'autocorrélation du processus initial les densités spectrales de puissance des 2 processus sont identiques Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Démonstration Moyenne du processus translaté Autocorrélation du processus translaté Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Application au cas du signal numérique uE(t,1) {ai} A t uE(t,2) uE(t,N) A/4 E(t)  1 1 2 3 uBE(t) t A  Hypothèse : {ai}est une suite stationnaire de variables aléatoires avec : moyenne : µa = E[ai]= constante autocorrélation : Ra(k) = E[aiai+k] autocovariance : Ca(k) = E[(ai-µa)(ai+k-µa)]=Ra(k)-µa2 Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Exemple uBE(t)=A.rect(t/) t /2 -/2 A u(t)=A2tri(/)  - A2 Conclusion - Le spectre d'un signal numérique en bande de base est constitué : d'un spectre continu qui dépend de : - la transformée de Fourier du signal élémentaire de base (UBE(f)) - la corrélation entre les symboles (Ca(k)) de raies aux multiples de 1/ si µa0 et si UBE(n/)0 Analyse spectrale SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Objectif p(t) Canal Régénérateur Egaliseur Choix {a'i} Filtre RH i
{d'j} {dj} uR(t) Décodage de canal Puits Source Codage de canal {dj} {ai} Canal p(t) u'R(t) {ai} 1 -1  h(t)  hR(t) La régénération du signal impose de créer, au récepteur, une horloge hR(t) synchrone de l'horloge d'émission h(t). hR(t) est générée en exploitant des informations disponibles dans le signal reçu u'R(t). Deux techniques peuvent être mises en œuvre : la première est basée sur la synchronisation d'un oscillateur local sur les transitions observées dans le signal reçu u'R(t). La synchronisation est réalisée au moyen d'une boucle à verrouillage de phase (PLL : Phase-Locked Loop). la deuxième est applicable si la densité spectrale de puissance de u'R(t) présente une raie à la fréquence 1/. Un filtre sélectif centré sur cette raie permet de reconstituer l'horloge à la réception. Dans les deux cas, l'horloge reconstituée n'est pas parfaite. Les transitions ne coïncident pas exactement avec les instants idéaux (i). On dit que hR(t) présente une gigue de phase (jitter). Récupération de l'horloge SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Boucle à verrouillage de phase (PLL : Phase-Locked Loop)
DPZ : détecteur de passages par zéro CP : comparateur de phase VCO : oscillateur contrôlé en tension hR(t) y(t) b(t) a(t) u'R(t) x(t) DPZ CP VCO FILTRE b(t) fVCO 1/ 1 2 4 6 9 t x(t) u'R(t) hR(t) y(t) a(t) Principe CP compare les passages par zéro de u'R(t) et de hR(t) et crée un signal a(t) constitué d'impulsions rectangulaires dont la largeur et la polarité sont fonctions du déphasage (si u'R(t) ne présente pas de transitions, a(t) = 0). a(t) est appliqué à un filtre passe-bas (fréquence de coupure << 1/). Le signal de sortie b(t) est un signal basse fréquence qui représente la valeur moyenne des écarts de phase observés. Si b(t) = 0, le VCO oscille à 1/. Remarques : - En l'absence de transitions sur u'R(t), on n'effectue aucune correction. Le maintien du synchronisme dépend de la dérive relative entre l'horloge locale (VCO) et l'horloge de l'émetteur. - hR(t) présente une gigue de phase Récupération de l'horloge SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Filtrage sélectif d'une raie à la fréquence 1/
Filtre sélectif (f) DPZ x(t) y(t) hR(t) A2/4 f f A2/4 f f P = k . f Le filtrage de la raie fournit un signal sinusoïdal à la fréquence 1/ qui permet de créer l'horloge hR(t) par un détecteur de passages par zéro. y(t) = A sin ( 2t/ ) + y'(t) y'(t) provient de la partie continue du spectre et provoque des variations de la position des passages par zéro autour des multiples de  (gigue de phase) La puissance de y'(t) est proportionnelle à la largeur de bande du filtre f. y(t) t  2 3 hR(t) A -A Récupération de l'horloge SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Introduction p(t) Canal {d'j} {dj} uR(t) Décodage de canal Puits
Régénérateur Source Codage de canal {dj} {ai} {a'i} Canal p(t) Définition d'un code Un code de canal est entièrement spécifié si on connaît : - la durée  d'un symbole - la forme du symbole élémentaire de base : uBE(t) - la loi liant la suite des symboles à la suite binaire : {dj}  {ai} L'amplitude maximale de uBE(t) sera choisie pour que la puissance moyenne totale de uE(t) soit unitaire. Objectifs Déterminer la densité spectrale de puissance associée au signal uE(t) Définir la bande passante B (Hz) du code. B sera mesurée par la fréquence du premier passage à zéro de E(f) Définir l'efficacité spectrale du code  = D/B (bit/s)/Hz Hypothèse : les symboles binaires {dj} sont équiprobables et indépendants Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Code NRZ (Non Return to Zero) (1)
Code NRZ polaire hd (t) 1 {dj} = {0;1} T {ai} = {-1;1} -1  t A -A uE(t) uBE(t) NRZ polaire Caractéristiques E (f) / T A=1 1/T 2/T 3/T f 1 0,5 -40 -30 -20 -10 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T 6/T f 10 log10 (E(f)/T) Commentaires La puissance est située principalement (90 %) dans la bande de fréquence (0,1/T). E(f) est maximum en f = 0. Un canal DC est donc indispensable. uE(t) présente des transitions sauf en présence de longues suites de "1" ou de "0". Le code n'offre aucune garantie pour la récupération de l'horloge au récepteur. Le code est sensible à la polarité du canal. Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Code NRZI (Non Return to Zero Inverted) T -A hd (t) 1 {dj} = {0;1} {ai} = {-1;1} -1  t A uE(t) uBE(t) NRZ polaire On peut résoudre les problèmes liés à la polarité du canal par l'utilisation d'un codage différentiel. Le code NRZI est un exemple d'un tel code. L'information est portée par la présence ou l'absence d'une transition au début de l'intervalle binaire. Un "0" entraîne une transition au début du bit, tandis qu'un "1" laisse la valeur précédente inchangée. Ce code possède des propriétés analogues à celles du code NRZ. Il est toutefois insensible à la polarité du canal et garantit un nombre suffisant de transitions en l'absence de longues suites de "1". Exemple d'utilisation : bus USB Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Embrouillage – Désembrouillage (Scrambling – Descrambling) Puits Source Décodage de canal Régénérateur Codage de canal Canal p(t) {d'j} + {e'j} {bj} Désembrouilleur {ej} {dj} Embrouilleur Si les données ne garantissent pas la présence d'un nombre suffisant de transitions, il est possible d'améliorer la situation en utilisant une technique d'embrouillage des données. Principe : L'embrouillage consiste à transformer, à l'émission, la suite {dj} des données en une suite {ej} par addition modulo-2 (OU exclusif) avec une suite binaire pseudo-aléatoire {bj}. A la réception, on reconstitue {dj} par une transformation inverse (désembrouillage) avec la même suite aléatoire {bj} Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

hd (t) 1 {dj} = {0;1} T {ai} = {0;1}  t A uE(t) uBE(t) NRZ unipolaire Code NRZ unipolaire Caractéristiques E (f) / T 1/T 2/T 3/T f 1 0,5 1/2 -40 -30 -20 -10 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T 6/T f 10 log10 (E(f)/T) Commentaires Code très simple (une seule polarité) Propriétés analogues à celle du code NRZ polaire mais gaspillage de puissance lié à la présence de la composante continue. A puissance identique, sensibilité plus grande aux perturbations Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Code RZ (Return to Zero)
hd (t) 1 {dj} = {0;1} T {ai} = {0;1}  t A uE(t) uBE(t) /2 RZ Code RZ Caractéristiques E (f) / T 1/T 2/T 3/T f 1 0,5 1/4 A=2 1/10 -40 -30 -20 -10 2/T 4/T 6/T 8/T 10/T 12/T f 10 log10 (E(f)/T) Commentaires bande passante double par rapport au code NRZ pour une même valeur de A, puissance moitié par rapport au code NRZ unipolaire le code RZ possède une raie à tous les multiples impairs de 1/. Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Code biphasé ou code Manchester (1)
hd (t) 1 {dj} = {0;1} T t A uE(t) uBE(t)  -1 {ai} = {-1;1} Biphasé -A Code biphasé Propriétés statistiques de la suite {ai} 1 Probabilité 1 -1 ai ai+1 ai+2 ai+3 La suite {ai} est cyclostationnaire ( désynchronisation indispensable) Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

hd (t) 1 {dj} = {0;1} T t A uE(t) uBE(t)  -1 {ai} = {-1;1} Biphasé -A Code biphasé Propriétés statistiques de la suite {ai} 1 Probabilité -1 1 ai ai+1 ai+2 ai+3 La suite translatée est stationnaire Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

hd (t) 1 {dj} = {0;1} T t A uE(t) uBE(t)  -1 {ai} = {-1;1} Biphasé -A Code biphasé Caractéristiques E (f) / T A=1 1/T 2/T 3/T f 1 0,5 -40 -30 -20 -10 2/T 4/T 6/T 8/T 10/T 12/T f 10 log10 (E(f)/T) Commentaires E(f) s'annule en f=0. Un canal DC n'est donc plus indispensable uE(t) garantit, quelle que soit la suite {dj}, la présence d'une transition par intervalle binaire très simple à mettre en œuvre (très utilisé en pratique) la bande passante est double par rapport à celle du code NRZ le code biphasé est sensible à la polarité du canal  code biphasé différentiel Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Code biphasé différentiel hd (t) 1 {dj} = {0;1} T t A uE(t) uBE(t)  -1 {ai} = {-1;1} Biphasé -A Dans le code biphasé différentiel, l'information est portée par la présence ou l'absence d'une transition au début de l'intervalle binaire. Un "0" entraîne une transition au début du bit, tandis qu'un "1" laisse la valeur précédente inchangée. Comme dans le code biphasé, une transition est présente au milieu de chaque intervalle binaire. Ce code possède les mêmes propriétes que le code biphasé mais est insensible à la polarité du canal. Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Code AMI (Alternate Mark Inversion) ou code bipolaire (1)
uE(t) uBE(t) /2 hd (t) 1 {dj} = {0;1} T {ai} = {-1;0;1} -1  AMI - NRZ -A AMI - RZ Code AMI Commentaires Le code bipolaire est un code à trois niveaux. Le code bipolaire est un code redondant. Des neufs combinaisons possibles de deux symboles ternaires, seules sept sont admises pour représenter les quatre groupes de deux éléments binaires. La détection d'une erreur simple est réalisable. Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

-1 1 Probabilité Propriétés statistiques de la suite {ai} Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

uE(t) uBE(t) /2 hd (t) 1 {dj} = {0;1} T {ai} = {-1;0;1} -1  AMI - NRZ -A AMI - RZ Commentaires E(f) s'annule en f =0 et aux multiples de 1/T. Le code ne contient pas de raie à la fréquence d'horloge. La récupération de l'horloge à la réception est cependant possible en l'absence de longues suites de "0". E (f) / T 1/T 2/T 3/T f 1 0,5 -40 -30 -20 -10 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T 6/T f 10 log10 (E(f)/T) Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Code HDB3 (High Density Bipolar Code) hd (t) 1 {dj} = {0;1} T {ai} = {-1;0;1} -1  t A uE(t) -A V B HDB3 - NRZ Le code HDB3 évite l'apparition en ligne de plus de trois symboles nuls consécutifs. Il ne diffère du code AMI que lorsque l'information binaire comprend quatre zéros consécutifs. Il consiste à remplacer des groupes de quatre 0 binaires (0000) par quatre symboles ternaires (B00V) selon la correspondance suivante : le quatrième symbole ternaire (V) est un "1" émis en violation de la loi d'alternance du code AMI, ce qui permet l'identification d'un tel groupe à la réception. le premier symbole ternaire (B) est un "0" si le nombre N de "1" entre deux impulsions V successives est impair. C'est un "1" émis en concordance avec la loi du code AMI si N est pair. De cette manière, deux impulsions V successives sont de signe opposé et on évite d'introduire une composante continue non nulle. La densité spectrale de puissance du code HDB3 diffère très peu de celle du code AMI. L'alternance des polarités des impulsions V permet de maintenir la possibilité de détection d'une erreur simple. Une telle erreur, en effet, en introduisant ou en supprimant une violation de la règle d'alternance du code AMI, détruit l'alternance des impulsions V. Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Codes à M=2m niveaux (M>2)
uBE(t) t  hd (t) 1 {dj} = {0;1} T {ai} = {-7;-5;-3;-1;1;3;5;7} 7 -1 5 -3 uE(t) -A -3A -5A -7A 3A 5A 7A Code à 8 niveaux E (f) / T 1/T 2/T 3/T f 3 1,5 -40 -30 -20 -10 1/T 2/T 3/T f 10 log10 (E(f)/T) Caractéristiques Commentaire : Par rapport au code NRZ, la bande passante est divisée par 3 (R=D/3). Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Codes xByM Les codes xByM représentent un groupe de x éléments binaires par un groupe de y symboles M-aires (My  2x). Exemple 1 : Code 4B/5B groupe symbole 4 bits 5 bits Principe A chaque configuration binaire (24=16), on associe un symbole choisi parmi les 25 = 32 valeurs possibles. Les choix sont réalisés pour : garantir un nombre suffisant de transitions pour faciliter la récupération de l’horloge (2 "1" minimum dans chaque symbole et 3 "0" maximum consécutifs) minimiser la composante continue permettre la détection éventuelle d’erreurs de transmission  introduction de redondance définir des symboles spéciaux pour la synchronisation, la délimitation des trames, … Application : Fast Ethernet (100 Mbit/s)  4B/5B + NRZI (1=transition) + MLT (3 niveaux) Exemple 2 : Code 8B/10B Un octet est codé en un symbole de 10 bits (1024 symboles possibles pour 256 valeurs). Les symboles choisis comprennent au minimum 4 transitions et présentent au maximum 5 zéros ou uns consécutifs, même entre symboles. Application : Gbit Ethernet  8B/10B + code à 5 niveaux Remarque : Code Manchester = code 1B/2B Analyse des principaux codes SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Introduction Canal p(t) B4 B3 B2 B1 CC
Objectif : générer une suite de données {dj} qui présente un caractère aléatoire et qui soit reproductible. Applications tests d'équipement embrouillage - désembrouillage Puits Source Décodage de canal Régénérateur Codage de canal Canal p(t) {d'j} + {e'j} {bj} Désembrouilleur {ej} {dj} Embrouilleur Solution : générateur de séquence binaire pseudo-aléatoire à longueur maximum (SBPA) Le générateur est basé sur : un registre à décalage à n bascules cadencées par une horloge de période T un circuit de contre-réaction utilisant un additionneur modulo-2 (ou exclusif) Par un choix judicieux de la contre-réaction, on obtient une suite {dj} périodique de période N=2n-1 et qui présente, à l'intérieur d'une période, un caractère aléatoire. {dj} B4 B3 B2 B1 horloge hd(t) + CC uE(t) sync Séquence binaire pseudo-aléatoire SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Propriétés (1) Séquence binaire pseudo-aléatoire à longueur maximum (SBPA) hd (t) 1 {dj} = {0;1} T {ai} = {-1;1} -1  t A uE(t) -A NRZ - polaire Synchronisation TS = N T N = 2n-1 = 15 Séquence binaire pseudo-aléatoire {dj} B4 B3 B2 B1 horloge hd(t) + CC uE(t) sync Générateur de SBPA Etats successifs des bascules i B B B B S SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Propriétés (2) hd (t) 1 {dj} = {0;1} T Propriétés principales
{dj} = {0;1} T Propriétés principales dans une période : - nombre de "1" : 2n-1 - nombre de "0" : 2n-1 - 1 le nombre de suites de longueur k (k "1" ou k "0") ~ 2 x nombre de suites de longueur k-1 (pour n=4, on observe : 4 suites (k=1) ; 2 suites (k=2) ; 1 suite (k=3) et 1 suite (k=4)) si une fenêtre de dimension n est décalée le long de la séquence, on observe successivement toutes les configurations binaires de n bits sauf "0 0 … 0" l'addition (modulo 2) de 2 versions décalées d'une même suite produit une nouvelle version décalée de cette même suite. La comparaison bit à bit d'une période de deux versions décalées d'une même suite montre que : - nombre de bits différents : 2n-1 - nombre de bits identiques : 2n-1 - 1 Séquence binaire pseudo-aléatoire SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Analyse spectrale (1) Rappel : SBPA 1 -1 Dans une période -T T  A2 NT
T  A2 NT -NT RE() La fonction d'autocorrélation de uE(t) est donc une fonction périodique de période NT Séquence binaire pseudo-aléatoire SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Analyse spectrale (2) SBPA -T T  A2 NT -NT RE() f
T  A2 NT -NT RE() f La densité spectrale de puissance correspondante est un spectre de raies f E(f)/T A2 {ai} aléatoire -T T  A2 RE() Séquence binaire pseudo-aléatoire SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Interférence entre les symboles
Influence du canal h(t)  H(f) uBR(t) = uBE(t)*h(t) UBR(f) = UBE(f).H(f) Canal Interférence entre les symboles tp = L/V 1  uBE(t) 2 3 4 -1 t/ 1  -1 uE(t) t/ 2 3 4 5 6 7 8 9 1  -1 t/ 2 3 4 5 6 7 8 9 1  uBR(t) 2 3 4 -1 t/ Perturbations : Bruit additif 1  -1 uR(t) t/ 2 3 4 5 6 7 8 9 Régénération SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Régénérateur Objectif : reconstitution de l'information {ai} à partir du signal reçu. Cette information est fournie au récepteur (régénérateur terminal) ou transmise vers le régénérateur suivant (régénérateur intermédiaire) Fonctions principales d'un régénérateur : Egalisation dont le but est de réduire : - l'interférence entre les symboles - l'influence des perturbations Récupération de l'horloge à partir du signal reçu et égalisé u'R(t) Echantillonnage aux instants i Choix, à chaque instant i, du symbole le plus probable. Des seuils de décision (m-1) permettent de discriminer les m valeurs possibles Dans le cas d'un régénérateur intermédiaire, un signal numérique u'E(t) est recréé à partir des symboles récupérés. L'horloge utilisée est l'horloge récupérée ou une horloge locale. Régénérateur Egaliseur Choix {a'i} E(f) RH i uR(t) u'R(t) hR(t) u'E(t) Mise en forme 1  -1 uR(t) t/ 2 3 4 5 6 7 8 9 {ai} hR(t) Régénération SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Conditions de non interférence entre les symboles
u'E(t) h(t)  H(f) i E(f) Choix {a'i} {a'i} Canal hR(t) Egaliseur Mise en forme L'interférence entre les symboles est liée à la bande passante limitée du canal qui engendre un étalement temporel des symboles élémentaires RH Régénérateur Condition temporelle de non interférence entre les symboles t u'BR(t-2) u'BR(t-3) u'BR(t-4) u'BR(t) u'BR(t-) UBR  2 3 - -2 -3 4 5 6 7 u'BR(i) = UBR pour i = 0 = 0 pour i entier  0 Si la reconstitution de l'horloge est parfaite ( échantillonnage à tous les multiples de i) Condition fréquentielle de non interférence entre les symboles (Critère de Nyquist) U'BR(f) 1 U'BR(f) = 0 pour |f|  1/ 0,5 f Symétrie centrale par rapport à R/2 f*-R R-f* f* Interférence entre les symboles SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Critère de Nyquist On peut transposer la condition temporelle sur u'BR(t) en une condition fréquentielle sur U'BR(f) t u'BR(t)  2 3 - -2 -3 UBR U'BR(f) Hypothèse : U'BR(f) = 0 pour |f|  1/  f 1/ 2/ 3/ -1/ -2/ -3/ x * 1 1/  t f 1/ 2/ 3/ -1/ -2/ -3/  2 3 - -2 -3 u'BRE(t) t  2 3 - -2 -3 UBR = = U'BRE(f)  f 1/ 2/ 3/ -1/ -2/ -3/ Condition temporelle : u'BRE(t) = UBR (t)  Condition fréquentielle : U'BRE(f) = UBR Critère de Nyquist Si U'BR(f) est nulle pour |f|  1/ et présente, dans l'intervalle (0, 1/), une symétrie centrale autour de la fréquence f = 1/2, alors l'interférence entre les symboles est nulle pour une rapidité de modulation R = 1/. Interférence entre les symboles SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Filtrage de Nyquist – Filtres en cosinus surélevé
La fonction G(f) définit une famille de courbes qui possèdent une symétrie centrale par rapport à R/2. Ces courbes dépendent d'un paramètre  (facteur d'arrondi – rolloff factor) : 0    1 G(f) f 1 0,5 f B Filtrage de Nyquist : 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0,25 0,75 f/R G(f) R/2 R -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 t/ g(t) = 0 =0,2 =0,5 =1 Interférence entre les symboles SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Comparaison de diverses fonctions u'BR(t)
1) Filtrage de Nyquist (=0) UBR -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 t/ u'BR (t) UBR -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 f/R U'BR (f) filtre passe-bas idéal bande passante minimale B = R/2 physiquement irréalisable (non causal) B=R/2 UBR t/ u'BR (t) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 UBR -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 f/R U'BR (f)=UBRcos2(f/2) B=R 2) Filtrage de Nyquist (=1) bande passante : B = R interférence entre symboles nulle en t = i /2 UBR t/ u'BR (t) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4  UBR -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 f/R U'BR (f)=UBRsin(f)/f B=R 3) Impulsion rectangulaire occupation spectrale : [-,+] bande passante (1e zéro) : B = R Interférence entre les symboles SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Diagramme de l'œil – Présentation
Le diagramme de l'œil est un essai de base en transmission numérique. Il consiste à observer le signal numérique reçu et égalisé u'R(t) au moyen d'un oscilloscope dont la base de temps est synchronisée sur l'horloge symbolique. Si le signal numérique est issu d'une suite aléatoire (ou pseudo-aléatoire) de symboles, la figure observée sur l'écran permet : d'estimer l'interférence entre les symboles et donc d'évaluer la marge de bruit; de régler l'égaliseur pour minimiser l'interférence entre les symboles; d'ajuster la phase de l'horloge récupérée pour échantillonner aux instants idéaux; d'évaluer la gigue de phase des instants de passages à zéro (pour un code polaire). u'E(t) h(t)  H(f) i {a'i} E(f) Choix {a'i} Canal hR(t) Egaliseur Mise en forme RH Régénérateur Y X synchronisation externe oscilloscope Interférence entre les symboles SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Diagramme de l'œil – Construction graphique
-1 1 ai-1 = 1 ai+1 = -1 ai = -1 ai+2 = 1 ai+3 = 1 ai+4 = -1 ai-3 = 1 ai-2 = -1 i (i+1) (i-1) (i-2) (i+2) (i+3) (i+4) u'BR(t) t A B C  y 1 u'R(t)=ai.A+ai-1.B+ai-2.C pour t[i,(i+1)]  -1 1 y Diagramme de l'oeil Si u'BR(t) s'étend sur r, la valeur de u'R(t) dans un intervalle sera influencée par r symboles : Pour un code M-aire, il existe donc Mr formes possibles de u'R(t) pendant la durée  d'un symbole. La représentation graphique de ces mr signaux sur un même intervalle est appelée diagramme de l'œil. Interférence entre les symboles SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Diagramme de l'œil - Interprétation
-1 1 ai-1 = 1 ai+1 = -1 ai = -1 ai+2 = 1 ai+3 = 1 ai+4 = -1 ai-3 = 1 ai-2 = -1 i (i+1) (i-1) (i-2) (i+2) (i+3) (i+4) L'influence de l'interférence entre symboles se traduit sur le diagramme de l'œil par : une réduction de l'ouverture verticale de l'œil Une égalisation parfaite correspond à une ouverture maximale de l'œil. Le diagramme de l'œil permet donc d'estimer la marge de bruit une réduction de l'ouverture latérale de l'œil. L'ouverture latérale indique la sensibilité du système à un décalage de la phase de l'horloge d'échantillonnage. une dispersion des instants de passage par zéro (code polaire)  -1 1 y Diagramme de l'oeil ai-2 ai-1 ai -1 1 Interférence entre les symboles SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Diagramme de l'œil – Exemples (Filtrage de Nyquist)
1 -1  {ai} = { 1 , -1 } 1 -4 -3 -2 -1 2 3 4 t/ u'BR (t)  = 0 1 U'BR(f) -4 -3 -2 -1 2 3 4 f/R B=1/2T 1 t/ u'BR (t) -4 -3 -2 -1 2 3 4  = 1 1 -4 -3 -2 -1 2 3 4 f/R U'BR (f)=UBRcos2(f/2) B=R 1 -1  {ai} = { 1 , -1 } Interférence entre les symboles SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Diagramme de l'œil – Exemples (Filtrage de Nyquist)
Filtrage de Nyquist (  = 0,2 ) - Code à huit niveaux Interférence entre les symboles SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Diagramme de l'œil – Exemples (Filtrage RC)
1 uBE(t) t  E (f) / T R 2R 3R f 1 0,5 Filtre passe-bas – H(f) log f/f0 -20 dB/décade 1 20 log10 |H(f)| (dB) -3 -20 10 Re C t=ReC u'BR(t) t/ 1 2 3 4 5 f0=R (=6,28) u'BR(t) t/ 1 2 3 4 5 f0=R/2 (=3,14) u'BR(t) t/ 1 2 3 4 5 f0=R/5 (=1,26) 1 1 1 1 -1  1 -1  1 -1  Interférence entre les symboles SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Erreurs de régénération
Evaluation de la probabilité d'erreurs de régénération : - en l'absence d'interférences entre les symboles - en présence de bruit additif u'BR(t) t UBR t0 t0+ u'R(t) -UBR t0+2 t0+3 t0+4 t0+5 1 -1 Aux instants d'échantillonnage (t0 + i ), la valeur mesurée est une variable aléatoire, notée u', qui vaut : Il existe donc une incertitude sur la vraie valeur du signal qui peut conduire à des erreurs d'interprétation. Notations : P(S) : probabilité d'erreurs sur un symbole  : probabilité d'erreurs sur un bit Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Hypothèse 1 : transmission binaire
f(u'|0) f(u'|1) VT µ0 = 0 UBR u' µ1 = 1 UBR S0 S1 Un symbole ai peut prendre 2 valeurs notées 0 et 1. 0 et 1 sont mutuellement exclusifs et indépendants de la perturbation. Régénération La valeur u', mesurée à un instant d'échantillonnage, est comparée à un seuil VT tel que : 0 UBR < VT < 1 UBR Le symbole le plus probable est : 0 si u' < VT et 1 si u' > VT Il y a donc erreur de régénération si : u' > VT lorsque le symbole émis est 0 u' < VT lorsque le symbole émis est 1 Si - f(u'|0) est la densité de probabilité conditionnelle de la variable u' lorsque ai = 0 - f(u'|1) est la densité de probabilité conditionnelle de la variable u' lorsque ai = 1 on a : Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Hypothèse 2 : perturbation gaussienne (1)
Un modèle souvent utilisé et suffisamment réaliste pour la perturbation est un processus gaussien à valeur moyenne nulle. z µ=0 y =1 Fonction de Gauss intégrale complémentaire  y z' z Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Fonction de Gauss intégrale complémentaire (1)
Q(z) 1 2 3 5 4 6 10-1 10-3 10-2 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 1.0 0.5 z z Q(z) 0 = 0,5 1 1-0,8413 = 0,1587 2 1-0,9772 = 0,0228 3 1-0,9987 = 0,0013 4 = 3, 5 = 2, 4,26 Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Fonction de Gauss intégrale complémentaire (2)
(x) = 1-Q(x) Exemple : (2,54) = 0,9945 Q(2,54) = 1-0,9945 = 0,0055 Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Hypothèse 3 : seuil optimum
Si les symboles sont équiprobables : VT µ0 = 0 UBR u' µ1 = 1 UBR S0 S1 SA est indépendante de VT VT µ0 = 0 UBR u' µ1 = 1 UBR SA SB Le seuil VT qui minimise  se trouve donc à l'intersection des 2 densités de probabilité conditionnelles Si les deux gaussiennes sont identiques (0 = 1 = ) : VT µ0 = 0 UBR u' µ1 = 1 UBR Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Hypothèse 4 : filtre adapté (1)
u'E(t) h(t)  H(f) i E(f) Choix {a'i} {a'i} Canal hR(t) Egaliseur Mise en forme Filtre adapté Filtre linéaire E(f) qui minimise le taux d'erreur . On admet, dans ce paragraphe, que la perturbation uN(t) à l'entrée du régénérateur est un bruit blanc gaussien (µ=0) (AWGN : Additive White Gaussian Noise) RH Régénérateur µ = 0 uN N(f) f N0/2 E(f) uN(t) u'N(t) E(f) = filtre linéaire µ = 0 u'N  'N(f) = N(f) . |E(f)|2 Objectif du filtre adapté : minimiser   maximiser UBR/ à l'instant d'échantillonnage Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Hypothèse 4 : filtre adapté (2)
u'BR(t) t UBR t0 t0+ e(t)  E(f) Filtre adapté Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Filtre adapté - Exemple
Cas d'une impulsion uBR(t) rectangulaire t -/2  /2 t0 UBR= uBR(t)*e(t)= u'BR(t)  uBR(t) etuBR(/2-t) On observe que le filtre adapté déforme le signal u'BR(t) de manière à optimiser le rapport UBR/ à l'intant d'échantillonnage t0. Corrélateur Un résultat identique est obtenu à l'instant t = t0, si on intègre, sur une période , le produit du signal d'entrée par l'impulsion élémentaire uBR(t) (détails pratiques : voir laboratoire) Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Filtre adapté - Commentaires
Le filtre adapté n'est pas toujours réalisable mais, en pratique, beaucoup de filtres ont des résultats proches de ceux du filtre adapté. Exemple : cas d'une impulsion uBR(t) rectangulaire a) filtre adapté t   etuBR(/2-t) /2 -/2 uBR(t) a) filtre passe-bas idéal (B=1/) t /2 -/2  uBR(t) f 1/ E(f) -1/ 1 Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Egalisation – En pratique
Canal H(f) Filtre d'émission Codage de canal UBE(f) UBR(f) U'BR(f) E(f) Objectifs |U'BR(f)| = |G(f)| (respect du critère de Nyquist  élimination des interférences entre les symboles) En pratique, on utilise une paire de filtres tels que : f/R 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0,25 0,75 = 0 =0,2 =0,5 =1 Le signal émis sur le canal de transmission occupe une bande de fréquences strictement limitée qui est fonction du paramètre  : B = (1+ )*R/2 Des délais sont évidemment nécessaires pour garantir la réalisation physique des filtres. UBE(f) ne respecte pas le critère de Nyquist. E(f) doit maximiser le rapport UBR/ Si le canal est idéal (H(f)=1) dans la bande de fréquences occupée, E(f) est aussi le filtre adapté. Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Probabilité d'erreurs : Résumé
f(u'|0) f(u'|1) VT µ0 = 0 UBR u' µ1 = 1 UBR S0 S1 0 1 Hypothèses pas d'interférences entre les symboles symboles binaires (0 , 1) perturbation gaussienne symboles équiprobables gaussiennes identiques (0=1=) seuil VT optimum filtre adapté – bruit blanc (N(f)=N0/2) Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Performances des codes binaires
Pour comparer les performances des différents codes, on exprime le taux d'erreur  en fonction du rapport Eb/N0 Eb : énergie moyenne par bit = Pt . T Remarque : Eb/N0 a la dimension d'un rapport signal/bruit :  2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 10-0 5 NRZ unipolaire NRZ polaire 3 dB N(f) f N0/2 -1/T 1/T avec : Pt = puissance moyenne utile PN = puissance de bruit à la sortie d'un filtre passe-bas idéal de largeur 1/T. Code NRZ polaire Code NRZ unipolaire Commentaires le code NRZ unipolaire exige un rapport Eb/N0 de 3 dB supérieur à celui du code NRZ polaire pour un même  en mode polaire, un rapport Eb/N0 = 12,6 dB assure un taux d'erreur de Il faut cependant prendre garde à la variation très rapide de  en fonction de Eb/N0. Une perte de 3 db entraîne une augmentation sensible de . Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Performances des codes à M = 2m niveaux (M > 2) (1)
1UBR 2UBR 3UBR MUBR M-1UBR f(u'|1) seuils … u' Chaque symbole aj représente m bits La probabilité d'erreurs sur un symbole P(S) vaut : Si tous les symboles sont équiprobables : P(aj=i) = 1/M et si =i- i-1 = constante pour i, on a : Il n'existe pas de relation générale permettant de calculer  à partir de P(S). Cependant, si  est faible, on peut admettre que lors d'une erreur, le symbole choisi est un symbole voisin du symbole correct. Dans ces conditions, si un code de Gray est utilisé, à une erreur sur un symbole correspond une erreur sur un bit. On a donc : Si le filtre adapté est utilisé, on obtient : Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Dans le cas d'un code polaire avec  = 2 :  2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 10-0 5 M = 2 M = 4 M = 8 Exemple :  = 10-5 Eb/N0 = 9,6 dB si M = 2 (code polaire) = 12,6 dB si M = 2 (code unipolaire) = 13,4 dB si M = 4 (code polaire) = 17,8 dB si M = 8 (code polaire) Une augmentation de M entraîne une augmentation de Eb/N0 pour maintenir le même  (pénalité) Remarque : si les erreurs sont uniformément réparties et si D = 1 Mbit/s,  = 10-6  1 erreur/sec = 10-9  1 erreur/10' =  1 erreur/270 h Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Bande passante (Filtrage idéal de Nyquist =0) 10 20 30 40 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16  = D/B (bit/s /Hz) NRZ unipolaire (M=2) NRZ polaire (M=2) code polaire (M=4) code polaire (M=8) = 10-5 Filtrage idéal de Nyquist (=0) Rapport Eb/N0 pour  = 10-5 Eb/N0 = 9,6 dB si M = 2 (code polaire) = 12,6 dB si M = 2 (code unipolaire) = 13,4 dB si M = 4 (code polaire) = 17,8 dB si M = 8 (code polaire) Conclusion : pour un même débit, une augmentation de M : permet une diminution de la bande passante exige une augmentation de Eb/N0 pour maintenir le même  (pénalité) Performances en présence de bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Estimation de la pénalité due aux imperfections
Le diagramme de l'œil permet d'estimer la pénalité qui résulte d'une imperfection du système de transmission. 1 -1  {ai} = { 1 , -1 } U0 UBR Interférences résiduelles entre les symboles 1 -1  {ai} = { 1 , -1 } p()   U0 UBR hidéale hréelle Gigue de phase Pénalité : 20 log10 (UBR/U0) Remarque : cette évaluation est pessimiste. L'ouverture U0 de l'œil correspond à un cas extrême qui peut être rare. Influence interférences + bruit SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Relation de Shannon (1) Le débit dans un canal de transmission dépend : de la rapidité de modulation R (liée à la bande passante du canal) du nombre M de niveaux possibles pour les symboles (M est fonction du rapport signal/bruit sur la liaison) D(bit/s) = R(baud) . log2 M Shannon a établi une relation permettant de calculer le débit maximum sur un canal idéal caractérisé par : sa largeur de bande B (passe-bas idéal) son rapport signal/bruit (bruit blanc et gaussien) Ce débit maximum est appelé la capacité C du canal. Shannon a montré qu'il était théoriquement possible de construire un système réel avec un débit D  C et une probabilité d'erreurs tendant vers zéro, pour autant que l'on trouve le mode optimal de représentation des signaux. Cette relation permet de comparer les systèmes réels entre eux. La capacité du canal augmente avec la bande passante B. Il faut cependant noter que la puissance de la perturbation N augmente aussi avec B. 1.3 Capacité du canal SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Relation de Shannon (2) La relation de Shannon :
-10 10 20 30 40 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16  = D/B (bit/s /Hz) D = C Limite de Shannon -1,59 dB NRZ unipolaire (M=2) NRZ polaire (M=2) code polaire (M=4) code polaire (M=8) = 10-5 Filtrage idéal de Nyquist (=0) Systèmes réels La relation de Shannon : est portée sur le graphique (,Eb/N0). Elle présente une asymptote verticale pour Eb/N0 = -1,59 dB. En posant y = C/B on a en effet : Commentaires Une même capacité peut être obtenue avec des valeurs différentes de B et S/N. Cette interchangeabilité appelle cependant les remarques suivantes : elle se fait par l'intermédiaire d'un logarithme; elle n'est pas automatique mais exige un code adapté aux conditions (B et S/N) du canal. Exemple : B = 3000 Hz et S/N = 30 dB  C = log2 (1+103) ~ bit/s 1.3 Capacité du canal SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Chapitre 1 : Transmission numérique en bande de base

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