Présentation de l’équation de Schrödinger

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1 Présentation de l’équation de Schrödinger

2 Voici l’Equation de Schrödinger
Ĥ | ΨN ) = EN | ΨN )

3 Mais pour comprendre les différents composants et l’intérêt de l’équation de Schrödinger nous devons d’abord étudier le comportement de l’atome

4 Un atome est composé d’un noyau contenant des neutrons et protons (charges positives) mais aussi d’électrons (charges négatives) qui se déplacent sur des orbites autour du noyau. L’atome est électriquement neutre car il possède autant de protons que d’électrons.

5 Dualité onde/corpuscule
Jusqu’au XVIIIème siècle, on croyait que les électrons étaient juste des particules qui tournaient autour du noyau de l’atome sur des orbites respectives. Mais cela n’est pas tout à fait vrai.

6 Avant le XVIIIème siècle, on savait que la lumière
se comportait comme une onde électromagnétique. Mais l’expérience de Arthur Holly Compton permit d’en déduire que dans certaines conditions, une onde lumineuse peut se comporter comme une particule (photon).

7 On en déduisit que la lumière est constituée d'un jet de photon où les caractéristiques de l'onde électromagnétique et celles des photons sont liés par: E=hע où h est la constante de Planck et ע fréquence de l'onde électromagnétique émise ou reçue par l'électron. Alors que le photon conférait à la lumière - l'onde lumineuse - un caractère corpusculaire, Louis de Broglie appliqua l'idée inverse aux électrons.

8 Les ondes associées aux électrons furent mises en évidence par Germer et Davisson en 1924 par une expérience d'interférence (dite expérience des trous d'Young). Les électrons sont émis par une source, sont accélérés puis sont envoyés sur un cristal dont l'alignement atomique joue le rôle des fentes dans l'expérience de Young. Selon une interprétation purement corpusculaire de la nature des électrons, la répartition des électrons après le passage de la plaque devrait être celle-ci :

9 Or, l'expérience a montré que les électrons se répartissaient en franges similaires à des franges d'interférence. L'observation de franges d'interférence implique nécessairement que les objets observés sont des ondes et non des corpuscules !

10 Incertitude de Heisenberg
Qu'est-ce qui détermine le comportement ondulatoire ou corpusculaire d'une particule ? la longueur d'onde de l'onde associée à une particule est inversement proportionnelle à l'énergie de la particule. Or, la longueur d'onde est courte pour des particules très énergétiques. On en conclut que les phénomènes se produisant à hautes énergies mettront plutôt en évidence un comportement corpusculaire des particules alors que, inversement, les phénomènes à basses énergies seront plutôt de nature ondulatoire.

11 De façon imagée, on peut dire qu'une particule ayant une onde avec une grande longueur d'onde n'est pas bien localisée et donc son comportement est plutôt celui d'une onde (une onde est un phénomène non localisé). Lorsque la longueur d'onde se raccourcit, la particule apparaît de plus en plus localisée et se comporte de plus en plus comme un corpuscule (un corpuscule est une entité ayant une dimension et une position bien déterminées).

12 Werner Heisenberg a étudié de près cette question et en a déduit ces relations
Δx . Δv > h ΔE . Δt > h Δx = incertitude sur la mesure de la position Δv = incertitude sur la mesure de la vitesse ΔE = incertitude sur la mesure de l’énergie Δt = durée de la mesure de l’énergie H = constante de Planck

13 Comportement des particules
Elaborer un modèle des liaisons chimiques dans une molécule revient à considérer l’énergie et le mouvement de toutes les particules la constituant.

14 Modèle Rutherford Dans le modèle de Rutherford, l’électron tournant autour du noyau atomique peut être considéré comme un oscillateur. La fréquence d’oscillation de l’électron  et donc le rayonnement qu’il émet  est directement liée au rayon de son orbite. Mais le modèle de Rutherford ne permettait pas d’expliquer pourquoi les électrons empruntaient certaines orbites et pas d’autres.

15 Ce modèle présente un plus grave défaut encore : en tournant autour du noyau, l’électron émet un rayonnement continu et perd ainsi de l’énergie. Il s’ensuit que sa vitesse décroît et que, par conséquent, il se rapproche du noyau jusqu’à venir le percuter. Au cours de sa « chute » inéluctable vers le noyau, la vitesse angulaire de l’électron augmente et la fréquence de son rayonnement également. Ainsi, selon le modèle atomique de Rutherford, tous les atomes devraient être instables et émettre un spectre continu se perdant dans les confins de l’ultraviolet. Or, un tel rayonnement n’a jamais été observé et d’autre part nous sommes tous présents pour témoigner de la stabilité des atomes !

16 Modèle de Bohr Niels Bohr crée en 1913 un nouveau modèle d'atome: Les orbites des électrons ne sont pas quelconques mais « quantifiées ». En 1900, Planck a supposé (théorie des quanta) que les systèmes qui émettent un rayonnement le font par saut d’énergie h ע ( h constante de Planck). A partir de cette théorie, Bohr a postulé que : Seules certaines orbites électroniques sont possibles autour du noyau. Sur une orbite donnée, l’électron n’émet (ni d’absorbe) aucune radiation. Il y a émission ou absorption d’une radiation quand l’électron passe d’une orbite à l’autre.

17 Pour calculer les niveaux d’énergie, Bohr admet que l’orbite de l’électron est circulaire et que le moment cinétique angulaire de l’électron sur cette orbite est un multiple entier de h/2π : Me עr = nh / 2π Comme n est un nombre entier positif, l’électron ne peut se trouver que sur une suite discontinue d’orbites définies par n qui correspond au nombre quantique principal.

18 Nombres quantiques n nombre quantique principal n = 1, 2, 3 …
n définit la couche : K, L, M, N… l nombre quantique azimutal 0 ≤ l < n l définit le type d’orbite : ellyptique ou circulaire m nombre quantique magnétique -l ≤ m ≤ + l m définit l’angle d’inclinaison de l’orbite s nombre quantique de spin s = ± ½

19 Récapitulatif des notions de l’atome
Avec la notion de l’incertitude de Heisenberg nous savons que nous ne pouvons pas situé précisément les électrons sur l’orbite. Le modèle de Bohr nous a appris que l’électron saute d’orbite en absorbant de l’énergie et reviens à son orbite initial en dissipant cette l’énergie. Avec tout cela nous avons à présent les connaissances pour comprendre l’intérêt de l’équation de Schrödinger. L’équation de Schrödinger permet de connaître la probabilité de présence de l’électron autour du noyau ainsi que ses énergies.

20 Décomposition de l’équation de Schrödinger
Ĥ | ΨN ) = EN | ΨN ) L’équation a 2 inconnus : En => E1, E2, …, En énergies de liaison de l’électron ΨN fonction et vecteur d’onde

21 Énergies de liaison En me : masse de l’électron, e : charge de l’électron, ε0 : constante diélectrique du vide, ħ : constante de Planck, n : nombre quantique principal.

22 Fonction et vecteur d’onde : ΨN
‌‌ ΨN ‌‌ 2 = probabilité de mesure En Σni=1 |Ψi |² = 1 | Ψi) est la notation de Dirac pour un vecteur | un) : ensemble de vecteurs linéairement indépendant. Cn : composantes de | Ψ) et appartiennent aux nombres complexes. On les représente en vecteur colonne :

23 Opérateur hamiltonien
Ĥ est l’opérateur Hamiltonien H = Ec +Ep (H est une grandeur) Εc = ½ mv² p²= mv² P quantité de mouvement On en déduit : Ec = p²/2m Et Ep = V V énergie potentielle électromagnétique Donc H = p²/2m + V

24 grandeur Opérateur H Ĥ px Donc Ĥ = + V ^

25 Nous pouvons donc écrire l’équation de Schrödinger comme ceci :
ΨN + V ΨN = EN ΨN ^