9- Fonctions linéaires et fonctions affines

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1 9- Fonctions linéaires et fonctions affines
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2 9- Fonctions linéaires et fonctions affines
Exercice Un cinéma propose 2 tarifs: Tarif 1 : 7€ la séance. Tarif 2: Un abonnement de 40€ puis 2€ la séance a) Dans chaque cas compléter le tableau Tarif1: Tarif2: Calculs: Séances 2 4 8 12 Prix(€) Séances 2 4 8 12 Prix(€)

3 b) Soit x le nombre de séances, exprimer en fonction de x le prix de chaque tarif.
Tarif1: Tarif 2: A chaque nombre x, on associe le nombre ……. A chaque nombre x, on associe le nombre ……. On a définit une FONCTION LINEAIRE On a définit une FONCTION AFFINE qu’on appelle f et on note : qu’on appelle g et on note : f: x  … g: x  ….. ou f(x) = … ou g(x) = ….. f(x) se lit « f de x » g(x) se lit « g de x » Une fonction linéaire traduit une SITUATION DE PROPORTIONNALITE. Quels que soient les nombres a et b, La fonction x  ax est appelée fonction linéaire et correspond à une situation de proportionnalité La fonction x  ax+b est appelée fonction affine. Rmq : Une fonction linéaire est une fonction affine où b=0

4 c) f(x)= 7x g(x) = x Calculer : f(3)= g(3)= Avec le tarif 1, …… séances coûtent …….. Avec le tarif 2, …… séances coûtent …….. On dit que : L’IMAGE de 3 est 21 par f On dit que : L’IMAGE de 3 est ……………. et on note : f(3)= 21 et on note : g(3)= Calculer : f(15)= g(15)= Calculer : f(0)= g(0)= Quelle est l’image de 10 par la fonction f ? Quelle est l’image de 6 par la fonction g ? ……………………………………………………………….. ……………………………………………………………….

5 e) Trouver x tel que f(x)= 35 Trouver x tel que g(x)= 72
c'est-à-dire 7x = 35 c'est-à-dire x = 72 On dit que : On dit que : 5 est L’ANTECEDENT de 35 par f. …………………………………………………………… Quels que soient les nombres x et y, si f(x)=y y est l’image de x par l’application f. x est l’antécédent de y par l’application f.

6 e) Sur le même repère, représenter les 2 fonctions
Tarif1: Tarif2: e) Sur le même repère, représenter les 2 fonctions Séances 2 4 8 12 Prix(€) 14 28 56 84 Séances 2 4 8 12 Prix(€) 44 48 56 64

7 f) A l’aide du graphique:
1-Déterminer quand le tarif 2 devient plus intéressant que le tarif 1. 2- Pour le tarif1, quel est le prix de 6 séances, de 9 séances et de 10séances. 3- Combien de séances peut on avoir avec 75€ pour le tarif 2?

8 Représentation graphique
La représentation graphique d’une fonction affine f(x)= ax + b est une droite. La représentation graphique d’une fonction linéaire f(x)= ax est une droite passant par l’origine. a est le coefficient directeur de la droite et correspond à la pente de la droite b est l’ordonnée à l’origine de la droite et correspond à la valeur de l’ordonnée pour x=0

9 Ex22p157 Voici la courbe représentative de la fonction f: -0,5x + 4
Lire sur le graphique: f(-4)= … f(6)=… f(…)= f(…)=5 L’image de 4 par f est: …. L’antécédent de 4 par f est: …. Ex23p157 Lire sur le graphique: g(6)= … g(-4)=… g(…)= g(…)=-5 L’image de 2 par g est: …. L’antécédent de 0 par g est: ….

10 Ex 13p156 Vrai ou Faux f(-3)=-4 -3 est l’image de -4 par la fonction f. f(-1)=6 l’image de -1 est 6 par la fonction f. f(2)=5 l’antécédent de 5 est 2 par la fonction f. f(4)=7 7 est l’antécédent de 4 par la fonction f Ex 14 p156 Soit la fonction f : x  -4x a) compléter: f(x)= f(-3)= f(5)= b) L’image de -3 est: c) L’antécédent de -20 est: d) Calculer l’image de 4. e) Calculer l’antécédent de -28. f) Que dire de la fonction f ? g) Quelle est sa représentation graphique?

11 Ex 15 p156 Soit la fonction g : x  2x + 3
a) compléter: g(x)= g(-4)= g(-3,5)= b) L’image de -4 est: c) L’antécédent de -4 est: d) Calculer l’image de 5. e) Calculer l’antécédent de 9. f) Que dire de la fonction g ? g) Quelle est sa représentation graphique?

12 Ex 17 p157 voici un tableau de valeur d’une fonction f
compléter: f(-3)= f(5)= f( … )=4 f( … )=5 b) L’image de 8 est: c) L’antécédent de 12 est: Ex 18 p157 voici un tableau de valeur d’une fonction g compléter: g(10)= g( … )=10 g(-1)= g( … )=8 b) L’image de -8 est: c) L’antécédent de 6 est: x 4 -3 12 2 5 8 f(x) -6 7 17 x -8 -3 -1 6 3 10 g(x) -4 12 8 4

13 Ex 19 p157 Soit la fonction f: x  -3x
compléter: Ex 20 p157 Soit la fonction g: x  2x – 7 x -5 -1 4 f(x) 6 -18 x -4 -3 3 g(x) -9 1

14 Ex 30 p158: Parmi les fonction suivantes, lesquelles sont linéaires
Ex 30 p158: Parmi les fonction suivantes, lesquelles sont linéaires? affines? f: x  2x g: x  2x+5 h: x  3x² i: x  -6x Ex 31 p158: Parmi les fonction suivantes, lesquelles sont linéaires? affines? f(x)=6x +4 g(x)= 3x h(x)= -4x i(x)=3x² Ex 42 p159: Parmi les fonction suivantes, lesquelles sont linéaires? affines? f: x  4x+5 g: x  -2x+5 h: x  2x²+4 i: x  -6x Ex 43 p158: Parmi les fonction suivantes, lesquelles sont linéaires? affines? f(x)=6x +4 g(x)= 3x + 3 h(x)= -4x i(x)=3x²

15 Ex 25 p158: On a représenter les fonctions f (en vert) et g (en orange)
Lire sur le graphique les valeurs de f(2) f(-4) et f(0) Quelle est l’image par la fonction g de -5? de1? de 4? Pour quelle valeur de x a-t-on f(x)=g(x) ?

16 Ex 34 p159: Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont linéaires
Ex 34 p159: Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont linéaires? affines?

17 Ex 55 p160:

18 Ex26p158

19 Méthode: Représenter une fonction affine ou linéaire f(x)= 2x - 3
étape1: Je repère la nature de la fonction la fonction f est affine donc sa représentation est une droite étape2: Je fais un tableau de valeurs je choisis 2 valeurs je calcule étape3: Je place les points et Je trace la droite x f(x)

20 Ex5p155 f: x  2x +4 Ex6p155 g: x  -0,5x + 2 Ex36p159 g: x  -2x Ex54p160 f: x  -2x + 4 g: x  -2x + 2 h: x  -2x – 2 i: x  -2x – 5 Que remarque-t-on? Pouvait-on le prévoir sans tracer?

21 f est affine, donc s’écrit comme: f(x) = ax+b
- la droite coupe l’axe des ordonnées en (0;7) donc l’ordonnée à l’origine est b=7 - lorsque x augmente de 1, f(x) diminue de 2, donc le coefficient directeur est a=-2 la fonction s’écrit donc comme: f(x)= -2x+7 Ex1et2p154: Déterminer graphiquement l’expression algébrique des fonctions

22 Ex56p160: a) Lire l’ordonnée à l’origine. b)Lire le coefficient directeur. c) Déterminer l’expression algébrique de g

23 Ex57p160: Déterminer l’expression algébrique de f et de g

24 Ex58p160: Déterminer l’expression algébrique de h et de t

25 Déterminer l’expression algébrique d’une fonction à partir de 2 points
Exemple: Soit f une fonction affine passant par les points M(4;5) et N(6;9) Déterminer l’expression algébrique de f. f est affine donc s’écrit sous la forme f(x) =ax+b Le coefficient directeur vaut: a = f(x2) – f(x1) = Δy x2 – x Δx Ici: a = yN – yM = 9 – 5 = 4 = xN – xM – On a donc : f(x) = 2x + b Comme M est un point de la droite, alors: f(xM) = 2xM+ b 5 = 2 x 4 +b soit 5 = 8 + b donc 5 – 8 = b donc - 3 = b Finalement on a: f(x) = 2x – 3

26 Déterminer l’expression algébrique d’une fonction à partir de 2 points
Ex3p155: Soit f une fonction affine passant par les points M(2;4) et N(4;10). Déterminer l’expression algébrique de f. Ex4p155: Même question avec les points A(3;5) et B(6;-4).