PROPRIETES DE LA TURBULENCE

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1 PROPRIETES DE LA TURBULENCE

2 Production d'une gamme d'échelles
caractère universel

3 Cascade de Richardson U L

4 Re>>1 Temps nécessaire pour "se casser" en tourbillons plus petits : L/U = (L2/)/Re L, U Temps nécessaire pour dissiper son énergie par diffusion moléculaire : L2/ Dissipation visqueuse Puissance injectée dans l'écoulement est entièrement déterminée par les premières étapes qui sont indépendantes de la viscosité

5 La puissance moyenne injectée par la grande échelle dans la cascade par unité de masse:
Pour une turbulence statistiquement stationnaire en énergie : La puissance dissipée par unité de masse <> ne dépend pas de la viscosité.

6 Dépendance avec la viscosité
Couple adimensionné (U et )

7 Base de la théorie de A. Kolmogorov
ISOTROPIE : il existe une échelle <L à partir de laquelle, les mouvements ont oublié le contexte inhomogène et anisotrope par lequel la turbulence a été produite. à cette échelle , le nombre de Reynolds est 1,  est l'échelle de dissipation visqueuse

8 H1 H2

9 Interprétation à la Richardson
=LRe-3/4 Profondeur de la gamme d'échelles : L/

10 Profondeur de la gamme d'échelles : L/ =LRe-3/4
Contenu spectral de l'énergie cinétique en échelles spatiales Succès de la théorie Pour tout Re, l'échelle de dissipation est bien donnée par  Profondeur de la gamme d'échelles : L/ =LRe-3/4

11 Problématiques de la turbulence
Coût du calcul pour la résolution numérique des équations de NS. Profondeur de la gamme d'échelles : L/ ~Re3/4 Nombre de points de maillage : Nombre de pas de temps : Voiture, train, avion, turbulence atmosphérique : Re>>106 D'où l'idée de modéliser la cascade sans avoir à résoudre toutes les échelles...

12 Décomposition en : un champ moyen caractéristique du forçage un champ fluctuant caractéristique de la cascade

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14 Décomposition de Reynolds
Idée : moyennage des équations de Navier Stokes Moyenne d'ensemble : On répète N fois la même expérience, et on moyenne les N réalisations qui ont été obtenues au bout du temps t. Moyenne temporelle : Ergodicité si les deux moyennes coïncident.

15 U Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle :
Sillage d’un cylindre en oscillation forçée par l’écoulement U Visualisation

16 U Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle :
Sillage d’un cylindre en oscillation forçée par l’écoulement U Champ de vitesse + Vorticité

17 U Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle : Moyenne temporelle :
Sillage d’un cylindre en oscillation forçée par l’écoulement U Champ de vitesse + Vorticité Moyenne temporelle :

18 U Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle : Moyenne d'ensemble :
Sillage d’un cylindre en oscillation forçée par l’écoulement U Moyenne d'ensemble :

19 Axiomes (importants pour pratiquer le moyennage des équations de NS)
Pour toutes prises de moyennes (ensemble ou temporelle) :

20 Equations de Reynolds Décomposition (moyenne temporelle) :

21 Equations de Reynolds : moyennage des équations de Navier-Stokes

22 Equations de Reynolds : moyennage des équations de Navier-Stokes

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24 contrainte isotrope de pression moyenne contrainte visqueuse moyenne
Equations de Reynolds : moyennage des équations de Navier-Stokes Pour le champ moyen : accélération contrainte isotrope de pression moyenne contrainte visqueuse moyenne contrainte turbulente moyenne Contraintes de Reynolds

25 Les contraintes de Reynolds sont des contraintes de l'objet : "écoulement moyen"
Pour l'écoulement instantanné, les seules contraintes sont celles liées à la pression et à la viscosité (Navier- Stokes)

26 Bilan d'énergie cinétique
L'énergie cinétique par unité de volume : En intégrant sur tout l'écoulement

27 Bilan d'énergie cinétique fluctuante
Equation de l'écoulement fluctuant Bilan d'énergie cinétique fluctuante L'énergie cinétique fluctuante par unité de volume : Redistribue Production Chaleur

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29 "Boîte de l'ingénieur" "Boîte du Physicien"
Turbulence stationnaire en énergie, et isotrope : "Boîte de l'ingénieur" modèle pour les contraintes de Reynolds Ecoulement moyen Modèle de viscosité turbulente pour des écoulements autosimilaires "Boîte du Physicien" Cascade turbulente Formation des petites structures à partir de Navier Stokes et densité spectrale d'énergie.

30 Bilan d'énergie cinétique
L'énergie cinétique par unité de volume : En turbulence la viscosité n'est plus une grandeur pertinente pour l'écoulement moyen (Premières étapes de la cascade de Richardson).

31 En intégrant sur tout l'écoulement
Puissance transférée à l'agitation turbulente = Puissance dissipée pour l'écoulement moyen

32 Propriétés des deux champs liées à l'incompressibilité
Le champ moyen est incompressible

33 puisque : Propriétés des deux champs liées à l'incompressibilité
Le champ fluctuant est aussi incompressible

34 La composante i de l'équation de Navier Stokes :
avec Equation de l'écoulement moyen

35 Faisons apparaitre les contraintes de l'écoulement moyen
Rappel pour les contraintes visqueuses ' d'un écoulement Newtonien : Pour l'écoulement moyen, elles sont : Force visqueuse moyenne :